高速列車高次諧波負(fù)荷建模方法

崔恒斌，馮曉云，宋文勝

（西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031）

0 引言

高速列車網(wǎng)側(cè)四象限變流器采用脈寬調(diào)制技術(shù)，因此負(fù)荷電流具有較寬的諧波頻譜。諧波電流不僅影響高速列車牽引傳動系統(tǒng)的性能，其作為車網(wǎng)諧波諧振的激勵源，也是威脅列車安全運(yùn)行的隱患。建立精確的高速列車諧波負(fù)荷模型不僅可用于分析諧波對牽引傳動系統(tǒng)各部件的干擾，結(jié)合牽引網(wǎng)模型，還可用于分析車網(wǎng)諧波諧振的機(jī)理。

影響高速列車諧波負(fù)荷的因素眾多：如牽引傳動系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、調(diào)制技術(shù)、列車功率與開關(guān)頻率等。如何同時考慮眾多影響因素，分析諧波產(chǎn)生機(jī)理，建立高速列車諧波負(fù)荷模型是當(dāng)前急需解決的問題。當(dāng)前較多諧波負(fù)荷建模研究是以電網(wǎng)為對象開展的[1]，針對電氣化鐵路的負(fù)荷建模主要以牽引變電所為對象，注重考察鐵路電氣負(fù)荷對電網(wǎng)的影響[2-4]，僅部分學(xué)者與工程技術(shù)人員對列車諧波負(fù)荷模型開展了研究。針對交直型電力機(jī)車，文獻(xiàn)[5-6]分別利用蒙特卡羅法與Laguerre多項(xiàng)式的逼近函數(shù)進(jìn)行電力機(jī)車諧波電流估計；文獻(xiàn)[7]研究了機(jī)車諧波電流與基波電壓、電流和負(fù)荷特征參數(shù)之間的關(guān)系，建立了諧波負(fù)荷多項(xiàng)式模型，并對表征負(fù)荷特征的模型參數(shù)進(jìn)行辨識；文獻(xiàn)[8]采用數(shù)據(jù)擬合的方法建立起諧波電流與基波電流的關(guān)聯(lián)；文獻(xiàn)[9]則采用概率統(tǒng)計方法建立了諧波電流的概率分布模型。上述列車負(fù)荷模型的研究均基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)展開，需對各次諧波分別建模，不適用于諧波頻譜較寬的高速列車。文獻(xiàn)[10-12]基于貝塞爾函數(shù)與雙重傅里葉級數(shù)對四象限變流器交流側(cè)電壓諧波頻譜進(jìn)行了描述。為避免對各次諧波分別建模，本文在上述既有研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析列車諧波負(fù)荷電流產(chǎn)生機(jī)理，提出了一種新的高速列車高次諧波負(fù)荷建模方法。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了變流器多重化對負(fù)荷電流高次諧波頻譜的影響，并對試驗(yàn)現(xiàn)場非合理高次諧波產(chǎn)生的原因進(jìn)行了分析。

1 四象限變流器脈沖波統(tǒng)一正弦切割模型

四象限變流器主電路如圖1所示。圖中，us為車載變壓器輸出電壓；Rs、Ls分別為車載變壓器內(nèi)阻與漏感；uab為四象限變流器橋式電路交流側(cè)瞬時電壓；ud為四象限變流器直流側(cè)瞬時電壓。橋式電路由A橋和B橋組成，每個橋臂包含2個IGBT，且每個IGBT與1個二極管反向并聯(lián)組成一個開關(guān)器件，P1、P2、P3和P4分別為四象限變流器4個IGBT的導(dǎo)通狀態(tài)（IGBT導(dǎo)通時為1，關(guān)斷時為0）。

圖1 四象限變流器主電路Fig.1 Main circuit of four-quadrant converter

四象限變流器一般采用雙邊正弦調(diào)制技術(shù)，為簡化分析過程，首先作如下假設(shè)：開關(guān)器件為理想開關(guān)，不考慮開關(guān)關(guān)斷損耗、導(dǎo)通損耗以及死區(qū)效應(yīng)。

圖2 雙邊正弦調(diào)制技術(shù)原理圖Fig.2 Schematic diagram of bilateral sinusoidal modulation

雙邊正弦調(diào)制原理如圖2所示，幅值為MI（也稱為調(diào)制系數(shù)，0≤MI≤1）的正弦調(diào)制波um與幅值為1的三角載波uc比較，得到IGBT的控制信號，a、b為調(diào)制波與載波的交點(diǎn)，分別對應(yīng)P1脈沖波的上升沿和下降沿。時間軸既可表示為θ＝ωct，又可表示為φ＝ωmt，ωc為載波角頻率，ωm為調(diào)制波角頻率。載波比MR=ωc／ωm。當(dāng)調(diào)制波輸出大于載波輸出時，P1=1，否則P1=0。將調(diào)制波反相，與載波進(jìn)行比較，可同理得到 P3脈沖群。另有 P2=-P1，P4=-P3。

實(shí)際應(yīng)用中，因采用不同的采樣技術(shù)，調(diào)制波與載波的交點(diǎn)將發(fā)生變化[13]。本文采用統(tǒng)一采樣技術(shù)來表征調(diào)制波與載波的交點(diǎn)，原理如圖3所示。其中T為采樣周期，tn、tn+1、tn+2分別為采樣時刻。調(diào)制波與載波交點(diǎn)隨采樣系數(shù)ε（0≤ε≤1）變化而移動，對應(yīng)不同的脈沖觸發(fā)時刻。

圖3 統(tǒng)一采樣技術(shù)原理圖Fig.3 Schematic diagram of unified sampling technique

圖4給出了采用統(tǒng)一采樣技術(shù)時的正弦切割模型，本文稱之為統(tǒng)一正弦切割模型。圖4第2個波形中正弦實(shí)線對應(yīng)正極性調(diào)制波um，幅值為πMI／2，其與切割線的交點(diǎn)分別對應(yīng)P1脈沖群的上升沿和下降沿，P2脈沖群與P1脈沖群反向；正弦虛線對應(yīng)負(fù)極性調(diào)制波-um，幅值也為πMI／2，其與切割線的交點(diǎn)分別對應(yīng)P3脈沖群的上升沿和下降沿，P4脈沖群與P3脈沖群反向。電壓uab由脈沖P1與P3共同決定，uab=（P1-P3）ud。圖中，切割線自 φ=θ／MR隨 ε 動態(tài)變化。

圖5為圖4第2個波形的局部圖，圖中，cC為（1-ε）π／MR，△aMA 與△cMC 相似，根據(jù)相似三角形關(guān)系可得：

將 φ=θ／MR代入式（1）可得：

圖4 統(tǒng)一正弦切割模型Fig.4 Unified sinusoidal cutting model

圖5 統(tǒng)一正弦切割模型（局部）Fig.5 Partial of unified sinusoidal cutting model

在N=1范圍內(nèi)，當(dāng)ε變化時，正弦實(shí)線與切割線 φ*=（1-ε）θ／MR的交點(diǎn) a（對應(yīng)調(diào)制波與載波交點(diǎn)）的橫坐標(biāo)可以表示為：

同理，dD 為（1-ε）π／MR，△bNB 與△dND 相似，根據(jù)相似三角形關(guān)系可得：

式（4）可變換為：

將 φ=θ／MR代入式（5）可得：

在N=2范圍內(nèi)，當(dāng)ε變化時，正弦實(shí)線與切割線 φ*=（1-ε）θ／MR+επ／MR的交點(diǎn) b的橫坐標(biāo)可以表示為：

則當(dāng) ε≠0 時，結(jié)合式（2）與式（6），切割線可表示為：

P1脈沖可用數(shù)學(xué)函數(shù) F（θ，φ）描述如下：

c.其他情況下，F(xiàn)（θ，φ）=0。

同理可推導(dǎo)P2、P3、P4脈沖波的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型。

2 高速列車負(fù)荷電流高次諧波頻譜分析

由雙邊正弦調(diào)制方法產(chǎn)生的脈沖波形均可用雙重傅里葉級數(shù)表示為[13]：

式（9）等號右側(cè)第1項(xiàng)為直流分量，第2項(xiàng)為調(diào)制波對應(yīng)的諧波分量，第3項(xiàng)為載波對應(yīng)的諧波分量，第4項(xiàng)為調(diào)制波與載波交叉調(diào)制對應(yīng)的諧波分量。

定義算子p=1／MR，結(jié)合第1節(jié)中脈沖P1的數(shù)學(xué)描述函數(shù)，將式（8）代入式（10）可解算傅里葉系數(shù)：

由貝塞爾函數(shù)［14］特性可知：

將式（12）代入式（11），經(jīng)過進(jìn)一步推導(dǎo)可得：

定義：

將式（14）代入式（13），并將結(jié)果應(yīng)用于式（9），可得到P1脈沖諧波頻譜特性：

同理可推導(dǎo)P3脈沖諧波頻譜特性：

uab=（P1-P3）ud=（FP1-FP3）Ud，Ud為四象限變流器直流側(cè)瞬時電壓ud的均值，直流電壓紋波相對Ud可忽略，將式（15）與式（16）代入 uab計算式可得：

如果圖2中調(diào)制波滯后δ，載波滯后γ，并令ψ=pεπ／2+δ，則 uab可進(jìn)一步表示為：

由圖1可知，流入四象限變流器的電流（不考慮牽引變壓器的變比，當(dāng)僅有1個四象限變流器時，其即為負(fù)荷電流）is是us與uab共同作用于Rs與Ls的結(jié)果。is計算公式如下：

其中，us（n）、uab（n）、is（n）分別為 us、uab、is中的 n 次諧波分量（n=1 對應(yīng)基波）；Zs（n）為 n 次諧波對應(yīng)的變壓器等效阻抗，Zs（n）=Rs+j nωmLs。該計算公式考慮了電壓us畸變對諧波電流的影響。

3 高速列車高次諧波負(fù)荷計算方法

3.1 高次諧波負(fù)荷建模

式（19）給出了高速列車高次諧波負(fù)荷電流的機(jī)理式計算方法，其解算關(guān)鍵在于確定 Ud、ωc、ωm、MI、p、ε、γ、ψ、Rs及 Ls。對于同一型號高速列車，Ud、ωc、ωm、Rs與Ls通過技術(shù)資料可查；p為基波頻率與載波頻率的比值；ε由采樣方法決定，采用自然采樣時ε=0，采用規(guī)則采樣時ε=1；γ由四象限變流器數(shù)目決定；ψ由功率因數(shù)與控制算法決定；而MI卻隨列車的運(yùn)行工況動態(tài)發(fā)生改變，因此確定列車不同運(yùn)行工況對應(yīng)的MI是建立高速列車高次諧波負(fù)荷模型的主要工作。

牽引工況下，高速列車表現(xiàn)為感性負(fù)荷時，圖1中各電量 us、is、uab的 n 次諧波相量 Us（n）、Is（n）、Uab（n）的關(guān)系如圖6所示（n=1表示基波）。圖中，σ為Us（n）與 Is（n）的夾角；β 為 Us（n）與 Uab（n）的夾角；Xs（n）為n 次諧波對應(yīng)變壓器漏抗，且 Xs（n）=nωmLs。

圖6 高速列車整流系統(tǒng)對應(yīng)相量圖Fig.6 Phasor diagram of rectifier system of high speed train

由圖6可建立如下關(guān)系：

同理可推導(dǎo)制動工況，當(dāng)高速列車表現(xiàn)為容性負(fù)荷時 Uab（n）的計算公式。

式（18）等號右側(cè)第1項(xiàng)決定基波相量，其對諧波相量的影響可忽略不計；第2項(xiàng)決定各次諧波相量，其對基波的影響可忽略不計，當(dāng)n ＞19時，其對應(yīng)諧波可忽略不計。因此有：

其中，Uab（1）為相量 Uab（1）對應(yīng)的幅值，隨 MI單調(diào)遞增。

諧波潮流計算一般是在基波潮流計算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。首先將列車基波負(fù)荷視為PQ負(fù)荷，通過高斯迭代法解算基波潮流，獲取列車車載變壓器輸出電壓基波相量 Us（1）與負(fù)荷電流基波相量 Is（1）[1]，代入式（20）可解算出 Uab（1），將 Uab（1）代入式（21）即可計算不同運(yùn)行工況對應(yīng)的MI，將MI代入式（18）即可得到n次諧波相量幅值Uab（n）。

由式（18）可知，當(dāng)載波滯后角度為0時，uab基波可表示為：

m／p+n次諧波可表示為：

基波與m／p+n次諧波相位的理論參考值分別為-ψ與-nψ。而潮流計算得到的基波相位角ψab（1）與理論計算參考值-ψ之間存在相位差，因此，需基于ψab（1）計算m／p+n次高次諧波的實(shí)際相位角ψab（m／p+n）：

式（23）中，若 4UdCmn（-1）m／2大于 0，則式（24）中m／p+n 次諧波角度變換基準(zhǔn)為－nψ；若 4UdCmn（-1）m／2小于 0，m／p+n次諧波角度變換基準(zhǔn)為－nψ+180°。

根據(jù)上述方法確定uab各次諧波幅值與相位角后，結(jié)合高速列車輸入網(wǎng)壓，代入式（19）則可計算高速列車高次諧波負(fù)荷電流。

3.2 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的高速列車高次諧波負(fù)荷建模方法的正確性，以京津線主要車型CRH3為例，基于MATLAB／Simulink，建立高速列車四象限變流器時域仿真模型。其中控制單元采用雙閉環(huán)控制[15-16]（電壓為外環(huán)控制，電流為內(nèi)環(huán)控制）；調(diào)制單元工作原理如圖2所示，采用近似自然采樣（ε≈0）。系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為：，Rs=68 mΩ，Ls=2.3 mH，Ud=2700 V，載波頻率為 350 Hz（MR=7），載波滯后角度 γ=0°。

對時域仿真模型進(jìn)行仿真，負(fù)荷保持不變，當(dāng)控制達(dá)到穩(wěn)定時，采集4個基波周期的供電電壓us與負(fù)荷電流is波形，如圖7所示，負(fù)荷電流is基波幅值為198.3 A，相位角為24.4°。對is進(jìn)行傅里葉分解，得到負(fù)荷電流高次諧波幅值與相位分別為表1與表2中仿真對應(yīng)結(jié)果。

圖7 負(fù)荷不變時供電電壓與負(fù)荷電流輸出波形Fig.7 Waveforms of supply voltage and load current with constant load

表1 仿真與基于模型計算得到的高次諧波幅值Tab.1 High-order harmonic amplitudes obtained by simulation and model-based calculation

表2 仿真與基于模型計算得到的高次諧波相位角Tab.2 High-order harmonic phases obtained by simulation and model-based calculation

以圖7所示供電電壓、負(fù)荷電流的基波值為輸入，基于本文提出的方法計算高次諧波負(fù)荷電流幅值與相位。表1與表2分別對比列出基于模型計算與時域仿真結(jié)果傅里葉變換得到的 11、13、15、17、25、27、29、31次諧波的幅值與相位角。兩者幅值誤差小于1.5 A，相位角誤差在5°范圍內(nèi)，表明本文提出的負(fù)荷建模方法可用于高速列車高次諧波電流的模擬，且具有較高的精度。仿真結(jié)果含有豐富的低次諧波，而模型計算結(jié)果中低次諧波含量偏低，主要因?yàn)樗南笙拮兞髌鞑捎秒p閉環(huán)瞬態(tài)電流控制策略，在電壓外環(huán)PI控制器中，由于實(shí)際直流側(cè)電壓有2次紋波，則控制器中電流環(huán)給定值含有2倍基波頻率的諧波，將其與鎖相環(huán)采樣得到的與電網(wǎng)同頻率的正弦信號相乘，得到變流器輸入電流給定值，其中必然含有3次諧波，實(shí)際變流器輸入電流跟蹤給定值，則最終實(shí)際流入四象限變流器的電流就含有較大的3次諧波。依此類推，流入變流器的電流中3、5、7奇次諧波含量較大[16]。本文重在建立高次諧波負(fù)荷模型，對于低次諧波負(fù)荷的分析及建模方法的研究筆者將另文撰寫，本文不作討論。同上，高次諧波之間將會產(chǎn)生相互影響，如11次諧波會帶入13、15等次諧波，但從表1的對比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，高次諧波間的相互影響較小，可忽略。

3.3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文建模方法的正確性，基于現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)對本文提出的負(fù)荷建模方法進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)列車參數(shù)如下：車載牽引變壓器內(nèi)阻68 mΩ，漏感2.3 mH，直流側(cè)電壓2700 V，載波頻率350 Hz，采用規(guī)則采樣。

試驗(yàn)采集的網(wǎng)壓基波（已換算到牽引變壓器二次側(cè)，即變壓器輸出電壓）及單變流器輸入電流（負(fù)荷電流）基波的有效值與相位角隨時間變化曲線分別如圖8與圖9所示。

圖8 試驗(yàn)中采集的網(wǎng)壓基波相量Fig.8 Fundamental phasors of supply voltage obtained by experiment

圖9 試驗(yàn)中采集的負(fù)荷電流基波相量Fig.9 Fundamental load current phasors obtained by experiment

將試驗(yàn)得到的基波網(wǎng)壓與基波負(fù)荷電流相量作為輸入，基于本文提出的高次諧波負(fù)荷建模方法，計算不同基波負(fù)荷電流對應(yīng)的13、15、27、29次諧波的幅值與相位，并將其與試驗(yàn)結(jié)果傅里葉分解得到的諧波幅值與相位進(jìn)行對比，分別如圖10—13所示。

圖10—13表明，對應(yīng)變化的基波負(fù)荷電流，基于諧波負(fù)荷模型計算得到的諧波負(fù)荷電流幅值、相位與試驗(yàn)結(jié)果傅里葉變換得到的幅值、相位有較高的吻合度；受采樣頻率及控制策略的影響，試驗(yàn)結(jié)果傅里葉變換得到的諧波電流幅值與計算值相比，存在波動性偏差，但誤差范圍較小，能滿足負(fù)荷建模的需求。

圖10 13次諧波負(fù)荷電流計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比Fig.10 Comparison of 13-order harmonic load current between calculation and experiment

圖11 15次諧波負(fù)荷電流計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比Fig.11 Comparison of 15-order harmonic load current between calculation and experiment

圖12 27次諧波負(fù)荷電流計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比Fig.12 Comparison of 27-order harmonic load current between calculation and experiment

圖13 29次諧波負(fù)荷電流計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比Fig.13 Comparison of 29-order harmonic load current between calculation and experiment

4 案例分析

我國高速列車采用動力分散牽引方式，傳動系統(tǒng)分布于各子車廂，通過受電弓集中受流。為降低網(wǎng)流諧波含量，均已采用變流器多重化技術(shù)。為了表述的簡潔性，本文僅以四重化四象限變流器為例進(jìn)行分析。

圖14是一臺變壓器與四重化變流器聯(lián)合工作拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，受電弓將接觸網(wǎng)的25kV單相工頻交流電輸送給牽引變壓器，經(jīng)變壓器降壓后的單相交流電供給四重化（2組二重化）四象限變流器，四象限變流器將單相交流電變換為直流電，經(jīng)中間直流回路輸出。

圖14 四重化四象限變流器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.14 Topology of four-fold four-quadrant converter

變流器多重化中一般采用載波移相技術(shù)，各四象限變流器分別采用正弦調(diào)制，各變流器的正弦調(diào)制波相同，用幾組三角載波分別進(jìn)行調(diào)制，各三角載波具有相同的頻率和幅值，但相位依次相差固定的角度，即各變流器載波滯后角度分別為（k-1）π／N（N為高速列車包含四象限變流器的個數(shù)，k為第k個變流器）。4個四象限變流器載波滯后角度從上至下為：0，π／2，π／4，3π／4。它們的交流側(cè)電壓 uabi（i=1，2，3，4）可分別表示為：

其中，usx（n）、uabx（n）分別為變壓器第 x 個輸出端 n 次諧波電壓與第x個四象限變流器交流側(cè)的n次諧波電壓；k為變壓器高壓側(cè)與低壓側(cè)變比，本文計算均未考慮變比，即k=1。對比式（19）與式（29）最終表達(dá)式等號右側(cè)的第2、3項(xiàng)，諧波計算式僅存在系數(shù)上的改變，因此當(dāng)高速列車使用多重化四象限變流器時，采用本文的方法可同樣建立高次諧波負(fù)荷模型。

某高速列車現(xiàn)場測試時發(fā)現(xiàn)2倍與4倍開關(guān)頻率處諧波異常放大，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生諧波諧振故障。檢測發(fā)現(xiàn)該列車某車載四象限變流器載波滯后角度設(shè)置錯誤導(dǎo)致故障的發(fā)生，模擬故障如下：設(shè)圖14中第2個四象限變流器的載波滯后角度π／2錯誤設(shè)為π／4，則可推導(dǎo)出負(fù)荷電流諧波頻譜計算式如下：

根據(jù)式（29）與（30）分別繪制網(wǎng)流諧波頻譜如圖15所示，與正常工況相比，故障工況下2倍與4倍開關(guān)頻率處諧波放大，且大于表1所示單變流器工況下對應(yīng)頻率的諧波幅值，與現(xiàn)場測試現(xiàn)象一致，較好地解釋了現(xiàn)場非合理諧波產(chǎn)生的原因，說明載波移相角度影響負(fù)荷電流諧波頻譜的分布。

圖15 正常工況與故障工況下網(wǎng)流諧波頻譜Fig.15 Harmonic spectrum of network current under normal or fault condition

5 結(jié)論

本文基于統(tǒng)一正弦切割模型分析了高速列車負(fù)荷電流高次諧波產(chǎn)生的機(jī)理，提出了一種高速列車高次諧波負(fù)荷建模方法，模型計算結(jié)果與MATLAB／Simulink時域仿真結(jié)果、試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果一致，驗(yàn)證了該模型的正確性?；谠撃Ｐ头治隽嗽囼?yàn)現(xiàn)場高速列車非合理高次諧波產(chǎn)生的原因，并得到以下結(jié)論。

a.本文提出的高次諧波負(fù)荷模型可解釋諧波產(chǎn)生的機(jī)理，采用該模型模擬高速列車高次諧波負(fù)荷的精確性更高，且不需對各次諧波分別建模。

b.變流器多重化技術(shù)可增加等效開關(guān)頻率，有效抑制低次諧波。變流器多重化時，載波移相角度的變化將改變模型參數(shù)，即改變負(fù)荷電流的諧波頻譜分布。當(dāng)載波移相角度依次為（k-1）π／N，可有效降低負(fù)荷低次諧波含量。當(dāng)載波移相角度不合理時，負(fù)荷將產(chǎn)生非合理諧波。