基于量子免疫克隆算法的多目標無功優(yōu)化

羅 毅，多靖赟

（華北電力大學 控制與計算機工程學院，北京 102206）

0 引言

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化是指從優(yōu)化運行的角度調整系統(tǒng)中各種無功控制設備的參數，在滿足節(jié)點正常功率平衡及各種安全指標的約束下，實現目標函數最小化的過程［1］。它既是保證電力系統(tǒng)安全、經濟運行的有效手段之一，又是降低網絡損耗、提高電壓質量的重要措施［2］。

無功優(yōu)化是一個多目標、多約束、變量類型混合的非線性規(guī)劃問題。關于無功優(yōu)化的求解方法可分為傳統(tǒng)數學算法和現代啟發(fā)式算法。傳統(tǒng)數學方法有非線性規(guī)劃法［3］、簡化梯度法［4］、內點法［5］等，這類方法有一定的優(yōu)越性，但計算較為復雜，易陷入局部最優(yōu)解，且不便于處理離散變量。隨著人工智能的發(fā)展和計算機運行速度的提高，越來越多的現代啟發(fā)式算法應用于無功優(yōu)化中，如遺傳算法［6］、蟻群算法［7］、免疫算法［8］、粒子群算法［9-10］、搜索禁忌算法［11］、模擬退火算法［12］等，且都取得了一定的研究成果。量子計算因其強大的運算能力，已經成為世界各國緊密跟蹤的前沿研究領域之一。借鑒生物免疫系統(tǒng)原理而發(fā)展起來的免疫算法也已成為現代啟發(fā)式算法的一個研究熱點。結合量子計算機理和免疫克隆算子，本文提出了一種解決多目標無功優(yōu)化問題的量子免疫克隆算法 QICA（Quantum Immune Colonial Algorithm）。該算法具有良好的并行性，搜索速度快，尋優(yōu)能力強，將全局搜索和局部尋優(yōu)有機結合，確保所得解集快速有效地從不可行域邊緣和可行域內部向最優(yōu)Pareto前端逼近，而且可以有效防止退化現象的產生，是求解多目標無功優(yōu)化問題的有效方法。

1 多目標無功優(yōu)化數學模型

1.1 目標函數

本文選取有功網損PL最小、靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度VSM（Voltage Stability Margin）USM最大以及節(jié)點電壓平均偏移量ΔU最小作為目標函數。

a.有功網損。

其中，NL為系統(tǒng)支路總數；δi、δj、Ui、Uj分別為節(jié)點 i、j電壓的相角和幅值；Gk（i，j）為支路 k 的電導。

b.靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度。

選用收斂潮流雅可比矩陣的最小奇異值作為度量系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的指標［13］，即：

其中，JJacobi為收斂潮流雅可比矩陣，eig（JJacobi）為雅可比矩陣的特征值，為該矩陣最小特征值的模。

c.電壓平均偏移量。

1.2 約束條件

其中，T為可調變壓器的變比；Qc為無功補償電容器容量；Ug為發(fā)電機端電壓；U為各節(jié)點的運行電壓；Qg為發(fā)電機注入無功；Timin（Timax）、Qcjmin（Qcjmax）、Ugkmin（Ugkmax）、Uimin（Uimax）、Qgkmin（Qgkmax）分別為以上變量所對應的最?。ㄗ畲螅┲怠Ｊ剑?）—（6）分別為系統(tǒng)潮流約束、控制變量約束、狀態(tài)變量約束。

1.3 多目標函數解評價

多目標函數之間存在相互矛盾性，所以很難找到一個解，同時使各目標函數達到最優(yōu)。傳統(tǒng)加權疊加比較的評價方法，對權重選取的依賴性很大，而且不能很好地反映各目標函數的優(yōu)劣性，本文采用目標函數值與理想化目標的接近程度來評價解的優(yōu)劣性，其操作如下。

若多目標函數 min（F）=min（f1，f2，f3，…，fc）存在一組可行解 x1、x2、…、xl。

a.構建目標函數矩陣。

b.目標函數矩陣歸一化處理。

c.求取理想化目標。所謂理想化目標即歸一化矩陣中各函數對應的最小值。

d.評價各解的優(yōu)劣性。本文采用各目標函數值與理想化目標歐氏距離的大小來評價解的優(yōu)劣性，該距離越接近表明解越優(yōu)。

2 量子免疫克隆算法

2.1 克隆算子

在多目標優(yōu)化問題中，Pareto前端上的所有點是同等優(yōu)秀的，為了保證在種群擴張時，所得解在Pareto前端均勻分布，本文采用了自適應克隆操作。抗體的克隆規(guī)模依據擁擠距離［14］來自適應地調整，即擁擠距離越大者，克隆規(guī)模就越大，被搜索的機會越多，其具體操作如下。

將抗體群 A（it）=｛W1，W2，W3，…，Wk｝中抗體 Wi以比例qi進行克隆，其中qi為：

其中，it為當前的進化代數；round［·］表示取整為最近的整數；Nc為與克隆規(guī)模有關的設定值，本文取Nc=200；di為擁擠距離（具體形式參見文獻［14］）。

則克隆后的抗體群為：

2.2 量子重組算子

混沌變量在尋優(yōu)過程中具有隨機性、遍歷性以及規(guī)律性等特點。本文通過量子重組算子將Logistic映射［15］下的混沌序列用于量子抗體的尋優(yōu)過程中，使量子位在演化過程中呈現出混沌現象，進而極大增加了算法的搜索能力，其操作如下：

其中，i=1，2，…，k；j=1，2，…，qi；Logistic（j）為 Logistic映射的第 j個序列值（具體形式參見文獻［15］）；b為抗體影響因子，取值范圍為［0.1，0.4］；v為混沌收縮因子，取值范圍為［0.1，0.3］；rand 表示生成 0～1之間的隨機數。

2.3 量子非門算子

為進一步增進種群的多樣性，抗體經上述量子重組操作后，以變異概率pm隨機選擇一位或若干位進行量子非門操作，本文取pm=0.5。該操作實現了對量子位概率幅的互換，使得原來取狀態(tài)0的概率變?yōu)槿顟B(tài)1的概率，或者相反。其具體操作如下：

其中，Q為量子位概率幅。

2.4 選擇更新算子

傳統(tǒng)免疫算法絕大多數依據親和度函數作為選擇方式，抗體親和度越大，越容易被選擇保留。在本算法中，一個抗體能否通過選擇進入下一代，取決于該抗體是否為當前代中的非支配抗體。當進化到達一定代數時，非支配抗體數目可能會有很多，而依據本算法的選擇策略，它們都將被選入下一代，這樣會導致運算速度變慢。為了避免該情況發(fā)生，本算法采用了抗體群更新操作。如果非支配抗體超過一定數目Nn，則可依據擁擠距離將Pareto前端上分布較為密集抗體刪除，既保證了運算速度，也保證了所得解分布的均勻性［16］。

2.5 免疫疫苗

傳統(tǒng)免疫算法由于缺乏適當措施，在尋優(yōu)過程中會出現大量劣解、甚至非可行解。為了有效地克服此類退化現象，本文引入了疫苗［17］的概念。選擇當前代精英個體作為免疫疫苗保留，并于下一代量子非門操作完成后植入種群，從而在尋優(yōu)的過程中有效地克服了退化現象，保證種群向優(yōu)良模式進化。

3 基于量子免疫克隆算法的無功優(yōu)化

3.1 抗體的編碼

本算法中的抗體采用量子位表示，一個量子位不僅可表示0、1這2個狀態(tài)，而且可以表示在0、1這 2個狀態(tài)間的任意狀態(tài)。若用n個量子位表示可調變壓器的變比T、m個量子位表示發(fā)電機端電壓Ug、l個量子位表示無功補償電容器容量Qc，則編碼后的每一個抗體可以描述為：

其中，αi、 βi（i=1，2，…，n+m+l）為復常數，表示第i個基因位取值0的概率，表示第i個基因位取值1的概率。

3.2 不等式約束處理

不等式約束將搜索空間劃分為可行域和不可行域2個部分，因此如何有效地利用不可行解顯得非常重要。傳統(tǒng)免疫算法未考慮到不可行解集，僅對可行解集進行相應的進化計算。本算法有效利用部分接近可行域邊緣的不可行解，使尋優(yōu)過程分別從不可行域邊緣和可行域內部向約束最優(yōu)Pareto前端逼近，從而保證了所得約束最優(yōu)解的較高質量。

不等式約束 g（x）=（g1（x），g2（x），…，gh（x））≤0可轉化為一個目標函數，令：

對任意一個變量 x，若 fk+1（x）=0，則 x 滿足約束條件，為可行解；若 fk+1（x）＞0，則 x不滿足約束條件，為不可行解，并且fk+1（x）的數值越大，則x違反約束的程度越嚴重。因此，可采用如下處理方法：

b.以Pareto占優(yōu)的概念為依據，將可行解集Xf劃分為非Pareto占優(yōu)集和Pareto占優(yōu)集Ps；

d.分別對有益解集Qb和可行解集Xf進行相應的免疫克隆選擇操作，求得高質量的Pareto最優(yōu)解。

3.3 算法流程

量子免疫克隆算法應用于多目標無功優(yōu)化的流程如圖1所示。

4 算例分析

為驗證本算法的可行性，本文對IEEE 14節(jié)點測試系統(tǒng)進行多目標無功優(yōu)化計算。用MATLAB語言編制了系統(tǒng)潮流計算程序和量子免疫克隆算法。算法中相關參數的設置如下：抗體群規(guī)模為100，有益解集規(guī)模為30，最大迭代次數為50。算例中數據均為標幺值。

圖1 基于量子免疫克隆算法的多目標無功優(yōu)化流程Fig.1 Flowchart of multi-objective reactive power optimization based on quantum immune colonial algorithm

4.1 IEEE 14節(jié)點系統(tǒng)算例

該系統(tǒng)包含3臺可調變壓器、5臺發(fā)電機（其中1號發(fā)電機為平衡節(jié)點）、1個無功補償點。各可調變壓器上下檔位數為±16，步進量為0.625%，其變比范圍為0.9～1.1；各發(fā)電機端調壓范圍為0.95～1.05；無功補償點（節(jié)點9）的無功補償上限為0.5，分段步長為0.1。

4.2 分析與比較

運用本文算法對該系統(tǒng)進行優(yōu)化評價，將該算法獨立運行50次后選出有代表性的一組計算結果如表1所示。

圖2顯示了該次計算最終求得Pareto解的分布，其中方塊符表示決策最優(yōu)解。

表1 IEEE 14節(jié)點測試系統(tǒng)多目標無功優(yōu)化結果Tab.1 Results of multi-objective reactive power optimization for IEEE 14-bus test system

由表1和圖2可見，最優(yōu)解所對應的點坐標與理想化目標所對應的點坐標之間存在一定距離，這說明了多目標無功優(yōu)化中各個目標函數同時達到最優(yōu)化的可能性很小，也驗證了求解相互矛盾的多目標函數只能根據實際情況從一個整體最優(yōu)化的角度求出可行解，而應用本文所提出的歐氏距離來評價可行解的優(yōu)劣則可以較好地履行這一職責。

將本文算法獨立運行50次后，求出所得最優(yōu)解的平均值，同時將該值與其他算法應用于IEEE 14節(jié)點系統(tǒng)的結果進行了比較，如表2所示。

圖2 算法Pareto解的分布Fig.2 Distribution of Pareto solutions

表2 算法優(yōu)化運行結果比較Tab.2 Comparison of optimization results among algorithms

可見，本文提出的算法在多目標無功優(yōu)化問題中應用效果明顯，較免疫算法和改進遺傳內點算法［1］可更好地找出全局最優(yōu)解，進而有效降低了網絡損耗，提高了電壓質量。

5 結論

本文提出了一種量子免疫克隆算法，并將其應用于求解電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題。該算法搜索速度快，尋優(yōu)能力強，并將全局搜索和局部尋優(yōu)有機結合，確保所得解集快速有效地從不可行域邊緣和可行域內部向最優(yōu)Pareto前端逼近，而且可以有效防止退化現象的產生；以提高系統(tǒng)經濟性和安全性為前提，選用系統(tǒng)有功網損、節(jié)點電壓平均偏移量以及靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度3個指標作為系統(tǒng)無功優(yōu)化的目標函數，通過對IEEE 14節(jié)點系統(tǒng)進行測試計算，驗證了該方法的可行性與有效性。