基于自適應(yīng)陷波濾波器的諧波分析法

李功新 ，黃彥婕 ，江修波

（1.武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072；2.福州大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108；3.福建省電力有限公司，福建 福州 350000；4.福建省電力有限公司 廈門電業(yè)局，福建 廈門 361000）

0 引言

介質(zhì)損失角（下文簡(jiǎn)稱介損角）正切是衡量電氣設(shè)備絕緣性能的重要指標(biāo)［1］。在正常情況下，容性設(shè)備的介損角的范圍為0.001～0.02 rad，是一個(gè)微小值，實(shí)際測(cè)量時(shí)容易因測(cè)試方法的不準(zhǔn)確或現(xiàn)場(chǎng)干擾而淹沒真實(shí)值。因此，研究高精度的介損角測(cè)量方法是介損角診斷絕緣性能研究的首要課題。

目前常用的數(shù)字化測(cè)量方法主要有諧波分析法、相關(guān)函數(shù)法、相位差法、過零時(shí)差法、正弦波參數(shù)法等［2-4］。其中相位函數(shù)法、過零時(shí)差法只能針對(duì)基波正弦信號(hào)，在實(shí)際應(yīng)用中需前置濾波環(huán)節(jié)；正弦波參數(shù)法計(jì)算量大，而且在消除頻率波動(dòng)及噪聲引起的誤差方面不具備優(yōu)勢(shì)，較少采用［5］；諧波分析法不受直流分量和諧波存在的干擾，是目前較常用的方法，然而非同步采樣時(shí)存在頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)影響［6］。經(jīng)進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)因頻率波動(dòng)而無法同步采樣時(shí)，信號(hào)初相角差異和諧波是造成測(cè)量誤差的主要因素［7］，同時(shí)傳感器信號(hào)的長(zhǎng)距離傳輸帶來的隨機(jī)噪聲也必然影響著測(cè)量精度［8］。另外，電壓、電流中可能存在的間諧波是諧波分析法無法濾除的誤差。因此提高諧波分析法的測(cè)量精度需要：準(zhǔn)確跟蹤電壓、電流頻率，實(shí)現(xiàn)整周期采樣；預(yù)先濾除電壓、電流波形中的整次諧波、間諧波、直流和噪聲干擾。

本文提出了結(jié)合自適應(yīng)陷波濾波器（ANF）的諧波分析法，通過ANF濾除電壓、電流信號(hào)中的整次諧波、間諧波、直流和噪聲干擾，實(shí)現(xiàn)基波提取和頻率跟蹤［9］，并將提取的電壓、電流基波波形和頻率通過諧波分析法計(jì)算介損角，從而增加介損角的測(cè)量精度。最后通過仿真分析驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性。

1 基于ANF的基波提取和頻率跟蹤

介損角在線監(jiān)測(cè)時(shí)電壓、電流均包含著各次諧波分量、直流分量及噪聲，以電壓為例有如下形式：

其中，Aksin（kω1t+φk）為各次諧波，k 為諧波次數(shù)，當(dāng)k 取非整數(shù)時(shí)則表示該部分為間諧波；A0、n（t）分別對(duì)應(yīng)著直流分量及噪聲，采用ANF可以從中提取出基波分量和基波頻率值［10-12］。

1.1 ANF的基本算法

ANF的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（2）所示：

當(dāng)輸入信號(hào)僅含基波分量，即 y（t）=A1sin（ω1t+φ1）時(shí)，ANF將有唯一解：

1.2 采用ANF提取基波和跟蹤頻率

為從包含整次諧波、間諧波、直流分量及噪聲的電壓、電流中提取基波分量及頻率，對(duì)ANF的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，以電壓為例，ANF變換為式（4）：

將式（1）代入式（4），式（4）將有唯一解如下：

此時(shí)ξk、γ是決定ANF中第k次諧波分量及基波頻率的收斂速度和精度的參數(shù)。x˙k/（kω1）是第 k次諧波分量的估計(jì)值，θ仍為基波角頻率。理論分析可知，將式（4）中的k依次取采集電壓所包含的各次諧波分量次數(shù)，并將k取不同值的多個(gè)公式聯(lián)立，即得到求解基波及其頻率的公式。實(shí)際應(yīng)用中k的取值應(yīng)根據(jù)所服務(wù)的電網(wǎng)情況而定，若電網(wǎng)中所含諧波情況較為復(fù)雜，則k可以取若干個(gè)含量較高的諧波分量次數(shù)。同理，當(dāng)電流含有各次諧波分量及噪聲時(shí)，上述方法同樣可以實(shí)現(xiàn)基波分量的提取。

2 諧波分析法

諧波分析法利用三角函數(shù)的正交性，將采樣信號(hào)與基波頻率正余弦函數(shù)進(jìn)行周期積分，從而獲得基波分量的幅值和相位信息。當(dāng)信號(hào)周期為采樣周期整數(shù)倍時(shí)，諧波分析法利用矩形或梯形插值將積分離散化，當(dāng)采樣周期足夠小時(shí)，可以獲得準(zhǔn)確度很高的擬合積分效果。然而，實(shí)際信號(hào)頻率一直處于波動(dòng)狀態(tài)，因而多數(shù)情況下信號(hào)周期不為采樣周期整數(shù)倍，此時(shí)需要對(duì)積分離散方法進(jìn)行調(diào)整，從而保證基波信息提取的準(zhǔn)確性。包含諧波分量及直流分量的電壓、電流可表示如下：

其中，等號(hào)右邊第1項(xiàng)為直流分量，第2項(xiàng)為各次諧波分量。

以電壓信號(hào)為例，其基波正、余弦分量分別如式（8）、（9）所示。

設(shè)實(shí)際信號(hào)周期T與采樣周期Ts的關(guān)系為：

其中，L為整數(shù)，e為正小數(shù)。

基于梯形插值對(duì)式（8）、（9）離散化，并對(duì)非整采樣周期部分進(jìn)行估算，根據(jù)cos 2π=1、sin 2π=0，可得到如下結(jié)果：

其中，U（i）為電壓信號(hào)在本計(jì)算周期內(nèi)的第i個(gè)采樣值，即 U（i）=u（iTs）；U′為 T 時(shí)刻的電壓估計(jì)值，可利用式（12）所示的線性插值算法獲得。根據(jù)相量夾角關(guān)系可計(jì)算出基波電壓、電流的相位差φ，介損角δ為φ的余角，可由下式獲得。

其中，U1、I1分別為基波電壓、電流相量。

3 結(jié)合ANF的介損角測(cè)量

結(jié)合ANF和諧波分析法可得到計(jì)算介損角的新方法：通過ANF從采集的電壓、電流信號(hào)中提取基波波形和基波頻率，然后將所提取的分量代入諧波分析法進(jìn)行計(jì)算，如圖1所示。

圖1 結(jié)合ANF的諧波分析法計(jì)算框圖Fig.1 Block diagram of harmonic analysis based on ANF

4 仿真分析

為驗(yàn)證本算法的有效性，采用文獻(xiàn)［13-14］中的試驗(yàn)電路參數(shù)及信號(hào)參數(shù)。電容型設(shè)備等效電路中C=591.02 nF，R=22.67 Ω。電壓信號(hào)中包含基波、3次諧波、5次諧波，其表達(dá)式為：

其中，基波頻率f0=50 Hz。

4.1 信號(hào)基波提取及頻率跟蹤的仿真實(shí)驗(yàn)

在上述電壓信號(hào)中添加能量為1%的隨機(jī)白噪聲作為 ANF 的輸入 u（t），根據(jù)式（4）、（5）所列算法，提取基波信號(hào) x˙1/ω1和基波頻率 θ/（2π）。由于上述電壓中僅存在基波及3、5次諧波，式（4）中的k依次取 1、3、5，即由 3 個(gè)式（4）所示的模塊并聯(lián)構(gòu)成求解基波及其頻率的算式，3個(gè)并聯(lián)模塊的參數(shù)設(shè)置分別為：γ=0.3，ξ1=1.1，ξ3=4，ξ5=7.5；采樣頻率 10 kHz。本算法仿真中，先將電壓、電流幅值化歸到接近1的數(shù)值后輸入ANF，輸出時(shí)再將信號(hào)同比例放大。在此后的介損角計(jì)算仿真中，仍對(duì)電壓、電流信號(hào)做同樣處理，從而減小因電壓、電流幅值在數(shù)量級(jí)上的差異造成的數(shù)值計(jì)算誤差。

提取的基波波形如圖2所示，其中在0.1 s、0.2 s處分別設(shè)置了2次頻率變換，使頻率呈50Hz、50.5Hz、49.5 Hz的階梯狀。從圖中可以看出，提取的基波除了在初始階段與實(shí)際波形存在差異，在其他任意時(shí)刻都與實(shí)際波形準(zhǔn)確地吻合。

圖2 電壓基波提取波形Fig.2 Extracted fundamental voltage waveform

電壓頻率跟蹤情況如圖3所示，在頻率突變時(shí)，該算法均能迅速跟蹤到實(shí)際頻率。頻率由50 Hz變換到50.5Hz時(shí)，跟蹤到誤差小于0.1%，耗時(shí)0.039 s；頻率由50.5 Hz變換到49.5 Hz時(shí)，跟蹤到誤差小于0.1%，耗時(shí) 0.049 s。

圖3 電壓頻率跟蹤波形Fig.3 Followed voltage frequency waveform

4.2 頻率波動(dòng)對(duì)介損角測(cè)量的影響

對(duì)本文所提出的介損角測(cè)量方法進(jìn)行仿真，電網(wǎng)頻率在49.8～50.2 Hz的范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，介損角測(cè)量誤差見表 1［13，15］。相較于文獻(xiàn)［15］中采用的基于Hanning窗的FFT介損角測(cè)量方法和文獻(xiàn)［13］中基于三角自卷積窗（TSCW）的FFT測(cè)量方法，本文所采用的結(jié)合ANF的諧波分析法能夠有效抑制頻率波動(dòng)對(duì)介損角測(cè)量的影響，其介損角測(cè)量相對(duì)誤差小于0.003%，具有較高的介損角測(cè)量精度。

表1 頻率波動(dòng)對(duì)介損角測(cè)量的影響Tab.1 Influence of frequency fluctuation on dielectric loss angle measurement

4.3 諧波含量對(duì)介損角測(cè)量的影響

諧波含量越高對(duì)介損角測(cè)量的干擾越大，本文采用的算法針對(duì)該點(diǎn)預(yù)先消除諧波影響，提高介損角在線測(cè)量精度。將電壓信號(hào)式（14）中3次諧波含量由0變動(dòng)至8%，測(cè)量誤差情況見表2。仿真中基波頻率50.2 Hz，介損角真值0.004226 rad。如表2所示，相較于加 Blackman-Harris窗的諧波分析法［14］和基于TSCW的FFT測(cè)量方法［13］，結(jié)合ANF的諧波分析法能夠有效抑制諧波對(duì)介損角測(cè)量的影響，實(shí)現(xiàn)介損角的準(zhǔn)確測(cè)量。由于ANF消除整次諧波和間諧波的原理相同，因而本文算法在間諧波影響下同樣能實(shí)現(xiàn)介損角的準(zhǔn)確測(cè)量。

表2 諧波含量對(duì)介損角測(cè)量的影響Tab.2 Influence of harmonic content on dielectric loss angle measurement

4.4 介損角真值變化時(shí)測(cè)量的準(zhǔn)確度分析

介損角越小對(duì)算法的準(zhǔn)確度要求越高。實(shí)際介損角的變化范圍為0.001～0.02 rad，從中間隔選取不同的介損值進(jìn)行仿真，測(cè)量誤差情況如表3［14］所示。介損角真值在上述范圍變化時(shí)，文獻(xiàn)［14］采用的基于Blackman-Harris窗插值諧波分析法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差小于4.5×10-5rad，本文采用的算法測(cè)量誤差絕對(duì)值小于2.3091×10-7rad，準(zhǔn)確度提升了2個(gè)數(shù)量級(jí)。

表3 介損角真值變化對(duì)介損角測(cè)量的影響Tab.3 Influence of its actual value variation on dielectric loss angle measurement

4.5 信號(hào)初相角變化對(duì)介損角測(cè)量的影響

當(dāng)頻率波動(dòng)無法整周期采樣時(shí)，介損角測(cè)量誤差會(huì)隨信號(hào)初相角而變化。表4給出了電壓初相角變化時(shí)，采用本文算法得到的介損角的測(cè)量誤差，設(shè)置基波頻率在50.2 Hz左右波動(dòng)時(shí)，算法通過ANF自動(dòng)跟蹤基波頻率?？梢姵跸嘟亲兓瘯r(shí)，本文算法的測(cè)量絕對(duì)誤差均在10-7rad數(shù)量級(jí)，算法穩(wěn)定性較高。

表4 初相角變化對(duì)介損角測(cè)量的影響Tab.4 Influence of initial phase angle on dielectric loss angle measurement

4.6 白噪聲對(duì)介損角測(cè)量的影響

在電氣量測(cè)量時(shí)，受電磁干擾等環(huán)境因素影響，不可避免地存在白噪聲，白噪聲嚴(yán)重時(shí)將淹沒介損角的真實(shí)值。通過比較不同信噪比下介損角的測(cè)量誤差，進(jìn)一步論證算法的實(shí)用性，比較結(jié)果如表5所示。基于ANF的諧波分析法能有效抑制白噪聲對(duì)介損角測(cè)量的干擾，當(dāng)信噪比大于60 dB時(shí)，測(cè)量絕對(duì)誤差保持或低于10-5rad數(shù)量級(jí)，相較于加Blackman-Harris窗的諧波分析法［14］減小了1個(gè)數(shù)量級(jí)。當(dāng)信噪比大于40 dB時(shí)，相對(duì)誤差小于3.1%，可見此時(shí)算法仍具有較高的計(jì)算精度。

表5 白噪聲對(duì)介損角測(cè)量的影響Tab.5 Influence of white noise on dielectric loss angle measurement

5 結(jié)論

經(jīng)過仿真校驗(yàn)，本文所述方法的測(cè)量精確度較于以往的一些研究有所改進(jìn)，仿真結(jié)果表明ANF能有效濾除電壓、電流波形中的諧波和噪聲分量，準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)基波分量的跟蹤及基波頻率的提取，為改進(jìn)傳統(tǒng)諧波分析法測(cè)量介損角提供了有效的途徑；結(jié)合ANF的諧波分析法在抑制頻率波動(dòng)、諧波干擾、噪聲干擾等方面取得了明顯的效果，在測(cè)量精度上較于以往的一些方法提高了1～2個(gè)數(shù)量級(jí)。