一種求解最小負(fù)荷裕度的混合算法

張 峰 ，董曉明 ，梁 軍 ，韓學(xué)山 ，孫 華 ，劉 寧

（1.山東大學(xué) 電氣工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061；2.山東勞動(dòng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣及自動(dòng)化系，山東 濟(jì)南 250022；3.山東德州供電公司，山東 德州 253008）

0 引言

連續(xù)潮流［1-14］CPF（Continuation Power Flow），從已知潮流斷面出發(fā)，按照某一預(yù)先設(shè)定的模式增加發(fā)電與負(fù)荷，計(jì)算負(fù)荷所能達(dá)到的靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限功率（下文稱(chēng)為負(fù)荷裕度），能有效識(shí)別鞍節(jié)分岔點(diǎn) SNB（Saddle Node Bifurcation）和極限誘導(dǎo)型分岔 LIB（Limit Induced Bifurcation），同時(shí)計(jì)及無(wú)功調(diào)節(jié)設(shè)備的動(dòng)作，在靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用。

假設(shè)發(fā)電增長(zhǎng)模式給定且不考慮有功限制，則負(fù)荷裕度僅與負(fù)荷增長(zhǎng)模式有關(guān)。文獻(xiàn)［15］則利用SNB處負(fù)荷裕度與負(fù)荷增長(zhǎng)模式的靈敏度，修正CPF負(fù)荷增長(zhǎng)方向，計(jì)算SNB邊界的最小負(fù)荷裕度。上述方法僅針對(duì)SNB邊界進(jìn)行了分析，文獻(xiàn)［16］在文獻(xiàn)［17］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步計(jì)及了LIB，綜合計(jì)及SNB與LIB成為求取最小負(fù)荷裕度的算法要求。文獻(xiàn)［18］從一個(gè)小節(jié)點(diǎn)算例中得到SNB邊界非凸的結(jié)論，針對(duì)非凸問(wèn)題的全局尋優(yōu)能力成為評(píng)價(jià)算法優(yōu)劣的另一重要因素。

考慮到CPF算法在類(lèi)型的識(shí)別與計(jì)及無(wú)功設(shè)備投切等方面的優(yōu)勢(shì)，以及模擬退火粒子群優(yōu)化［19］SAPSO（Simulated Annealing Particle Swarm Optimization）算法良好的全局尋優(yōu)能力，本文在分別對(duì)CPF以及SAPSO算法進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，提出了一種混合算法。在CPF模型中，增加負(fù)荷增量功率因數(shù)作為負(fù)荷增長(zhǎng)方向的約束條件；計(jì)及無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備的投切；提出一種LIB的識(shí)別算法；改進(jìn)步長(zhǎng)控制策略。在SAPSO算法中，采用變權(quán)重系數(shù)［19］與變學(xué)習(xí)因子［19］策略；提出基于功率增長(zhǎng)方向夾角的早熟判據(jù)以及一種隨機(jī)變異算法。在程序?qū)崿F(xiàn)方面，采用多線(xiàn)程并行技術(shù)，充分利用計(jì)算資源提高計(jì)算速度。算例分析表明了本文研究的有效性。

1 CPF擴(kuò)展潮流模型

CPF擴(kuò)展潮流方程如式（1）所示：

其中，λ反映功率增長(zhǎng)水平；n為除平衡節(jié)點(diǎn)外的節(jié)點(diǎn)總數(shù)；PBi、QBi為注入節(jié)點(diǎn)i的有功與無(wú)功功率；PGi、QGi為注入節(jié)點(diǎn)i的發(fā)電機(jī)有功以及無(wú)功功率；PLi、QLi為注入節(jié)點(diǎn)i的負(fù)荷有功以及無(wú)功功率；U和θ分別為各節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角組成的向量；P′Gi為節(jié)點(diǎn) i發(fā)電機(jī)有功增長(zhǎng)比例；S′Li與 φ′Li分別為節(jié)點(diǎn) i負(fù)荷視在功率增長(zhǎng)比例及負(fù)荷增量的功率因數(shù)角。

2 最小負(fù)荷增長(zhǎng)模式

假設(shè)發(fā)電增長(zhǎng)比例給定，功率增長(zhǎng)模式僅由負(fù)荷增長(zhǎng)比例確定，以負(fù)荷裕度最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型如下所示：

其中，λcr為分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的λ值；目標(biāo)函數(shù)h（·）表示負(fù)荷裕度；φ′Limax與 φ′Limin為負(fù)荷增量的功率因數(shù)角上、下限值。

為消除等式約束，對(duì)優(yōu)化模型作如下轉(zhuǎn)化：

式（4）被式（7）所示決策量替代。

目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為：

3 CPF計(jì)算過(guò)程

CPF擴(kuò)展潮流方程式（1），可簡(jiǎn)寫(xiě)為如下形式：

3.1 步長(zhǎng)控制策略

采用切線(xiàn)預(yù)測(cè)方法計(jì)算預(yù)測(cè)點(diǎn)：

其中，W（i）為前一次校正過(guò)程收斂的潮流解；dW（i）為切線(xiàn)預(yù)測(cè)向量；α為步長(zhǎng)控制因子。

本文在文獻(xiàn)［11］的基礎(chǔ)上，提出如下步長(zhǎng)控制策略：

其中，C（·）表示文獻(xiàn)［11］中的算法，αmin為 α 下限值。參數(shù)ε如式（14）所示。

其中，v 為 PV 節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，Qimax、Qi、Qi（0）分別為 PV 節(jié)點(diǎn)i無(wú)功的上限值、當(dāng)前值、初始值。

3.2 LIB的識(shí)別

式（12）中切向量的計(jì)算需要求解如下方程：

其中，e（k）是第k個(gè)分量為1、其余分量為零的向量，可根據(jù)文獻(xiàn)［11］中的方法計(jì)算k值。常規(guī)潮流方程雅可比矩陣J為的子陣，如式（16）所示。

其中，lij為下三角矩陣中元素，uij為上三角矩陣中元素。

J的行列式可由下式得到：

當(dāng)PV節(jié)點(diǎn)因無(wú)功限制轉(zhuǎn)換為PQ節(jié)點(diǎn)后，J的維數(shù)增加，特征值數(shù)量增加。若出現(xiàn)正特征值，則轉(zhuǎn)換前后J的行列式如式（19）所示，出現(xiàn)LIB。

其中，J（i-1）、J（i）分別為 PV 節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為 PQ 節(jié)點(diǎn)前、后潮流方程的雅可比矩陣。

3.3 無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備的投切

系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，一般根據(jù)母線(xiàn)電壓及功率因數(shù)是否越限調(diào)節(jié)無(wú)功補(bǔ)償裝置?？砂慈鐖D1所示流程修正節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。

圖1 CPF流程圖Fig.1 Flowchart of CPF

4 SAPSO算法

對(duì)于PSO的每個(gè)粒子，被優(yōu)化函數(shù)式（8）所決定的最小負(fù)荷裕度被稱(chēng)為粒子的適應(yīng)值，如式（20）所示。

粒子l在m維空間的位置及其飛行速度可表示為式（21）與式（22）。

搜索過(guò)程中，粒子l所經(jīng)歷的最好的位置用式（23）表示。在總數(shù)為q的群體到目前為止發(fā)現(xiàn)的全局最優(yōu)位置，用式（24）表示。

PSO算法按式（25）生成粒子d+1次迭代過(guò)程的新位置和速度。

其中，w為權(quán)重系數(shù)，c1和c2為學(xué)習(xí)因子，r1和r2為服從［0，1］上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

4.1 模擬退火操作

按式（26）定義適配值向量。

其中，T為按式（27）計(jì)算的溫度系數(shù)。

其中，β為退火常數(shù)。

根據(jù)式（28），選擇粒子l的當(dāng)前位置Xl替換式（25）中的Pg，計(jì)算粒子新的位置和速度，其中r是服從［0，1］上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

在計(jì)算初始階段，模擬退火具有概率突跳的能力，有效避免陷入局部最優(yōu)；在計(jì)算后期隨著溫度的下降，主要圍繞在全局最優(yōu)粒子附近進(jìn)行計(jì)算。

4.2 變權(quán)重系數(shù)與變學(xué)習(xí)因子

為提高算法的全局尋優(yōu)能力，本文采用了式（29）所示的線(xiàn)性遞減權(quán)重方法以及式（30）所示的變學(xué)習(xí)因子算法。

其中，wmax和wmin分別為權(quán)重系數(shù)的上、下限值，cmax和cmin分別為學(xué)習(xí)因子的上、下限值，dmax為粒子群最大迭代次數(shù)。

4.3 約束條件的處理

如果粒子l位置超越限值，則保留Pl，按照式（31）所示，將越限分量設(shè)為上限（或下限）值，同時(shí)將對(duì)應(yīng)的粒子飛行速度分量設(shè)定為0。

其中，xjmax和 xjmin對(duì)應(yīng)式（3）中的 φ′Limax與 φ′Limin。

4.4 對(duì)于早熟的處理

通過(guò)式（32），可以計(jì)算出與向量X相對(duì)應(yīng)的向量 Y，如式（33）所示：

當(dāng)式（34）所示指標(biāo)ρ大于限值ρmax時(shí)，則認(rèn)為出現(xiàn)早熟。式（34）中，Yl和 Yg分別對(duì)應(yīng) Xl和 Pg。

若出現(xiàn)早熟，則對(duì)各個(gè)粒子生成服從［0，1］均勻分布的隨機(jī)數(shù)rl，若rl滿(mǎn)足式（35）則保留該粒子的個(gè)體最優(yōu)解，重新隨機(jī)生成粒子l的位置和速度。

4.5 并行計(jì)算的處理

在PSO算法每次迭代過(guò)程中，都需要對(duì)各粒子進(jìn)行適應(yīng)值計(jì)算，如圖2計(jì)算流程所示。常規(guī)方法是順序循環(huán)執(zhí)行粒子的計(jì)算任務(wù)，而本文在程序設(shè)計(jì)時(shí)利用了各粒子的計(jì)算任務(wù)相對(duì)獨(dú)立的特點(diǎn)，為各粒子的計(jì)算分別建立線(xiàn)程，由操作系統(tǒng)選擇空閑CPU并發(fā)線(xiàn)程計(jì)算，各線(xiàn)程以共享內(nèi)存的形式分享粒子的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)和群體經(jīng)驗(yàn)，可以有效提高計(jì)算資源的占用，節(jié)省計(jì)算時(shí)間。

圖2 SAPSO流程圖Fig.2 Flowchart of SAPSO

5 算例分析

5.1 環(huán)境參數(shù)

程序的編寫(xiě)、調(diào)試與運(yùn)行的軟、硬件環(huán)境如表1所示。

表1 算例的軟、硬件環(huán)境Tab.1 Software and hardware environment of case study

5.2 算例1

圖3為IEEE5節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)，圖中所有數(shù)據(jù)均為標(biāo)幺值（系統(tǒng)基準(zhǔn)功率100 MW）。

圖3 IEEE 5節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)接線(xiàn)圖Fig.3 Connection diagram of IEEE 5-bus test system

節(jié)點(diǎn) 5是平衡節(jié)點(diǎn)；PV節(jié)點(diǎn)4的有功功率保持恒定，無(wú)功功率上限1.8 p.u.；并聯(lián)電容器 C1，容抗絕對(duì)值0.018p.u.，初始狀態(tài)為切除。功率因數(shù)角約束如式（36）所示，其余計(jì)算參數(shù)如表2所示。

表2 計(jì)算參數(shù)Tab.2 Calculation parameters

應(yīng)用本文混合算法，反復(fù)計(jì)算5次的平均耗時(shí)為4.6 s，算例表現(xiàn)出較好的收斂性，目標(biāo)值隨迭代次數(shù)的增加不斷逼近最優(yōu)值，如圖4所示，圖中最小負(fù)荷裕度為標(biāo)幺值。

最小負(fù)荷裕度及其對(duì)應(yīng)的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)功率增量如表3所示，表中數(shù)據(jù)均為標(biāo)幺值。

表3 負(fù)荷節(jié)點(diǎn)有功和無(wú)功增量Tab.3 Active and reactive power increments of load buses

比較并行計(jì)算方法和常規(guī)計(jì)算方法的運(yùn)算速度及其對(duì)多核CPU的平均占用率，如圖5所示。

由于采用并行策略，充分利用冗余的計(jì)算資源，運(yùn)算速度獲得了明顯的提升。

5.3 算例2

圖6所示系統(tǒng)，PV節(jié)點(diǎn)有功都恒等于初始值，負(fù)荷有功增量?jī)H由平衡節(jié)點(diǎn)承擔(dān)，利用本文方法進(jìn)行最小負(fù)荷裕度分析。

圖5 CPU平均占用率Fig.5 Average rate of CPU occupancy

圖6 IEEE 30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)接線(xiàn)圖Fig.6 Connection diagram of IEEE 30-bus test system

計(jì)算時(shí)間 8分 17秒，PV 節(jié)點(diǎn) 2、5、8、11和 13由PV節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為PQ節(jié)點(diǎn)，采用本文方法對(duì)其進(jìn)行識(shí)別，均未見(jiàn)LIB。最終計(jì)算得到最小負(fù)荷裕度為0.5932 p.u.（臨界點(diǎn)類(lèi)型為 SNB）。

由于篇幅限制，表4中僅列出負(fù)荷變化較多的部分節(jié)點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果，表中數(shù)據(jù)均為標(biāo)幺值?？梢?jiàn)，以節(jié)點(diǎn)29與節(jié)點(diǎn)30為首的負(fù)荷增長(zhǎng)模式，是計(jì)及靜態(tài)電壓穩(wěn)定的最“危險(xiǎn)”增長(zhǎng)模式。

表4 最小負(fù)荷裕度對(duì)應(yīng)的負(fù)荷變化Tab.4 Load variation along with minimum load margin

6 結(jié)論

SAPSO算法是一種實(shí)用性較強(qiáng)的隨機(jī)搜索進(jìn)化算法，能有效地避免搜索過(guò)程陷入局部極值，具有較好的全局尋優(yōu)能力；CPF算法模擬電力系統(tǒng)負(fù)荷增長(zhǎng)的過(guò)程，可以有效識(shí)別各種分岔類(lèi)型以及計(jì)及無(wú)功設(shè)備的動(dòng)作。本文有機(jī)結(jié)合2種算法的優(yōu)勢(shì)，混合算法表現(xiàn)出良好的收斂性，并行計(jì)算充分利用計(jì)算資源，最大限度提升算法的應(yīng)用性能，算例驗(yàn)證了本文算法的有效性。