基于貝葉斯理論的刀具維修決策模型

劉 念，李建蘭，陳 剛，丁宏剛，康 樂，嚴(yán) 野

（1. 華中科技大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，武漢 430074；2. 中國人民解放軍91760部隊(duì)，江門 529145）

0 引言

隨著生產(chǎn)技術(shù)的高速發(fā)展，電力和機(jī)械等行業(yè)的設(shè)備日趨大型化和精密化，設(shè)備的正確維修對企業(yè)的安全和經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)都具有重要意義。設(shè)備工作性能的好壞、效率的高低都與維修有關(guān)，對故障原因癥候診斷的正確處理以及維修方式的運(yùn)用，這些都需要維修計(jì)劃的指導(dǎo)[1]。維修策略的選擇與時(shí)機(jī)的確定成為研究者們關(guān)注的熱點(diǎn)問題。

近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者對維修決策進(jìn)行了研究，提出了各種決策模型。Murray A和Ko T J等人利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或自回歸時(shí)序等模型對磨損量進(jìn)行計(jì)算或監(jiān)測[2～4]，CAO X和陳保家等人利用比例危險(xiǎn)模型或Logistic回歸模型預(yù)測刀具有效剩余壽命[5,6]。周奇才等人提出了基于風(fēng)險(xiǎn)的維修決策，對堆垛機(jī)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行定量分析并利用風(fēng)險(xiǎn)為決策目標(biāo)建立維修策略以降低堆垛機(jī)的運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn)[7]。程志君等人針對部件間存在經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的復(fù)雜系統(tǒng)，提出一類基于機(jī)會策略的視情維修優(yōu)化模型，解決系統(tǒng)層事后維修與視情維修的綜合優(yōu)化問題[8]。王進(jìn)才等人運(yùn)用馬爾可夫決策模型，提出了以費(fèi)用效果為指標(biāo)的維修策略[9]。羅運(yùn)虎等提出基于風(fēng)險(xiǎn)的用戶可靠性需求決策模型，得到了用戶可靠性需求的最優(yōu)值[10]。此外，林月平等人將最短路徑算法應(yīng)用在工程裝備應(yīng)急維修決策中，提高了維修保障效率[11]。劉曉平等人將進(jìn)化蒙特卡洛方法引入機(jī)械故障診斷的特征選擇，提高機(jī)械故障診斷精度和診斷效率[12,13]。還有一些學(xué)者開發(fā)了關(guān)于維修決策的軟件支持系統(tǒng)，李敏等人引入了基于狀態(tài)的維修，設(shè)計(jì)并開發(fā)了自行火炮狀態(tài)維修決策支持系統(tǒng)(CBMDSS)[14]；吳軍等人提出基于隱馬爾科夫鏈模型的數(shù)控裝備可靠性預(yù)測方法，在此基礎(chǔ)上, 開發(fā)了數(shù)控裝備可靠性預(yù)測原型軟件系統(tǒng)，該系統(tǒng)對于提高數(shù)控裝備利用率、減少數(shù)控裝備維修費(fèi)用以及延長數(shù)控裝備使用壽命等具有重要的意義[15]。

在維修實(shí)際中，由于設(shè)備自身特性以及實(shí)際運(yùn)行條件等各種原因，設(shè)備狀態(tài)劣化的發(fā)展過程通常不是嚴(yán)格按照統(tǒng)計(jì)出來的性能曲線的過程發(fā)展，而是劣化程度存在偏差的情況[16～18]。針對這一問題，本文根據(jù)修正的思想將先驗(yàn)概率加以修正，建立基于貝葉斯理論的維修決策模型，以實(shí)現(xiàn)基于設(shè)備實(shí)際狀態(tài)的維修決策。

1 基于貝葉斯理論的維修決策模型

基于貝葉斯理論的維修決策模型，從刀具個(gè)體差異性角度出發(fā)，根據(jù)貝葉斯理論得到刀具當(dāng)前狀態(tài)的后驗(yàn)分布，然后再結(jié)合性能曲線確定刀具未來某一時(shí)刻狀態(tài)，得到不同時(shí)刻點(diǎn)的維修成本，最后根據(jù)基于維修成本最小化的原則確定最優(yōu)的維修方案。

1）狀態(tài)向量A

狀態(tài)向量指設(shè)備的全部可能狀態(tài)的集合。一般，設(shè)備狀態(tài)可分為正常、不正常和故障三種狀態(tài)。由于設(shè)備處于故障狀態(tài)時(shí)必須進(jìn)行維修，而本文討論的主題是選擇最佳設(shè)備維修時(shí)機(jī)，因此，故障狀態(tài)不需要考慮，設(shè)備狀態(tài)只需考慮正常和不正常即可。設(shè)設(shè)備狀態(tài)向量A為：

根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量，產(chǎn)品狀態(tài)分為合格和不合格，因此，定義產(chǎn)品狀態(tài)向量C為：

2）先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率

先驗(yàn)概率指根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和分析得到的概率。設(shè)備性能曲線通常由歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析得到，如圖1所示，反映了設(shè)備正常/異常概率與工作時(shí)間的關(guān)系。因此，設(shè)備狀態(tài)的先驗(yàn)概率可以由性能曲線獲得，根據(jù)設(shè)備運(yùn)行時(shí)間t即可在性能曲線上得到設(shè)備正常的先驗(yàn)概率Pt1(A1)以及設(shè)備不正常的先驗(yàn)概率Pt1(A2)。

圖1 設(shè)備性能曲線

后驗(yàn)概率指利用新的信息修正先驗(yàn)概率后獲得的更接近實(shí)際情況的概率估計(jì)，表示為Pt1(A2|B)，其中，B為抽樣事件：在t1時(shí)刻，在設(shè)備加工后的產(chǎn)品中抽取m件產(chǎn)品，有n件不合格，其余合格。本文將利用貝葉斯理論來計(jì)算后驗(yàn)概率。

根據(jù)貝葉斯理論，設(shè)有構(gòu)成事件完備組的2個(gè)事件Ai（i=1，2），t1時(shí)刻各事件發(fā)生的概率分別為Pt1(Ai)，獨(dú)立事件B發(fā)生的概率為P(B)。假設(shè)事件B在事件Ai條件下發(fā)生的概率為Pt1(B|Ai)，則t1時(shí)刻事件Ai在事件B條件下發(fā)生的概率為：

公式（3）中， Pt1(Ai|B)為t1時(shí)刻事件Ai的后驗(yàn)概率， Pt1(Ai)為t1時(shí)刻事件Ai的先驗(yàn)概率， B為觀測樣本事件。

根據(jù)條件概率公式可以得到：

式（4）、（5）中m, n分別為抽樣總數(shù)和抽樣次品數(shù)，將式（4）、（5）代入公式（3）中，得到t1時(shí)刻設(shè)備狀態(tài)為正常、異常的后驗(yàn)概率Pt1(Ai|B)（i=1,2）為：

后驗(yàn)概率Pt1(Ai|B)是在設(shè)備統(tǒng)計(jì)概率Pt1(Ai)基礎(chǔ)上修正得到，通過對設(shè)備設(shè)置抽樣事件增加信息量，克服了統(tǒng)計(jì)概率不針對個(gè)體的缺點(diǎn)，得到更加符合設(shè)備自身實(shí)際的概率分布。后驗(yàn)概率的引入，為更準(zhǔn)確地評價(jià)設(shè)備所處狀態(tài)提供了一個(gè)途徑，也為正確選擇維修決策提供了基礎(chǔ)，是一種簡單的基于狀態(tài)的維修策略。

根據(jù)后驗(yàn)概率Pt1(A2|B)在性能曲線中得到相應(yīng)的運(yùn)行時(shí)間t1’，即性能曲線上t1’時(shí)刻概率Pt1’(A2)=Pt1(A2|B)，記Pt1’(A2)為考慮設(shè)備實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)后t1時(shí)刻對應(yīng)的當(dāng)量概率，則有Pt1’(A2)=Pt1’(A2)=Pt1(A2|B)，反映了設(shè)備的實(shí)際劣化狀態(tài)。修正后的概率才是設(shè)備實(shí)際的故障概率。應(yīng)當(dāng)是根據(jù)修正后的概率，找到一個(gè)對應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)（當(dāng)量時(shí)間），就相當(dāng)于設(shè)備已經(jīng)運(yùn)行了更長的時(shí)間，所以才有更高的故障率。從時(shí)間上說，由于設(shè)備加劇了劣化，所以更接近于失效，壽命變短，不能運(yùn)行到預(yù)期的時(shí)間點(diǎn)。當(dāng)然，如果設(shè)備保養(yǎng)得好，也有可能是修正后的概率更低，那就意味著設(shè)備可以使用更長的時(shí)間。

設(shè)下一維修時(shí)刻為t2時(shí)刻，由當(dāng)前修正后的點(diǎn)t1’時(shí)刻容易得到下一維修時(shí)刻t2時(shí)刻，并在性能曲線中得到t2時(shí)刻對應(yīng)的設(shè)備狀態(tài)異常的概率Pt2(A2)，如圖1所示。繼而得到t2時(shí)刻設(shè)備狀態(tài)正常概率Pt2(A1)=1- Pt2(A2)。

3）概率矩陣P

把某一時(shí)刻設(shè)備各狀態(tài)的概率組成一個(gè)矩陣，稱為該時(shí)刻的概率矩陣P。設(shè)t1時(shí)刻的概率矩陣為P1，t2時(shí)刻的概率矩陣為P2，則有：

4）維修決策向量Q

維修決策向量指設(shè)備全部可能維修方案的集合，設(shè)維修方案包括立即維修和暫不維修。則維修決策向量Q為：

5）約束條件

當(dāng)設(shè)備運(yùn)行時(shí)間超過最大允許運(yùn)行時(shí)間或抽樣事件次品率超過允許值時(shí)，均需立即維修。為了保證設(shè)備安全性，設(shè)約束條件：

公式（10）中，t為設(shè)備運(yùn)行時(shí)間，tmax為設(shè)備最大允許運(yùn)行時(shí)間， p(B)為抽樣次品率，p(B)max為抽樣允許最大次品率。

6）維修成本矩陣F

維修過程中可能存在零件更換、生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量、設(shè)備停機(jī)和人力資源等方面的損耗，同時(shí)零件的使用壽命也影響著維修的總成本，當(dāng)零件使用時(shí)間超過其設(shè)定壽命時(shí)，超出的使用時(shí)間會減少廠家對零件的投資成本，本文把因?yàn)榱慵褂脡勖娱L所減少的投資稱為節(jié)省投資成本；當(dāng)零件超出其壽命時(shí)，節(jié)省投資成本為正值，反之為負(fù)值。因此，本文所討論的維修過程中的成本包括次品成本、零件成本、停機(jī)成本、人工成本和節(jié)省投資成本。在給定設(shè)備狀態(tài)下，不同的決策行為會有不同的維修成本。將不同設(shè)備狀態(tài)、決策行為下，各維修成本的數(shù)值表示成一個(gè)矩陣，稱為維修成本矩陣，記為F。因此，采取qi（i=1,2）維修決策時(shí)的維修成本矩陣Fi為：

公式（11）中各元素分別表示采用決策qi時(shí)的各維修要素。分別是設(shè)備狀態(tài)為正常（A1）、不正常（A2）時(shí)的次品成本；分別是設(shè)備狀態(tài)為正常（A1）、不正常（A2）時(shí)的零件成本；分別是設(shè)備狀態(tài)為正常（A1）、不正常（A2）時(shí)的停機(jī)成本；分別是設(shè)備狀態(tài)為正常（A1）、不正常（A2）時(shí)的人工成本；分別是設(shè)備狀態(tài)為正常（A1）、不正常（A2）時(shí)的節(jié)省投資成本。

7）維修總成本U

維修總成本是各維修決策方案所產(chǎn)生的維修成本。維修總成本矩陣可表示為：

根據(jù)最小維修成本的原則，得到基于貝葉斯理論維修決策模型的最優(yōu)決策qmax為：

若U1＜ U2,選取q1為維修決策；反之選取q2為維修決策。

2 加工中心刀具維修時(shí)機(jī)決策

刀具是加工中心的重要部件，刀具狀態(tài)的好壞直接影響著工件的加工質(zhì)量。因此，刀具的合理更換是生產(chǎn)質(zhì)量和經(jīng)濟(jì)性的重要保證。已知廠家提供的刀具性能曲線如圖2所示，刀具平均壽命為加工工件950件，刀具已經(jīng)加工工件數(shù)為800件，在刀具加工的產(chǎn)品中，抽取300件產(chǎn)品，有1件不合格，其余合格。

圖2 刀具性能曲線

工廠歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)表明，刀具狀態(tài)正常時(shí)產(chǎn)品合格率為99.9%，刀具狀態(tài)不正常時(shí)產(chǎn)品合格率為99%。廠家規(guī)定：產(chǎn)品抽樣不合格率不得高于1%，刀具加工工件數(shù)不得超過1200件。以一天為時(shí)間段，刀具狀態(tài)為正常、不正常時(shí)產(chǎn)生的次品數(shù)分別為1件和5件，一件次品損失500元，停機(jī)時(shí)間一小時(shí)損失30000元，因?yàn)榈毒咴蚨C(jī)后維修時(shí)間一般為0.5小時(shí)，即每次停機(jī)損失為15000元，刀具壽命延長一天節(jié)省的投資成本為1000元。刀具維修過程中，維修類型分為預(yù)防性維修和故障維修。當(dāng)設(shè)備狀態(tài)正常時(shí)，實(shí)施預(yù)防性維修；當(dāng)設(shè)備狀態(tài)不正常時(shí)，實(shí)施故障維修。當(dāng)前時(shí)刻（t1時(shí)刻）和下一時(shí)刻（t2時(shí)刻）的維修成本如表1、表2所示。

表1 t1時(shí)刻維修成本表

表2 t2時(shí)刻維修成本表

在圖2中，橫坐標(biāo)為刀具已加工工件數(shù)，縱坐標(biāo)為刀具失效率。由刀具加工工件數(shù)為800，可知其先驗(yàn)失效率為0.007，即刀具先驗(yàn)概率分布為：

由已知條件可知，當(dāng)設(shè)備狀態(tài)為正?；虿徽r(shí)，產(chǎn)品合格率分別為：

將上述先驗(yàn)概率與條件概率的數(shù)據(jù)帶入公式（6）和公式（7），得到此時(shí)刀具狀態(tài)的后驗(yàn)概率為：

通過圖2和Pt1’(A2)，得到修正后的當(dāng)量工件數(shù)為680件，按每天加工100件工件，往后推一天得到第二天t2時(shí)刻加工工件數(shù)為780，由圖2可知t2時(shí)刻刀具狀態(tài)分布為：

得到t1時(shí)刻和t2時(shí)刻概率矩陣分別為：

因t1時(shí)刻和t2時(shí)刻刀具均未超出平均壽命，其節(jié)省投資成本分別為：

采用決策q1即立即維修時(shí)，維修類型為預(yù)防性維修，記此時(shí)維修成本矩陣為F1；采用決策q2即暫不維修時(shí)，維修類型為預(yù)防性維修或故障維修，記此時(shí)維修成本矩陣為F2，有：

得到：

因?yàn)閁1＞ U2，所以最優(yōu)決策為q2：暫不維修。

曲線中t2時(shí)刻異常概率Pt2(A2)可以作為t2時(shí)刻的先驗(yàn)概率，在t2時(shí)刻時(shí)，同樣可以采用抽樣事件增加信息量，得到t2時(shí)刻的后驗(yàn)概率，不斷修正刀具所處狀態(tài)，使其更真實(shí)地反映劣化狀態(tài)，并在此基礎(chǔ)上得到t2時(shí)刻的最優(yōu)維修決策，如此反復(fù)，依次得到下一時(shí)刻點(diǎn)的最優(yōu)維修決策。

3 結(jié)束語

本文建立了一種基于貝葉斯理論的維修決策模型，適用于設(shè)備先驗(yàn)概率已知、抽樣事件容易實(shí)施的維修決策的選擇。刀具的維修決策結(jié)果表明，基于貝葉斯理論的后驗(yàn)概率不僅能較好地修正先驗(yàn)概率，更為重要的是反映了設(shè)備更為真實(shí)的劣化狀態(tài)，為維修決策提供了重要依據(jù)，從而減少設(shè)備的維修不足和過度維修，保證了設(shè)備的安全運(yùn)行和經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。本文研究成果為企業(yè)施行狀態(tài)檢修提供了一種途徑，具有有益的參考意義。

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