基于Copula理論的風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)可靠性評估

趙繼超 ，袁 越 ，傅質(zhì)馨 ，孫純軍 ，錢 康 ，許文超

（1.河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 211100；2.河海大學(xué) 可再生能源發(fā)電技術(shù)教育部工程研究中心，江蘇 南京 210098；3.江蘇省電力設(shè)計(jì)院，江蘇 南京 211102）

0 引言

隨著可再生能源發(fā)電設(shè)備制造工藝的不斷革新以及可再生能源并網(wǎng)技術(shù)的持續(xù)快速發(fā)展，風(fēng)力發(fā)電、光伏發(fā)電已經(jīng)成為當(dāng)前可再生能源利用的2種主要形式。然而，由于風(fēng)速、光照強(qiáng)度等自然因素固有的隨機(jī)性和波動性，風(fēng)電場、光伏電站的出力呈現(xiàn)較強(qiáng)的間歇性和不可控性。隨著間歇性電源穿透功率的增加，可再生能源并網(wǎng)給電力系統(tǒng)帶來的影響日益突出，嚴(yán)重影響電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定、可靠運(yùn)行。因此，對含可再生能源的發(fā)電系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確的可靠性評估十分必要。

上述問題的關(guān)鍵在于建立準(zhǔn)確的可再生能源發(fā)電系統(tǒng)可靠性模型，主要方法有解析法［1-2］和蒙特卡羅模擬法［3-4］。針對多個風(fēng)電場之間出力的相關(guān)性研究，文獻(xiàn)［5］通過蒙特卡羅模擬法產(chǎn)生2組無相關(guān)特性的風(fēng)速向量，采用矩陣變換技術(shù)模擬風(fēng)電場之間的關(guān)聯(lián)特性；文獻(xiàn)［6］采用ARMA時間序列法得到具有時序特性的風(fēng)速序列，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用遺傳算法產(chǎn)生2組具有關(guān)聯(lián)特性的風(fēng)速序列。文獻(xiàn)［7-8］在進(jìn)行風(fēng)光混合發(fā)電系統(tǒng)的可靠性評估時，認(rèn)為風(fēng)電、光伏的出力是相互獨(dú)立的，并未計(jì)及風(fēng)電、光伏出力的相關(guān)性。然而，同一地區(qū)的風(fēng)電、光伏出力往往具有互補(bǔ)性，即負(fù)相關(guān)特性。兩者之間的相關(guān)性會改變風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)出力的概率分布，影響發(fā)電系統(tǒng)的可靠性評估。目前，關(guān)于風(fēng)電場、光伏電站出力相關(guān)性的研究尚未見到報(bào)道。為了考慮同一地區(qū)風(fēng)電場、光伏電站出力的相關(guān)性，本文提出一種應(yīng)用Copula理論建立風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)可靠性模型的新方法。

Copula理論可以將1個聯(lián)合分布分解為k個邊緣分布和1個Copula函數(shù)，Copula函數(shù)描述了變量間的相關(guān)性［9］。文獻(xiàn)［10］應(yīng)用該理論計(jì)算了冰風(fēng)暴災(zāi)害下電力斷線倒塔的概率。文獻(xiàn)［11］采用Copula理論，描述了多個可再生分布式電源出力的統(tǒng)計(jì)特性。文獻(xiàn)［12］基于Copula理論，研究了上海地區(qū)臺風(fēng)條件風(fēng)速和雨強(qiáng)聯(lián)合概率分布。

本文通過江蘇沿海某風(fēng)光互補(bǔ)電站示范工程的實(shí)測數(shù)據(jù)，采用核密度估計(jì)的方法，得到風(fēng)電場、光伏電站出力的概率分布；選取Kendall秩相關(guān)系數(shù)度量兩者之間的相關(guān)程度；基于Copula理論，建立風(fēng)光互補(bǔ)電站的可靠性模型；以RBTS標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)作為算例，采用該模型對風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)進(jìn)行可靠性評估。

1 風(fēng)電場和光伏電站出力的概率分布

建立風(fēng)電場、光伏電站出力的概率模型，常采用參數(shù)估計(jì)法，假定風(fēng)速服從Weibull分布、光照強(qiáng)度短時服從Beta分布，通過估計(jì)其中的參數(shù)獲取概率分布。然而，參數(shù)估計(jì)法的結(jié)果不能總令人滿意，原因在于選取的參數(shù)模型與實(shí)際的物理模型之間往往存在較大的差距；風(fēng)電場、光伏電站的出力不僅取決于風(fēng)速、光照強(qiáng)度，而且還受其他諸多因素的影響，如風(fēng)電場風(fēng)機(jī)的布局、光伏面板的傾角等。因此，本文根據(jù)江蘇沿海某風(fēng)光互補(bǔ)電站示范工程的實(shí)測數(shù)據(jù)，采用非參數(shù)核密度估計(jì)法，獲取風(fēng)電、光伏出力的概率分布。

1.1 核密度估計(jì)

核密度估計(jì)屬于非參數(shù)檢驗(yàn)方法之一，該方法不需要分布的先驗(yàn)知識和任何概率分布形式的假設(shè)，是一種從數(shù)據(jù)樣本本身出發(fā)，研究數(shù)據(jù)分布特征的方法［13］。

設(shè) x1、x2、…、xn為隨機(jī)變量 x 的樣本，令隨機(jī)變量 x 的概率密度函數(shù)為 f（x），則 f（x）的核密度估計(jì)為［14］：

其中，n為樣本容量；h為平滑系數(shù)；K（·）為核函數(shù)，通常選取以0為中心的對稱單峰概率密度函數(shù)。

常用的核函數(shù)以及核函數(shù)的基本性質(zhì)參考文獻(xiàn)［14］。 數(shù)學(xué)理論證明，fh（x）將繼承核函數(shù) K（·）的連續(xù)性和可微性，若選用高斯核函數(shù)，則fh（x）可以進(jìn)行任意階微分［13］。

1.2 風(fēng)電場和光伏電站出力的概率分布

將實(shí)測的出力數(shù)據(jù)折算成出力率，進(jìn)行歸一化處理，選取風(fēng)電場、光伏電站的出力率為隨機(jī)變量。

設(shè)風(fēng)電場的出力率為P1，其對應(yīng)的概率密度為fWT（P1）；光伏電站的出力率為 P2，其對應(yīng)的概率密度為 fPV（P2）。 令（p11，p12，…，p1n）和（p21，p22，…，p2n）分別為P1和P2的樣本空間，n為樣本容量。

分別將（p11，p12，…，p1n）和（p21，p22，…，p2n）代入式（1），可估計(jì)出 fWT（P1）和 fPV（P2）。 核密度估計(jì)圖與實(shí)測數(shù)據(jù)的頻率直方圖對比見圖1和圖2。

圖1 風(fēng)電場出力的概率密度曲線Fig.1 Probability density curve of wind farm output

圖2 光伏電站出力的概率密度曲線Fig.2 Probability density curve of PV station output

分別對 fWT（P1）和 fPV（P2）進(jìn)行積分運(yùn)算，可得風(fēng)電場和光伏電站出力的累積概率分布 FWT（P1）和FPV（P2），計(jì)算公式如下：

經(jīng)核密度估計(jì)的累積概率分布曲線與實(shí)測數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布對比見圖3。

圖3 累積概率分布曲線Fig.3 Cumulative probability distribution curve

由圖1和圖2可以看出，采用核密度估計(jì)法得到的概率密度曲線與頻率統(tǒng)計(jì)直方圖基本吻合，但概率密度函數(shù)的支撐集超出了出力率［0，1］范圍，這是由核密度估計(jì)算法的邊界效應(yīng)造成的。由圖3可以看出，采用核密度估計(jì)法得到的累積概率分布函數(shù)曲線與經(jīng)驗(yàn)分布基本一致，因此，可以忽略密度函數(shù)支撐集溢出對風(fēng)電場、光伏電站出力概率分布的影響。

2 Copula理論與相關(guān)性分析

2.1 Copula函數(shù)的定義

風(fēng)電場、光伏電站的出力存在互補(bǔ)性，且非線性相關(guān)，通過傳統(tǒng)的概率理論確定兩者的聯(lián)合概率分布計(jì)算復(fù)雜。Copula理論的提出，為解決復(fù)雜高維聯(lián)合分布問題提供了一種新思路。它將聯(lián)合分布問題轉(zhuǎn)化為邊際分布和相關(guān)程度2個問題，模型實(shí)用、有效，簡化了計(jì)算。

假設(shè) H（·，·）為具有邊緣分布 F（·）和 G（·）的聯(lián)合分布函數(shù)，那么存在一個Copula函數(shù)C（·，·），滿足［9］：

此外，通過 Copula函數(shù) C（·，·）的密度函數(shù)c（·，·）和邊緣分布函數(shù) F（·）、G（·），可以求出分布函數(shù) H（·，·）的密度函數(shù)：

在Copula函數(shù)族中，阿基米德Copula性質(zhì)優(yōu)良，應(yīng)用廣泛。Gumbel、Clayton和Frank Copula函數(shù)是3類常用的二元阿基米德Copula函數(shù)。其中Gumbel Copula和Clayton Copula函數(shù)只能描述變量間的非負(fù)相關(guān)關(guān)系，而Frank Copula函數(shù)還可以描述變量間的負(fù)相關(guān)關(guān)系。

考慮到同一地區(qū)的風(fēng)電場、光伏電站的出力往往具有互補(bǔ)性，即負(fù)相關(guān)特性，本文選取Frank Copula函數(shù)作為風(fēng)電場、光伏電站出力聯(lián)合概率分布的連接函數(shù)。Frank Copula函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：

其中，θ為相關(guān)參數(shù)，θ≠0，θ＞0 表示隨機(jī)變量 u、v正相關(guān)，表示隨機(jī)變量u、v趨向于獨(dú)立，θ＜0表示隨機(jī)變量u、v負(fù)相關(guān)。

2.2 Copula函數(shù)的相關(guān)性測度

Pearson線性相關(guān)系數(shù)是目前常用的處理2個隨機(jī)變量相關(guān)性問題的方法，如文獻(xiàn)［6］度量2個風(fēng)電場風(fēng)速的相關(guān)性。然而，利用Pearson線性相關(guān)系數(shù)處理非線性相關(guān)性問題時存在如下缺陷：

a.若隨機(jī)變量的概率分布具有厚尾特性，Pearson線性相關(guān)系數(shù)不能準(zhǔn)確描述變量間的相關(guān)性；

b.在進(jìn)行非線性變換過程后，變換前后變量間的相關(guān)程度發(fā)生變化；

c.隨機(jī)變量間存在相關(guān)關(guān)系，但Pearson線性相關(guān)系數(shù)可能為零。

由于Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)在Copula理論中要優(yōu)于Pearson線性相關(guān)系數(shù)［11］，因此本文采用Kendall秩相關(guān)系數(shù)來度量風(fēng)電場、光伏電站出力的相關(guān)性。

設(shè)集合 φ＝｛（x1，y1），（x2，y2），…，（xN，yN）｝為由隨機(jī)向量（X，Y）的N組觀測值組成的樣本空間，其中X和Y均為連續(xù)的隨機(jī)變量，且xi和yi在時間上一一對應(yīng)。 令（xi，yi）和（xj，yj）為從 φ 中隨機(jī)選取的 2 組觀測值，i，j=1，2，…，N 且 i≠j，如果 xi＜xj且 yi＜ yj，或者 xi＞xj且 yi＞yj，即（xi-xj）（yi-yj）＞0，則稱（xi，yi）和（xj，yj）是一致的；類似地，如果（xi-xj）（yi-yj）＜0，則稱（xi，yi）和（xj，yj）是不一致的。

Kendall秩相關(guān)系數(shù)表示從樣本中隨機(jī)選取的觀測值（xi，yi）和（xj，yj），i≠j，一致的概率與不一致的概率之差。由此可得Kendall秩相關(guān)系數(shù)定義的一般形式。

令（xi，yi）和（xj，yj）為隨機(jī)向量（X，Y）的任意 2 個可能值，那么（xi，yi）和（xj，yj）獨(dú)立同分布，定義

為Kendall秩相關(guān)系數(shù)，記為τ∈［-1，1］，i≠j。式中P表示事件發(fā)生的概率。

若τ＞0，隨機(jī)變量 X、Y 正相關(guān)；若τ＜0，隨機(jī)變量X、Y負(fù)相關(guān)；若τ=0，不能確定隨機(jī)變量X、Y的相關(guān)關(guān)系。

Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ與Frank Copula函數(shù)中相關(guān)參數(shù)θ的關(guān)系為：

3 風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)的可靠性模型

3.1 風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)出力的概率分布

風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)的出力為互補(bǔ)電站中風(fēng)電場和光伏電站出力之和。求取風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)出力的概率分布可以轉(zhuǎn)化為求取互補(bǔ)電站中風(fēng)電場、光伏電站出力的聯(lián)合概率分布。

令隨機(jī)變量P1和P2分別為風(fēng)電場和光伏電站的出力率，（p11，p12，…，p1n）和（p21，p22，…，p2n）分別為隨機(jī)變量P1和P2的樣本空間，n為樣本容量，且p1i和 p2i在時間上一一對應(yīng)，那么（p1i，p2i）和（p1j，p2j）為獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，其中 i，j=1，2，…，n 且 i≠j。

根據(jù)Copula理論，風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)中風(fēng)電場、光伏電站出力的聯(lián)合概率分布可由如下步驟計(jì)算：

a.根據(jù)樣本（p11，p12，…，p1n）和（p21，p22，…，p2n），利用式（1）進(jìn)行核密度估計(jì)得到 fWT（P1）和 fPV（P2）；

b.將 fWT（P1）和 fPV（P2）分別代入式（2）和（3），計(jì)算風(fēng)電場和光伏電站出力的累積概率分布FWT（P1）和 FPV（P2）；

c.將（p1i，p2i）和（p1j，p2j）代入式（8），計(jì)算風(fēng)電場和光伏電站出力的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ；

d.將τ代入式（9），計(jì)算Frank Copula函數(shù)相關(guān)參數(shù)θ；

e.將式（5）和式（7）聯(lián)立，得到隨機(jī)變量 P1和 P2的聯(lián)合概率密度。

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，u=FWT（P1），v=FPV（P2），θ為步驟 d 確定的 Frank Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。

經(jīng)計(jì)算，該風(fēng)光互補(bǔ)示范工程中風(fēng)電場、光伏電站出力的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ=-0.161，兩者的聯(lián)合概率密度如圖4所示，風(fēng)電場、光伏電站出力的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)直方圖見圖5，實(shí)際統(tǒng)計(jì)的詳細(xì)數(shù)據(jù)見表1。由圖4和圖5可以看出，基于Copula理論所建立的風(fēng)電場、光伏電站出力的聯(lián)合概率密度模型，較好地刻畫了風(fēng)光互補(bǔ)電站出力的統(tǒng)計(jì)特性。

3.2 風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)的可靠性模型

為了突出問題，本文在建立風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)的可靠性模型時，重點(diǎn)考慮風(fēng)電場、光伏電站出力的隨機(jī)性與兩者之間的相關(guān)性，暫不考慮風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)的元件故障特性，認(rèn)為風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)元件完全可靠。

表1 風(fēng)電場和光伏電站實(shí)測出力的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.1 Statistics of measured power outputs of wind farm and PV station

圖4 風(fēng)電場和光伏電站出力的聯(lián)合概率密度Fig.4 Joint probability density of wind-PV power outputs

圖5 風(fēng)電場和光伏電站出力的統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.5 Statistic histogram of wind-PV power outputs

根據(jù)風(fēng)電場、光伏電站出力的聯(lián)合概率密度函數(shù)，通過積分運(yùn)算得到風(fēng)光互補(bǔ)電站的累積概率分布。設(shè)風(fēng)電場裝機(jī)容量為S1，光伏電站裝機(jī)容量為S2，則風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)總出力的累積概率分布可通過式（11）計(jì)算。

其中，X為風(fēng)光互補(bǔ)電站出力，P（X）為風(fēng)光互補(bǔ)電站出力的累積概率。

通過累積概率P（X）形成風(fēng)光互補(bǔ)電站出力的停運(yùn)表，由此建立風(fēng)光互補(bǔ)電站的可靠性模型。該模型通過Frank Copula連接函數(shù)的相關(guān)參數(shù)θ，度量風(fēng)電場和光伏電站出力之間的相關(guān)程度。因此，通過式（11）形成的風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)的停運(yùn)表，既包含了風(fēng)電場、光伏電站出力的隨機(jī)性，也包含了兩者之間出力的相關(guān)性。

4 算例分析

4.1 可行性研究

以RBTS可靠性測試系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)裝機(jī)容量為240 MW，其機(jī)組參數(shù)和小時負(fù)荷數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)［15-16］。選取缺電小時期望值（HLOLE）和電量不足期望值（EENS）為可靠性指標(biāo)，對算例系統(tǒng)進(jìn)行可靠性評估。算例將測試系統(tǒng)中強(qiáng)迫停運(yùn)率為0.02的40 MW機(jī)組替換為40 MW的風(fēng)光互補(bǔ)電站，風(fēng)電容量S1與光伏容量S2之比為10∶1。假定該互補(bǔ)電站的風(fēng)速、光照特性與江蘇沿海某風(fēng)光互補(bǔ)示范工程相同。該工程共安裝總裝機(jī)容量200.25MW風(fēng)電機(jī)組174臺（1.5 MW雙饋機(jī)組93臺，0.75 MW的鼠籠式異步風(fēng)電機(jī)組81臺）；光伏電站總?cè)萘考s20.004 MW。

實(shí)際示范工程中風(fēng)電、光伏全年出力的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ=-0.161，算例中互補(bǔ)電站與其保持一致。同時計(jì)算了當(dāng)替換容量分別為40 MW風(fēng)電場和40 MW光伏電站時的系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)。結(jié)果見表2。

表2 可靠性指標(biāo)比較（S1∶S2=10∶1）Tab.2 Comparison of reliability indices（S1∶S2=10∶1）

由表2可以看出，互補(bǔ)電站對算例系統(tǒng)的可靠性貢獻(xiàn)接近于同容量的風(fēng)電場，即風(fēng)電在互補(bǔ)電站中起主導(dǎo)作用。光伏系統(tǒng)對算例系統(tǒng)可靠性的影響被較大的風(fēng)光容量比（S1∶S2=10∶1）所掩蓋。

為突出光伏系統(tǒng)的影響，以下研究中假定40MW互補(bǔ)電站中的風(fēng)電光伏容量比為1∶1，其他計(jì)算條件保持不變。

將現(xiàn)場采集的200 MW風(fēng)電場出力樣本中每個元素縮小至原來的1/10，然后加上同一時刻20 MW光伏電站的出力，即形成風(fēng)光容量比為1∶1的40 MW互補(bǔ)電站的出力數(shù)據(jù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)計(jì)算的可靠性指標(biāo)作為參考值。結(jié)果見表3。

表3 可靠性指標(biāo)比較（S1∶S2=1∶1）Tab.3 Comparison of reliability indices（S1∶S2=1∶1）

通過比較，計(jì)算值與參考值相差很小，說明本文提出的方法是可行的。

4.2 不同季節(jié)的可靠性評估

根據(jù)互補(bǔ)電站的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)，以Kendall秩相關(guān)系數(shù)為相關(guān)性測度，計(jì)算一年四季風(fēng)電、光伏出力的相關(guān)性，結(jié)果見表4。

表4 不同季節(jié)風(fēng)電光伏出力的相關(guān)性Tab.4 Correlation of power output between wind farm and PV station for different seasons

由表4可以看出，夏、冬兩季風(fēng)電、光伏出力存在一定的互補(bǔ)性；而春、秋兩季風(fēng)電、光伏出力僅存在微弱的互補(bǔ)性。

選取HLOLE為可靠性指標(biāo)，對算例系統(tǒng)進(jìn)行分季節(jié)可靠性評估。此時，互補(bǔ)電站出力由對應(yīng)季節(jié)的實(shí)測數(shù)據(jù)折算而來。為了便于比較考慮相關(guān)性和不考慮相關(guān)性對可靠性指標(biāo)的影響，引入相對誤差：

其中，HLOLEjs表示計(jì)算值，HLOLEreal表示按照由實(shí)測數(shù)據(jù)折算而來的出力數(shù)據(jù)計(jì)算所得的參考值。不同季節(jié)的可靠性指標(biāo)見表5。

表5 不同季節(jié)的可靠性評估結(jié)果Tab.5 Results of reliability assessment for different seasons

由表5可知，在相關(guān)性較弱的春、秋兩季，是否計(jì)及相關(guān)性對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)影響不大；但在相關(guān)性較強(qiáng)的夏、冬兩季，考慮相關(guān)性的計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)際情況。故在風(fēng)電、光伏出力相關(guān)性較弱時，可以不考慮其相關(guān)性。但不排除某些地域的某些季節(jié)存在較強(qiáng)的相關(guān)性，采用本文提出的方法可以削弱相關(guān)性對可靠性計(jì)算帶來的影響。

5 結(jié)論

本文基于江蘇沿海某風(fēng)光互補(bǔ)示范工程的實(shí)測數(shù)據(jù)，以RBTS標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)作為算例，對風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)進(jìn)行可靠性評估，得出以下結(jié)論：

a.基于Copula理論，推導(dǎo)了風(fēng)電場、光伏電站出力的聯(lián)合概率分布模型，與實(shí)際統(tǒng)計(jì)值比較表明，該模型較好地刻畫了同一地區(qū)風(fēng)電場、光伏電站出力的聯(lián)合概率分布特性；

b.建立了風(fēng)光互補(bǔ)電站的可靠性模型，該模型不僅考慮了風(fēng)電場、光伏電站出力的隨機(jī)性，同時考慮了風(fēng)電場、光伏電站出力的互補(bǔ)性；

c.采用本文建立的風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)可靠性模型，對含風(fēng)光互補(bǔ)發(fā)電系統(tǒng)的RBTS測試系統(tǒng)進(jìn)行可靠性評估，計(jì)算結(jié)果表明本文方法可以較好地考慮出力相關(guān)性對可靠性的影響。