氣彈耦合作用下平板的穩(wěn)定性

宋志勇

(黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150022)

0 引言

流－固耦合問題是工程中重要的研究課題之一，尤其在機(jī)械、航空、建筑以及管道輸送等領(lǐng)域廣泛存在?？諝鈮毫εc固體結(jié)構(gòu)彈性力的相互耦合作用稱之為氣彈耦合，比較典型的問題是，壁板類結(jié)構(gòu)在幾何和物理參數(shù)一定及氣彈耦合作用下，不僅存在復(fù)雜的分岔問題，而且，其運(yùn)動(dòng)形態(tài)也會(huì)出現(xiàn)屈曲和顫振等失穩(wěn)現(xiàn)象，對(duì)結(jié)構(gòu)安全構(gòu)成了嚴(yán)重威脅。國內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究，Dowell[1－2]分析了采用Galerkin方法離散化后的系統(tǒng)，得到了包括混沌行為在內(nèi)的許多有意義的成果;Holmes[3]采用動(dòng)力系統(tǒng)理論對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行了有限維和無限維的定性分析，在一個(gè)退化平衡點(diǎn)附近發(fā)現(xiàn)了一種余維數(shù)二的分岔;金基鐸[4]研究了擬定常流中二維板在某一類退化點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)此系統(tǒng)可發(fā)生兩種不同類型的余維數(shù)二分岔現(xiàn)象;張?jiān)品宓萚5－8]重點(diǎn)研究了熱黏彈性對(duì)系統(tǒng)分岔影響以及遲滯特性。氣彈耦合振動(dòng)是復(fù)雜的非線性問題，目前，對(duì)特殊退化點(diǎn)附近特別是余維數(shù)較高情況下的分岔現(xiàn)象及穩(wěn)定性問題研究尚少。筆者在前人研究基礎(chǔ)上，針對(duì)兩端簡(jiǎn)支平板的氣彈耦合振動(dòng)模型，運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)理論，研究系統(tǒng)在非雙曲退化點(diǎn)附近，當(dāng)余維數(shù)為三時(shí)的分岔特性以及可能的失穩(wěn)行為，并分析平板預(yù)載荷和氣體壓強(qiáng)系數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。

1 動(dòng)力學(xué)方程

考慮兩邊簡(jiǎn)支矩形薄板兩側(cè)有水平方向的預(yù)載荷作用，僅當(dāng)平板上方有高速氣體流過時(shí)，平板受到的氣動(dòng)力和結(jié)構(gòu)彈性力影響產(chǎn)生氣彈耦合振動(dòng)，如圖1所示。忽略重力影響，初始板兩側(cè)的靜態(tài)壓力差為零。設(shè)平板發(fā)生橫向彎曲變形和軸向拉伸變形，考慮到彎曲變形會(huì)引起附加非線性軸向拉力，板材料本構(gòu)關(guān)系遵循Kelvin－Voigt黏彈性模型。文中設(shè)曲變形為小變形，且僅考慮結(jié)構(gòu)非線性。設(shè)W為板橫向位移，d為厚度，l為板長，ρm為密度，E為彈性模量，H為黏性系數(shù)，ν為泊松比，F(xiàn)0為預(yù)載荷，ρA為空氣的密度，v為流速。認(rèn)為氣壓力作用規(guī)律符合擬定(線性)氣動(dòng)規(guī)律[1]，則氣壓力FP計(jì)算關(guān)系式可寫為

式中:M——馬赫數(shù)。

運(yùn)用達(dá)朗伯原理建立氣彈耦合平板動(dòng)平衡方程[4]，并整理得無量綱化動(dòng)力學(xué)方程:

式中:w——板的位移，w=W/d;

圖1 平板氣彈耦合力學(xué)模型Fig.1 Model of aeroelastic coupling panel

f——預(yù)載荷系數(shù)，f=(F0l2)/(D π2);

ρ——?dú)鈩?dòng)壓強(qiáng)系數(shù)，主要受氣體流速控制，ρ=(ρAv2l3)/(D(M2－1)1/2);

由于式(1)為高階偏微分方程，故須進(jìn)行離散化處理，文中采用Galerkin法對(duì)式(1)進(jìn)行離散化，即令為關(guān)于時(shí)間變量 τ的系數(shù)，取n=2足以反應(yīng)系統(tǒng)基本的動(dòng)力學(xué)行為[1]，則式(1)離散為

其中，參數(shù)μ =(f，ρ，α，δ)，向量X=(x1，x2，x3，x4)T≡

2 穩(wěn)定性與分岔分析

對(duì)于平板氣彈耦合的動(dòng)力學(xué)線性方程組(式(2))，文中研究其在弱非線性條件下預(yù)載荷、氣體壓強(qiáng)等因素對(duì)平板系統(tǒng)失穩(wěn)的影響，以及某類特殊退化點(diǎn)附近的分岔和穩(wěn)定性。

2.1 平板動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，方程(2)的線性化矩陣特征值決定了其動(dòng)力學(xué)行為，在零平衡點(diǎn)下其矩陣特征值方程為

若預(yù)載荷為拉伸載荷，即f＞0，根據(jù)Routh－Hurwitz判據(jù)可知，qi＞0(i=1，2，3，4)，q1q2－q3＞0，則系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。若預(yù)載荷f為非正數(shù)，式(2)中線性化矩陣特征值會(huì)出現(xiàn)零特征值情況，系統(tǒng)穩(wěn)定性問題變得復(fù)雜化，同時(shí)會(huì)出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，此時(shí)必須確定非線性項(xiàng)。其中，特征值零根充要條件為q4=0，反之則無零實(shí)部根。式(2)的線性化矩陣具有兩個(gè)零特征值時(shí)，要求q4=0和q3=0。

由于式(2)的線性化矩陣特征值受參數(shù)f、ρ、α、δ控制，因而，根據(jù)上述條件系統(tǒng)失穩(wěn)臨界壓強(qiáng)或流速公式為

2.2 退化點(diǎn)附近穩(wěn)定性和分岔

當(dāng)參數(shù) μ0=(f0，ρ0，α，δ)時(shí)，可使 A(μ0)具有兩個(gè)零特征值，在存在兩個(gè)共軛復(fù)特征值的情況下，系統(tǒng)受到微小擾動(dòng)，即 μ = μ0+(f－ f0，ρ－ ρ0，0，0)，反映預(yù)載荷的參數(shù)f和氣壓力參數(shù)ρ有改變時(shí)，系統(tǒng)在退化點(diǎn)附近有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。因此，運(yùn)用中心流形理論和正規(guī)形理論對(duì)式(2)降維簡(jiǎn)化處理，有

式中:θ——μ、δ的函數(shù);

ζ1、ζ2、ζ3——開折參數(shù)，依賴于參數(shù) f、ρ。

圖2 平衡點(diǎn)數(shù)量分岔Fig.2 Bifurcation diagram of number of equilibrium points

將平衡點(diǎn)分別代入式(4)的線性化矩陣。系統(tǒng)在各平衡點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為由相應(yīng)特征矩陣的特征值決定。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)引起矩陣 J1、J2，3、J4，5的特征值改變，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為將發(fā)生變化。

顯然其動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定判別式為

其特征值只有一種情況，即屬于不穩(wěn)定鞍點(diǎn)，其中，

其中，

顯然其動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定判別式為

當(dāng)滿足式(6)、(7)時(shí)，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。式(5)～(7)能獨(dú)立判斷圍繞各自平衡點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性，當(dāng)擾動(dòng)較大時(shí)，需聯(lián)合三個(gè)判別式分析。在分岔參數(shù) ζ1、ζ2、ζ3共同控制下，會(huì)出現(xiàn)比較復(fù)雜分岔和穩(wěn)定性變化。

考慮ζ3為正數(shù)，根據(jù)式(5)～(7)得到系統(tǒng)圍繞全部平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分岔圖，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分岔區(qū)域Fig.3 Regional bifurcation stability of system

3 數(shù)值分析

3.1 退化點(diǎn)附近穩(wěn)定性

根據(jù)圖2和式(5)～(7)分析系統(tǒng)受到微小擾動(dòng)后的動(dòng)力學(xué)行為，可以發(fā)現(xiàn)，圖3中參數(shù)區(qū)域3～6、13 ～15 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)趨于穩(wěn)定;1、2、7 ～11、16 區(qū)域相流將流出局部，系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn);17參數(shù)區(qū)域在^y1附近穩(wěn)定，遠(yuǎn)離^y1局部范圍內(nèi)系統(tǒng)失穩(wěn)會(huì)流出，將出現(xiàn)極限環(huán)，即出現(xiàn)周期性運(yùn)動(dòng)，且隨著α的增大，失穩(wěn)的參數(shù)區(qū)域?qū)U(kuò)展。

在各參數(shù)區(qū)域分別選取參數(shù)，采用MATLAB軟件對(duì)式(3)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。圖4a、4b分別為第11、13參數(shù)區(qū)域系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相圖，其相流結(jié)構(gòu)表明，系統(tǒng)受到微小擾動(dòng)后，將流出局部，平板系統(tǒng)可能發(fā)生屈曲。圖4c、4d分別為第12、17參數(shù)區(qū)域系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相圖。圖4c的相流結(jié)構(gòu)表明，系統(tǒng)微小擾動(dòng)后，將趨向穩(wěn)定點(diǎn)，即平板系統(tǒng)會(huì)趨于靜止;圖4d的相流結(jié)構(gòu)表明，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)^y1附近趨于一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，遠(yuǎn)離^y1的局部范圍內(nèi)流向一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，即平板系統(tǒng)將發(fā)生顫振。

3.2 系統(tǒng)失穩(wěn)臨界速度及預(yù)載荷

考慮到系統(tǒng)黏彈性系數(shù)等為小量，采用MATLAB軟件對(duì)式(2)和(3)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，取(α，δ)=(0.1，0.1)，當(dāng)初始?xì)怏w流速為零時(shí)，壓強(qiáng)為零，平板不會(huì)產(chǎn)生失穩(wěn)。隨著流速增加，壓強(qiáng)也增大，在適當(dāng)預(yù)載荷等參數(shù)條件下出現(xiàn)失穩(wěn)行為。圖5中，各曲線和零軸線交點(diǎn)為系統(tǒng)具有零特征情況時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界氣壓強(qiáng)，根據(jù)前述分析，此時(shí)平板存顫振和屈曲行為，且隨著預(yù)壓載荷增大而增加。

式(2)具有零特征值時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)失穩(wěn)情況。圖6為不同氣壓強(qiáng)條件下，系數(shù)隨預(yù)載荷的變化規(guī)律，各曲線和零軸交點(diǎn)表明一定流速下系統(tǒng)穩(wěn)定所需的預(yù)載荷，隨著氣體流速降低，預(yù)載荷也減小。

圖7、8為系統(tǒng)至少具有一個(gè)零特征數(shù)值時(shí)，式(2)線性化矩陣其余三個(gè)特征值與平板預(yù)載荷、氣壓強(qiáng)關(guān)系。可以發(fā)現(xiàn)，預(yù)載荷在－2.0和－1.5之間系統(tǒng)對(duì)動(dòng)力學(xué)行為變得敏感，當(dāng)有微小擾動(dòng)時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，這與文中前述的退化點(diǎn)情況下的預(yù)載荷取值相一致(理論分析中已經(jīng)證明)。圖8表明，當(dāng)氣體初速較小時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為對(duì)擾動(dòng)反應(yīng)不敏感，當(dāng)速度達(dá)到一定區(qū)域時(shí)，即氣壓強(qiáng)為60～100(與前述理論和圖5結(jié)果一致)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為對(duì)擾動(dòng)反應(yīng)變得敏感，可能會(huì)出現(xiàn)屈曲等失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖4 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相圖Fig.4 Kinetics phase diagram of system

圖5 系數(shù)q4與氣壓強(qiáng)關(guān)系Fig.5 Relationship between q4and pre load

圖6 系數(shù)q2、q3與預(yù)載荷關(guān)系Fig.6 Relationship between q2，q3and pre load

圖7 η與預(yù)荷載關(guān)系Fig.7 Relationship between η and pre load

圖8 η與氣壓強(qiáng)關(guān)系Fig.8 Relationship between η and gas pressure

4 結(jié)束語

筆者運(yùn)用Galerkin法和中心流形理論簡(jiǎn)化了兩端簡(jiǎn)支、一面受氣動(dòng)力作用的二維平板的動(dòng)力學(xué)方程組，分析了平板預(yù)載荷和氣壓強(qiáng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性改變的影響及動(dòng)力學(xué)方程在兩個(gè)零特征值退化點(diǎn)附近的分岔和系統(tǒng)穩(wěn)定性。研究結(jié)果顯示，一方面，系統(tǒng)在具有兩個(gè)零特征值的退化點(diǎn)附近，局部范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)極限環(huán)和不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，即平板受到擾動(dòng)將發(fā)生周期性運(yùn)動(dòng)(顫振)和屈曲。文中給出了此時(shí)判定平板受到擾動(dòng)時(shí)會(huì)趨向靜止(穩(wěn)定)和發(fā)生屈曲等(失穩(wěn))的參數(shù)條件。另一方面，系統(tǒng)具有零特征值失穩(wěn)時(shí)，預(yù)載荷和氣壓強(qiáng)系數(shù)的取值范圍大致為－2.0～－1.5和60～100，預(yù)載荷與氣壓強(qiáng)在此類失穩(wěn)情況下成正比關(guān)系。

上述研究對(duì)于工程中預(yù)防失穩(wěn)、保障結(jié)構(gòu)安全具有一定參考意義。但由于工程壁板氣彈耦合問題中，高非線性自治系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性是目前力學(xué)領(lǐng)域較難研究的課題，且平板支撐條件、熱因素和平板的空間變形等也會(huì)對(duì)系統(tǒng)建模產(chǎn)生影響，有關(guān)動(dòng)力學(xué)方程的分析理論也不夠完善，有待于進(jìn)一步探討。

[1]DOWELL E H.Nonlinear oscillations of a fluttering plate[J].AIAA J，1966，4(7):1267 －1275.

[2]DOWELL E H.Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion of a determinstic autonomous system[J].Journal of Sound＆ Vibration，1982，85(3):333－344.

[3]HOLMES P J.Bifurcations to divergence and flutter in flow-lnduced Osciations，a fintte dimensional analysis[J].Journal of Sound＆ Vibration，1977，53(4):471－503.

[4]金基鐸.超音速流中二維板的穩(wěn)定性和分岔[C]//第五屆現(xiàn)代數(shù)學(xué)和力學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議論文集.徐州:中國力學(xué)學(xué)會(huì)，1993:329－334.

[5]張?jiān)品?，劉占生，葉建槐.黏彈壁板非線性顫振滯后特性分析[J].振動(dòng)與沖擊，2007，26(7):101－105.

[6]李 鵬，楊翊仁，魯 麗.外激勵(lì)作用下亞音速二維壁板分岔及響應(yīng)研究[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，43(4):746－753.

[7]周良強(qiáng)，陳予恕，陳芳啟.超音速氣流中受熱壁板的非線性動(dòng)力學(xué)分析[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10(19):4744－4747.

[8]梅冠華，張家忠，席 光.基于時(shí)滯慣性流形的二維平面壁板非線性氣動(dòng)彈性分析[J].振動(dòng)與沖擊，2012，31(10):141－146.