三次NURBS曲線插值在土工織物有效孔徑分析中的應(yīng)用

王 宵

（上?？睖y設(shè)計(jì)研究院 上海 200434)

1 引言

土工織物的有效孔徑是土工織物排水反濾的一個(gè)重要指標(biāo)，直接反映織物的保土能力和排水能力。有效孔徑的測試方法主要有篩析法（干篩法、濕篩法、動(dòng)力水篩法)、顯微鏡測讀法、氣泡點(diǎn)法等。由于篩析法最能模擬顆粒通過土工織物的工程實(shí)際情況，且干篩法最為簡便，因此我國目前在對于土工織物的有效孔徑檢測試驗(yàn)中，主要采用干篩法。有效孔徑以能有效通過土工織物的近似最大顆粒直徑表示，例如O90表示土工織物中90%的孔徑低于該值。此外常用的表示方式還有O95和O98等。

干篩法有效孔徑的測試原理是：用土工織物作為篩布，將已知直徑的標(biāo)準(zhǔn)顆粒放在土工織物上面振篩，稱量通過土工布的標(biāo)準(zhǔn)顆粒材料重量，計(jì)算出過篩率，以該過篩率和標(biāo)準(zhǔn)顆粒直徑為一組數(shù)據(jù)，調(diào)換不同直徑的標(biāo)準(zhǔn)顆粒進(jìn)行試驗(yàn)，得出至少三組數(shù)據(jù)，由此繪出土工織物的孔徑分布曲線。然后在曲線上得出O90、O95以及O98。

傳統(tǒng)的有效孔徑試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理，是將試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)，在半對數(shù)坐標(biāo)紙上標(biāo)出，然后將數(shù)據(jù)點(diǎn)用曲線板手繪連成曲線，得到一條織物有效孔徑的分布曲線，然后再從曲線上查取 O90、O95以及O98值，這種手繪的數(shù)據(jù)處理方法不僅繁瑣，而且不可能得到連續(xù)光滑的曲線，局部總是存在奇異點(diǎn)，大大降低了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。通過對多種樣條插值函數(shù)數(shù)學(xué)原理的分析比較，采用三次非均勻有理B樣條曲線（NURBS曲線)對土工織物有效孔徑的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，能很好的解決有效孔徑試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理，并且便于使用計(jì)算機(jī)語言開發(fā)計(jì)算及繪圖程序，大大提高土工織物有效孔徑數(shù)據(jù)處理的效率和精度。

2 土工織物有效孔徑分布曲線的特點(diǎn)

2.1 曲線的連續(xù)性

根據(jù)國標(biāo)《土工布及其有關(guān)產(chǎn)品有效孔徑的測定干篩法》（GB/T14799-2005)中土工織物有效孔徑分布曲線的定義，曲線的縱坐標(biāo)為一塊織物中大于某一粒徑的孔徑的百分比，為累積型曲線，不可能出現(xiàn)斷點(diǎn)，因此曲線必定是連續(xù)的。

2.2 曲線的光滑性

在生產(chǎn)條件不變的情況下，生產(chǎn)出來的土工織物的孔徑大小符合正態(tài)分布，這一點(diǎn)已經(jīng)得到共識，其概率分布如圖1所示。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

分布函數(shù)為：

正態(tài)分布函數(shù)為e為底的指數(shù)型函數(shù)，具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因此土工織物的孔徑分布曲線必定是光滑的，至少具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，理論分布曲線如圖2所示。

圖1 織物孔徑概率分布曲線

圖2 織物孔徑理論分布曲線

2.3 曲線的單調(diào)性

孔徑分布曲線為累積性曲線，孔徑大的點(diǎn)對應(yīng)的篩余量不可能大于孔徑小的點(diǎn)，所以曲線按照坐標(biāo)軸的排列不同，一定是單調(diào)遞增或是遞減。

3 插值方法的比較及數(shù)學(xué)原理

根據(jù)對土工織物有效孔徑累積分布曲線的特點(diǎn)分析，對于曲線的要求是根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)繪出的孔徑分布曲線必須是經(jīng)過型值點(diǎn)(即數(shù)據(jù)點(diǎn))的光滑的（至少具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù))連續(xù)的單調(diào)的曲線。

插值的定義：給定一組精確的數(shù)值點(diǎn)，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使之嚴(yán)格地依次通過全部型值點(diǎn)，且滿足光滑的要求。

插值的方法：

（1)多項(xiàng)式插值：這是最常見的一種函數(shù)插值，已知平面上n＋1個(gè)不同點(diǎn)，要尋找一條n次多項(xiàng)式曲線通過這些點(diǎn)。插值多項(xiàng)式一般有拉格朗日插值多項(xiàng)式和牛頓插值多項(xiàng)式兩種常見的表達(dá)形式。多項(xiàng)式插值有階數(shù)低，易出現(xiàn)奇異點(diǎn)的明顯缺點(diǎn)；

（2)三次均勻樣條插值：采用分段 3次多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，數(shù)據(jù)點(diǎn)間距較大時(shí)出現(xiàn)曲線奇異；

（3)三次非均勻有理 B樣條插值：也稱作三次NURBS曲線，是目前使用最為廣泛，最好的樣條插值曲線，它具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)和光滑的插值曲線，且克服了均勻樣條插值函數(shù)節(jié)點(diǎn)間距較大時(shí)產(chǎn)生的曲線奇異。

非均勻有理B樣條曲線（NURBS曲線)由節(jié)點(diǎn)向量、控制點(diǎn)、權(quán)值唯一確定。一條k次非均勻有理B樣條曲線的定義為：

式中：wi(0≤i≤n)為控制權(quán)因子；vi(0≤i≤n)為控制頂點(diǎn)；Ni,k(u)是由節(jié)點(diǎn)矢量

U=[u0,u1,.......un+k+1]決定的k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，由de-Boor-Cox遞推公式定義：

并規(guī)定0/0＝0。

4 三次NURBS插值函數(shù)的確定

4.1 三次NURBS插值函數(shù)的矩陣表達(dá)式

根據(jù)遞推公式可以得到三次NURBS插值函數(shù)的矩陣表達(dá)式：

（1≤i≤n-1，n為型值點(diǎn)個(gè)數(shù))

其中 t=(u-ui)/(ui+1-u)(0≤t≤1)，Ni為由節(jié)點(diǎn)向量確定的4階矩陣。

B樣條曲線是由控制頂點(diǎn)連線構(gòu)成的控制多邊形確定，一般不通過控制多邊形的控制頂點(diǎn)，因此需要根據(jù)型值點(diǎn)（數(shù)據(jù)點(diǎn)) pi(1 ≤i ≤n)反求控制頂點(diǎn) vi( 0≤i ≤n+1)。根據(jù)型值點(diǎn)條件以及邊界條件可得到n+2個(gè)方程，即由n個(gè)型值點(diǎn)可以唯一確定n+2個(gè)控制點(diǎn)。邊界條件可以由曲線兩端的一階導(dǎo)數(shù) pi(t)′或是兩階導(dǎo)數(shù)pi( t)′確定。根據(jù)實(shí)際情況在這里選用第二類邊界條件，可取 p1(0 )′=0,pn-1(1)′=0。

4.2 節(jié)點(diǎn)向量的確定

三次樣條插值函數(shù)的均勻與非均勻性質(zhì)的主要區(qū)別在于節(jié)點(diǎn)向量的取值。干篩法有效孔徑的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的間距一般變化較大，數(shù)據(jù)點(diǎn)分布不均勻，在此選用弦長累積法確定節(jié)點(diǎn)向量。

通過n個(gè)型值點(diǎn)三次樣條插值函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量可以表示為：

其中（n≥3)。

5 應(yīng)用三次NURBS插值函數(shù)繪制孔徑分布曲線的VC++語言實(shí)現(xiàn)

按照國標(biāo)《土工布及其有關(guān)產(chǎn)品有效孔徑的測定干篩法》（GB/T14799-2005)，確定某一試樣的有效孔徑，需要取得不少于三組連續(xù)分級標(biāo)準(zhǔn)顆粒材料的過篩率，每組粒徑需要取得5塊試樣的平均值。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際的試驗(yàn)過程中，要取得完整的4組粒徑的篩余量是比較困難的。因?yàn)閷τ诳椢锟讖椒植级裕?組粒徑范圍過大，容易出現(xiàn)最小粒徑篩余率為0g，或是最大的粒徑篩余率為50g的情況，這兩種數(shù)據(jù)都是無效的數(shù)據(jù)。對于僅需要得到以O(shè)90、O95以及O98為代表的織物有效孔徑而言，只要保證所求的有效孔徑落在孔徑曲線的第一段內(nèi)，那么第四個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對曲線第一段的形狀基本沒有影響，即不會影響有效孔徑的數(shù)值。所以實(shí)際試驗(yàn)中一般選用3組粒徑，即滿足了規(guī)范和數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的要求，又簡化了實(shí)驗(yàn)過程?；谝陨蠈ν凉た椢镉行Э讖綄?shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)及孔徑分布曲線特性的分析，編制采用通過3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的三次非均勻有理B樣條插值函數(shù)來繪制土工織物孔徑分布曲線的程序，是解決土工織物有效孔徑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的最好方法。

程序采用 VC++語言實(shí)現(xiàn)，設(shè)計(jì)流程如圖 3所示：

圖3 孔徑分布曲線程序的流程圖

6 孔徑曲線的修正

土工織物按照加工的方式分為有紡和無紡兩種，當(dāng)織物中的孔隙較集中地分布在一個(gè)小范圍內(nèi)時(shí)，用篩析法測試土工織物的孔徑，往往會出現(xiàn)兩組連續(xù)顆粒粒徑間篩余率相差很大的情況。這種情況較多出現(xiàn)在一些較厚的無紡布當(dāng)中，這樣得到的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間間距較大，很容易出現(xiàn)不單調(diào)的情況，這顯然是不合理的。

產(chǎn)生曲線不單調(diào)的原因在于兩數(shù)據(jù)點(diǎn)間距太大，這一段曲線因?yàn)槿鄙俦匾臄?shù)據(jù)點(diǎn)，為滿足邊界條件曲線會出現(xiàn)不單調(diào)遞增，解決方法有兩種：一是在兩數(shù)據(jù)點(diǎn)之間添加新的數(shù)據(jù)點(diǎn)，但是由于規(guī)范已經(jīng)規(guī)定好了標(biāo)準(zhǔn)顆粒的粒徑范圍，同時(shí)相鄰粒徑之間相差已經(jīng)很小，再細(xì)化可能標(biāo)準(zhǔn)顆粒粒徑本身誤差就會很大，因此實(shí)施起來比較困難；二是根據(jù)情況加大首端或末端型值點(diǎn)的權(quán)值，根據(jù)首末端曲線的彎曲程度可以建立起曲線首末端斜率k與權(quán)值w的對應(yīng)函數(shù)關(guān)系，這樣曲線出現(xiàn)不單調(diào)時(shí)，就可以通過自動(dòng)調(diào)節(jié)首末端點(diǎn)的權(quán)值大小來修正實(shí)際孔徑曲線的單調(diào)性。

7 工程實(shí)例

表1 無紡布規(guī)格參數(shù)

表2 無紡布有效孔徑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

我們選取了一組典型的厚度較大的無紡?fù)凉げ?，?guī)格如表 1所示。按規(guī)范規(guī)定的粒徑組（0.071～0.090，0.090～0.125，0.125～0.154，分別取粒徑范圍下限)取得3組數(shù)據(jù)。因?yàn)閷?shí)際取得的0.071和0.090兩組粒徑對應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間間距較大，將0.071～0.090之間的砂重新過0.075mm的篩網(wǎng)，取得 0.075～0.090粒徑范圍的砂，額外增加了0.075粒徑對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)。因此一共取得了4組數(shù)據(jù)，如表2所示。然后在半對數(shù)坐標(biāo)內(nèi)，分別用三次均勻樣條插值函數(shù)和三次非均勻有理B樣條插值函數(shù)繪制3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的孔徑分布曲線，如圖4、5、6、7所示。

圖4 3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)經(jīng)過三次均勻樣條插值得到的孔徑分布曲線

經(jīng)過圖中的對比可以看出當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)間距較大時(shí)，三次均勻樣條曲線當(dāng)3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布不均勻時(shí)，很容易出現(xiàn)曲線奇異，而未經(jīng)修正的三次非均勻有理 B樣條曲線很好的解決了數(shù)據(jù)點(diǎn)分布不均勻時(shí)出現(xiàn)的曲線奇異，但是數(shù)據(jù)點(diǎn)間距較大時(shí)，單調(diào)性容易發(fā)生改變，應(yīng)用在實(shí)際的有效孔徑測試中，這肯定是不合理的。經(jīng)過權(quán)值修正后曲線的單調(diào)性得到了很好的控制，并且與新增數(shù)據(jù)點(diǎn)后得到的實(shí)際的孔徑分布曲線基本一致，很好的擬合了實(shí)際的孔徑分布曲線。

圖5 3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)經(jīng)過三次非均勻有理B樣插值得到的孔徑分布曲線

圖6 4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)經(jīng)過三次非均勻有理B樣條插值得到的孔徑分布曲線

圖7 3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)經(jīng)權(quán)值修正后的孔徑分布曲線

8 結(jié)語

采用通過型值點(diǎn)的三次非均勻有理 B樣條插值函數(shù)，對土工織物干篩法有效孔徑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了插值，并繪制了連續(xù)光滑的孔徑分布曲線。此外對曲線繪制中可能出現(xiàn)的的不單調(diào)性，提出了權(quán)值修正方法，進(jìn)行了曲線修正，在此基礎(chǔ)上開發(fā)了土工織物有效孔徑分布曲線繪制程序。這一方法解決了長期以來用曲線板手工繪制孔徑分布曲線，然后再從曲線上查取有效孔徑數(shù)值的非常繁瑣、且誤差較大的數(shù)據(jù)處理方法，大大地提高了土工織物有效孔徑數(shù)據(jù)處理和繪制分布曲線的效率和精度。