考慮系統(tǒng)延時(shí)的三相APF切換系統(tǒng)建模與H∞控制

韓 璐，肖 建，向偉銘，邱存勇

（西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031）

0 引言

有源電力濾波器（APF）是實(shí)時(shí)補(bǔ)償諧波電流的有效方法，它通過控制功率開關(guān)器件的開斷，產(chǎn)生與負(fù)載側(cè)諧波大小相等、方向相反的諧波電流注入電網(wǎng)側(cè)，達(dá)到補(bǔ)償諧波電流的目的［1-2］。從三相APF的工作原理可以看出它是典型的切換系統(tǒng)，具有非線性、多模態(tài)等特點(diǎn)。突破傳統(tǒng)對APF的近似線性化分析方法［3-4］，利用切換系統(tǒng)的相關(guān)理論［5-6］對其建模和分析可體現(xiàn)其動(dòng)態(tài)混雜特性，更精確地反映了APF的物理工作過程。

目前數(shù)字信號處理芯片（DSP）被廣泛用于APF裝置中，APF的數(shù)字化控制方式已成為主流［7-9］。但是數(shù)字化控制在易于開發(fā)、靈活性強(qiáng)的同時(shí)會不可避免地引入系統(tǒng)延時(shí)［8，10-12］，該延時(shí)雖然很?。◣讉€(gè)采樣周期），卻會引起系統(tǒng)輸入-輸出相移，導(dǎo)致APF的諧波補(bǔ)償性能下降，相移嚴(yán)重時(shí)會引發(fā)LC諧振使得系統(tǒng)失穩(wěn)，這對實(shí)時(shí)性要求很高的APF而言是十分不利的。文獻(xiàn)［12］提出通過在電流檢測環(huán)節(jié)中增加相位補(bǔ)償環(huán)節(jié)、提高系統(tǒng)采樣頻率或信號預(yù)測的方法來補(bǔ)償延時(shí)對系統(tǒng)的影響。這類方法的時(shí)滯補(bǔ)償效果很好，但需要增加額外的補(bǔ)償設(shè)備或者改變系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性，也可能引入新的問題。

在三相APF的控制過程中，前饋控制［13-14］能夠快速跟蹤負(fù)荷側(cè)諧波變化，但需要精確的模型和參數(shù)，且預(yù)測的指令電流和實(shí)際指令電流之間會有誤差，可能導(dǎo)致系統(tǒng)某次諧波放大，從而惡化補(bǔ)償效果。而狀態(tài)反饋控制可以抑制這種誤差，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。更進(jìn)一步，考慮到數(shù)字化APF的延時(shí)現(xiàn)象，為了在寬頻帶范圍內(nèi)保證APF的性能指標(biāo)，在狀態(tài)反饋控制中必須考慮系統(tǒng)時(shí)滯補(bǔ)償。通常，APF的主電路為電壓型PWM逆變器，時(shí)間延遲環(huán)節(jié)的頻率特性可以通過一階慣性環(huán)節(jié)來表示［15］。

針對APF的工作原理與工作特性，文獻(xiàn)［14，16］已經(jīng)對基于切換理論的APF的建模與H∞控制問題進(jìn)行了初步研究，得到關(guān)于APF建模與分析的新方法。該方法為變流器的分析和設(shè)計(jì)開拓了一個(gè)新的思路，但是也存在一些需要改進(jìn)的地方，例如其在APF建模過程中依然采用了近似線性化的方法，基于該模型的分析控制方法必然存在一定的保守性，另外其控制器的設(shè)計(jì)也基本采用單純的反饋控制，且沒有考慮系統(tǒng)延時(shí)對APF補(bǔ)償效果的影響。

基于以上分析，本文提出基于離散時(shí)滯切換系統(tǒng)理論的三相APF建模與控制方法。首先，在APF建模時(shí)考慮數(shù)字化控制產(chǎn)生的時(shí)滯現(xiàn)象，通過時(shí)間延遲環(huán)節(jié)的頻率特性和功率管的開關(guān)規(guī)律得到APF的時(shí)滯離散切換模型，其中電網(wǎng)側(cè)諧波電流作為控制輸出，前饋控制的指令諧波電流與理想指令諧波電流的誤差作為干擾項(xiàng)。這樣APF的電流跟蹤控制問題就轉(zhuǎn)化為仿射離散切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題。針對本文提出的APF仿射時(shí)滯離散切換模型設(shè)計(jì)對應(yīng)的H∞反饋控制器，并通過仿真驗(yàn)證該控制器相對于無時(shí)滯補(bǔ)償?shù)腍∞反饋控制器的優(yōu)越性。

1 基于離散切換理論的時(shí)滯APF系統(tǒng)建模

APF是諧波抑制和無功補(bǔ)償?shù)挠辛ぞ?，其對補(bǔ)償實(shí)時(shí)性和精確性有很高的要求。為了滿足工程中對APF的性能要求，設(shè)計(jì)可靠靈活穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，建立精確的APF模型顯得十分重要。目前數(shù)字化APF在工程中應(yīng)用廣泛，由于其數(shù)字處理的間斷性以及功率開關(guān)器件開斷在工作中呈現(xiàn)的多種開關(guān)模式，三相APF可以看作典型的離散切換系統(tǒng)，利用切換系統(tǒng)相關(guān)理論建?？梢跃_反映其物理工作過程。同時(shí)，三相APF中數(shù)字化控制器引起的系統(tǒng)延時(shí)也不容忽視。文獻(xiàn)［12］指出，高頻諧波對數(shù)字化控制器產(chǎn)生的延時(shí)非常敏感，延時(shí)的存在直接影響APF的PWM過程和整體的補(bǔ)償效果，嚴(yán)重時(shí)還會通過放大高頻段的諧波產(chǎn)生諧振現(xiàn)象，進(jìn)而對系統(tǒng)穩(wěn)定造成嚴(yán)重威脅。所以本文基于離散切換系統(tǒng)理論對三相APF建模的同時(shí)將系統(tǒng)時(shí)滯考慮到模型中，精確的APF模型更有利于設(shè)計(jì)可靠靈活的系統(tǒng)控制器，進(jìn)而滿足APF的性能要求。

1.1 三相數(shù)字化APF系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖1為三相數(shù)字化APF系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其中APF是基于電壓型變流器（VCR）結(jié)構(gòu)的功率逆變電路，它與非線性負(fù)荷并聯(lián)接入電網(wǎng)。每個(gè)采樣周期檢測負(fù)載側(cè)的高次諧波電流分量，得到指令電流并通過電流跟蹤控制方法在每個(gè)切換控制周期觸發(fā)輸出PWM方波驅(qū)動(dòng)功率開關(guān)元件VT1—VT6的通斷，使得APF產(chǎn)生的實(shí)際補(bǔ)償電流icj實(shí)時(shí)跟蹤指令值從而抵消掉電網(wǎng)側(cè)諧波，達(dá)到諧波補(bǔ)償?shù)哪康摹D中isj和usj分別為電網(wǎng)側(cè)電流和電壓，rsj為電網(wǎng)內(nèi)阻，La=Lb=Lc=L為三相濾波電感，ra=rb=rc=r為功率開關(guān)管損耗的等效電阻，Cdc為變流器直流側(cè)電容，udc為直流電容電壓。

圖1 三相數(shù)字化APF系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Configuration of three-phase digital APF system

忽略電網(wǎng)內(nèi)阻，根據(jù)基爾霍夫定律，圖1所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下：

1.2 系統(tǒng)時(shí)滯模型

三相APF系統(tǒng)延時(shí)產(chǎn)生的最主要原因是數(shù)字化控制器控制信號的離散化［11］，由于切換控制信號的發(fā)生周期一般都大于系統(tǒng)采樣周期，所以APF發(fā)出的補(bǔ)償諧波未能實(shí)時(shí)跟蹤負(fù)載側(cè)諧波變化。該延時(shí)的大小可以通過DSP的采樣計(jì)算過程與切換控制過程的相互關(guān)系得到。

為了體現(xiàn)系統(tǒng)中的時(shí)滯因素，分析時(shí)滯模型時(shí)本文只考慮時(shí)滯現(xiàn)象引起的系統(tǒng)諧波補(bǔ)償跟蹤誤差。令三相APF的數(shù)字化控制器引起的系統(tǒng)延時(shí)為τc，則τc可以表示為APF實(shí)際補(bǔ)償?shù)闹C波電流滯后于指令諧波電流的時(shí)間間隔。一般地，系統(tǒng)滯后頻率特性可以通過一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié) Gdl（s）=1/（1+sτc）近似表示［15］。根據(jù)基爾霍夫電流定律，指令諧波電流到電網(wǎng)側(cè)諧波電流isHj的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。圖中iLj為負(fù)載側(cè)諧波電流，則根據(jù)圖2得：

其中，j=a，b，c。

圖2 電網(wǎng)側(cè)諧波電流的產(chǎn)生Fig.2 Generation of grid-side harmonic current

1.3 基于切換系統(tǒng)的三相APF狀態(tài)空間模型

為了實(shí)現(xiàn)三相APF產(chǎn)生的補(bǔ)償電流快速跟蹤指令諧波電流，本文采用前饋控制其中 Gr為控制輸入增益為控制環(huán)的參考輸入，并取前饋指令信號為由于前饋控制采用預(yù)測的方式，要求精確的模型和參數(shù)，所以實(shí)際前饋控制指令總是和理想控制指令存在誤差，這種誤差可能導(dǎo)致諧波放大引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以必須通過反饋控制加以抑制。本文將實(shí)際前饋控制指令與理想控制指令間的誤差看作系統(tǒng)干擾［17］，記為ω，提出前饋控制u′與反饋控制u相結(jié)合的控制規(guī)律，使系統(tǒng)在保證跟蹤性能的同時(shí)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定。令則由式（2）可得：

由式（3）可以看出 a、b、c 三相的電網(wǎng)側(cè)諧波電流isHj表達(dá)式完全一致且解耦，所以系統(tǒng)分析中可只考慮單相網(wǎng)側(cè)諧波電流，此處只考慮isHa。結(jié)合式（1），可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

由于開關(guān)函數(shù)Sa和Sb的不同組成，三相APF有8種工作模式，式（4）可以改寫成系統(tǒng)切換狀態(tài)方程如下：

其中，B=C。

又考慮到三相APF的目的是消除電網(wǎng)側(cè)諧波電流，本文選擇系統(tǒng)輸出為y=isHa，即：

其中，D=［0 0 0 1］。

式（5）、（6）得到的系統(tǒng)切換模型是基于連續(xù)時(shí)間的，為了設(shè)計(jì)直接適用于數(shù)字化APF的系統(tǒng)控制器，系統(tǒng)模型應(yīng)該轉(zhuǎn)換為等價(jià)的離散切換模型。通過線性離散化方法，等價(jià)的系統(tǒng)離散切換模型如下：

由上述分析可知，系統(tǒng)通過設(shè)計(jì)反饋控制器u減弱干擾ω對控制輸出y，即網(wǎng)側(cè)諧波電流isHa的影響，使得isHa的值趨向于盡可能小的數(shù)，這種控制是典型的 H∞控制［18］，結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。圖中K為反饋控制器增益。

圖3 H∞控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of H∞control

2 H∞控制器設(shè)計(jì)

2.1 仿射離散切換系統(tǒng)簡化

式（7）所示的三相APF切換系統(tǒng)模型為典型的仿射離散切換模型，Hi（k）為仿射項(xiàng)且不恒為零。對于此類系統(tǒng)，不能直接利用魯棒H∞控制原理設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器，而需要先對切換系統(tǒng)模型進(jìn)行處理。文獻(xiàn)［19-20］通過拓展?fàn)顟B(tài)空間的方法分析了在仿射項(xiàng)不為零情況下的仿射切換系統(tǒng)H∞控制問題，但該方法由于拓展的系統(tǒng)矩陣不再穩(wěn)定進(jìn)而不可能找到對稱矩陣P滿足李雅普諾夫條件，所以有很大局限性。本文采用拓展輸入信號ω（k）的方法對仿射切換系統(tǒng)處理后進(jìn)行H∞控制，詳細(xì)過程如下。

考慮到切換系統(tǒng)中仿射項(xiàng)因素，將輸入信號ω（k）拓展為以下形式，如式（8）所示：

這樣，系統(tǒng)式（7）就可以寫成：

這里考慮的H∞結(jié)構(gòu)是以有限范圍的L2增益為基礎(chǔ)的，所以提出的擾動(dòng)輸入ω（k）的拓展方式是可行的。

假設(shè)反饋控制量有如下形式：

將控制規(guī)則式（11）代入系統(tǒng)切換模型式（9）后，得到三相APF的閉環(huán)離散切換系統(tǒng)如下：

2.2 H∞控制器設(shè)計(jì)

基于上述對仿射離散切換系統(tǒng)的簡化處理，本文得到了魯棒控制的典型控制對象式（12），從而可以利用魯棒控制的相關(guān)結(jié)論［18］得到適用于該類切換系統(tǒng)的H∞控制器設(shè)計(jì)方法，如定理1表述如下。

定理 1 對于仿射切換系統(tǒng)式（12），當(dāng) x（k）?χi，時(shí)，如果存在正定對稱矩陣、合適維數(shù)的矩陣以及正數(shù) γ＞0使得LMI矩陣不等式

成立，則系統(tǒng)式（12）魯棒鎮(zhèn)定且具有H∞性能界γ，同時(shí)使系統(tǒng)式（12）魯棒鎮(zhèn)定且具有H∞性能界γ的狀態(tài)反饋陣由下式給出：

其中，χi、χj分別為第i個(gè)和第j個(gè)子系統(tǒng)的作用域，Ti=DQi。

寫成矩陣不等式的形式為：

為了滿足式（16）只需使得：

根據(jù) schur補(bǔ)引理［18］可知，式（18）等價(jià)于：

b.在零初始條件下，引入性能指標(biāo)

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文關(guān)于三相APF時(shí)滯切換模型的正確性以及基于系統(tǒng)時(shí)滯補(bǔ)償?shù)腍∞控制器較普通控制器的優(yōu)越性，本節(jié)對三相APF系統(tǒng)在MATLAB軟件環(huán)境下進(jìn)行了數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)。取負(fù)載為不可控三相整流負(fù)載，系統(tǒng)采樣頻率為10 kHz，電網(wǎng)側(cè)電壓為 380 V/50 Hz，電網(wǎng)內(nèi)阻 rsj=0.01 Ω（j=a，b，c），直流側(cè)電容Cdc=10 mF，交流側(cè)三相濾波電感Lj=0.0162 H（j=a，b，c），直流側(cè)電壓 udc=700 V。

三相APF的數(shù)字化控制系統(tǒng)通常采用主從DSP的形式，主DSP工作在采樣周期T下，從DSP采用切換控制周期Ts。在每個(gè)采樣周期T，主DSP完成主要控制程序的計(jì)算，將調(diào)制信號發(fā)送至從DSP處。從DSP通常在切換周期的中點(diǎn)處更新調(diào)制信號后在下一個(gè)切換周期利用該調(diào)制信號產(chǎn)生PWM波來控制APF開關(guān)管的通斷，所以若T=Ts，由DSP數(shù)字控制器產(chǎn)生的時(shí)間延時(shí)大約為1.5 T。取系統(tǒng)延時(shí)τc=1.5 T，H∞控制器中γ=0.2，并假設(shè)理想指令諧波電流通過瞬時(shí)無功功率理論給出。每個(gè)采樣周期利用李雅普諾夫函數(shù)最小原則切換子系統(tǒng)，并通過設(shè)計(jì)對應(yīng)時(shí)滯子系統(tǒng)的H∞反饋控制器K1i和K2i補(bǔ)償時(shí)滯，使得系統(tǒng)穩(wěn)定。因?yàn)榍梆侇A(yù)測控制在子系統(tǒng)建模時(shí)已經(jīng)考慮，所以這種設(shè)計(jì)方式在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)也保證了諧波電流的跟蹤性能。為了更清晰地說明系統(tǒng)時(shí)滯現(xiàn)象對APF工作性能的影響，并驗(yàn)證本文提出的時(shí)滯補(bǔ)償方法的優(yōu)越性，分別對控制環(huán)節(jié)中有時(shí)滯補(bǔ)償和無時(shí)滯補(bǔ)償?shù)腁PF進(jìn)行對比仿真實(shí)驗(yàn)。圖4為負(fù)載側(cè)諧波電流波形和傅里葉分析，圖5為在時(shí)滯補(bǔ)償和非時(shí)滯補(bǔ)償H∞控制下的a相網(wǎng)側(cè)電流及其頻譜分析。其中μ為各次諧波電流與基波電流幅值比值，n為諧波次數(shù)。

對比圖4與圖5可以看出，本文提出的三相APF離散切換模型和切換規(guī)則很好地體現(xiàn)了APF的物理工作特性，a相網(wǎng)側(cè)電流在APF補(bǔ)償后畸變率大幅下降。而圖5（a）和圖5（b）的對比波形也暗示了如果數(shù)字化控制器引起的系統(tǒng)時(shí)滯不得以補(bǔ)償，則會引發(fā)LC線路諧振，進(jìn)而導(dǎo)致網(wǎng)側(cè)電流振動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)還會影響系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖4 負(fù)載側(cè)諧波電流波形和傅里葉分析Fig.4 Waveform and Fourier analysis of load-side harmonic current

圖5 不同H∞控制器下的a相網(wǎng)側(cè)電流及其頻譜分析Fig.5 Waveform and spectrum of grid-side current for different H∞controllers

另外考慮負(fù)載側(cè)電流突變，即在系統(tǒng)遇到擾動(dòng)的情況下，對比傳統(tǒng)PI控制的三角波載波調(diào)制控制與帶時(shí)滯補(bǔ)償?shù)腍∞控制對系統(tǒng)補(bǔ)償效果的影響。a相負(fù)載側(cè)諧波突變電流如圖6所示，PI控制的三角波載波調(diào)制控制下與考慮時(shí)滯的H∞控制下的網(wǎng)側(cè)電源電流如圖7所示。

由圖7清晰地看出，較傳統(tǒng)的控制方法，H∞控制方法的魯棒性更強(qiáng)，在負(fù)荷突然增加后，APF的輸出快速跟蹤了這一突變，使得網(wǎng)側(cè)電流依然為正弦電流。而在傳統(tǒng)控制方法下，系統(tǒng)網(wǎng)側(cè)電流無法快速跟蹤突變，且在干擾嚴(yán)重時(shí)系統(tǒng)容易失去穩(wěn)定。

綜上所述，本文提出的考慮系統(tǒng)時(shí)滯的APF切換系統(tǒng)建模與對應(yīng)的H∞控制器設(shè)計(jì)方法是十分有意義的，更符合工程實(shí)際要求。

圖6 負(fù)載側(cè)諧波突變電流Fig.6 Suddenly-increased load-side harmonic current

圖7 不同控制器下的a相網(wǎng)側(cè)電流Fig.7 Waveform of phase-a current at grid side for different controllers

4 結(jié)論

APF數(shù)字化控制引起的系統(tǒng)延時(shí)不但會影響濾波裝置的補(bǔ)償效果，嚴(yán)重時(shí)還會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性構(gòu)成威脅。本文考慮了數(shù)字化APF的動(dòng)態(tài)工作特性和系統(tǒng)時(shí)滯現(xiàn)象，采用切換系統(tǒng)理論對三相APF建模，得到仿射離散時(shí)滯切換系統(tǒng)模型，并針對該模型設(shè)計(jì)可補(bǔ)償時(shí)滯的H∞反饋控制器以及切換規(guī)律。這種基于切換系統(tǒng)理論的APF建模方法優(yōu)于傳統(tǒng)針對APF的近似線性化建模方法，更加精確地反映了系統(tǒng)物理動(dòng)態(tài)特性。整個(gè)分析過程融合了前饋控制與反饋控制2種控制方式，并且考慮了系統(tǒng)延時(shí)因素，更符合工程實(shí)際要求。本文提出的建模與控制方法對于進(jìn)一步采用切換系統(tǒng)理論研究其他PWM變換器也具有一定的參考價(jià)值。