齒輪輪緣厚度對裂紋擴展路徑的影響研究

劉雙，朱如鵬，陸鳳霞

（南京航空航天大學(xué)機電學(xué)院，江蘇南京 210016）

0 引言

齒輪傳動是直升機傳動系統(tǒng)中最重要的一種傳動［1］。齒輪傳動在機器中應(yīng)用很廣泛，它既可以用來傳遞動力，也可以用來變換轉(zhuǎn)速和旋轉(zhuǎn)方向。通常齒輪設(shè)計需要平衡與優(yōu)化成本，體積，壽命和可靠性等因素，齒輪傳動的失效一般發(fā)生在輪齒上，而輪齒的折斷一般發(fā)生在齒輪齒根部位，包括疲勞折斷和過載折斷［2］。隨著我國直升機傳動系統(tǒng)的發(fā)展，我們對齒輪的傳動設(shè)計提出了更高的要求。近幾十年來，國內(nèi)和國外的專家學(xué)者們都從不同角度研究了齒輪齒根裂紋的斷裂特性，但對齒根裂紋擴展研究較少，因此，從線彈性斷裂力學(xué)的角度出發(fā)，結(jié)合商用有限元軟件Abaqus來分析裂紋斷裂過程的斷裂力學(xué)特性;齒根的斷裂特性受多種因素的影響，包括齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)以及復(fù)雜外載，本文主要研究齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)中的相同齒高下不同的輪緣厚度對裂紋擴展路徑的影響。

1 輪齒折斷的斷裂力學(xué)特性分析

一個帶有初始裂紋的齒輪，在交變載荷作用下，裂紋會緩慢擴展，當(dāng)裂紋由初始長度擴展到臨界尺寸時就會失穩(wěn)破壞，這就是疲勞破壞。目前在工程中應(yīng)用最為廣泛的依然是1963年由Paris在實驗基礎(chǔ)上提出來的疲勞裂紋擴展公式-Paris公式，他建立了疲勞裂紋擴展速率與△k之間的關(guān)系:疲勞損傷在構(gòu)件內(nèi)逐漸積累，達(dá)到某一臨界值時，形成初始裂紋;然后，在循環(huán)應(yīng)力及環(huán)境的共同作用下，逐步擴展，即發(fā)生亞臨界擴展;當(dāng)裂紋長度達(dá)到臨界裂紋長度時，難以承受載荷而斷裂;通常把疲勞裂紋擴展分為三個階段:微觀裂紋擴展階段，宏觀裂紋擴展階段，失穩(wěn)擴展階段;在工程實際應(yīng)用中，一般主要以第二階段作為疲勞裂紋擴展壽命的研究區(qū)域。

當(dāng)帶有裂紋的構(gòu)件受到載荷作用時，裂紋端部的應(yīng)力就會達(dá)到很大，理論上可以達(dá)到無限大，此時，常規(guī)的強度準(zhǔn)則已經(jīng)不適用，必須代之以應(yīng)力強度因子來衡量材料的受載程度和極限狀態(tài)。應(yīng)力強度因子K是斷裂力學(xué)里最為基本的參數(shù)，用來描述彈性裂紋尖端應(yīng)力場強弱，它與外加載荷的大小和齒輪的幾何形狀有關(guān)。基本的斷裂模式共有三種，張開型，滑開型，撕開型，其中的張開型裂紋是所有斷裂中最危險的，也對裂紋擴展的影響最大。研究齒輪的斷裂首先必須先研究裂紋端部的應(yīng)力場，在任何應(yīng)力下的裂尖應(yīng)力場為:

其中:r為距裂紋尖端的距離，θ=arctan（x2/x1），KⅠ為張開型應(yīng)力強度因子，KⅡ為滑開型應(yīng)力強度因子，KⅢ為撕開型應(yīng)力強度因子。對于二維裂紋，假定KⅢ等于0，則裂紋尖端的極應(yīng)力表達(dá)式為:

根據(jù)最大周向正應(yīng)力理論提出的假設(shè)，當(dāng)最大周向應(yīng)力達(dá)到臨界值時，裂紋開始沿著垂直于最大周向應(yīng)力的方向擴展，裂紋擴展角度θ可以參考裂紋平面計算［4］，裂紋擴展方向可跟據(jù)式（2）和式（3）中?σθθ/?θ=0 求得:

根據(jù)裂紋擴展角度，可以得出裂紋在循環(huán)載荷作用下不斷往前擴展的擴展路徑;在裂紋不斷往前擴展的過程中，裂紋尖端各點的內(nèi)應(yīng)力也隨著K增大而增大［5］。當(dāng)k增大到某一臨界值時，就能使裂紋尖端附近區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力大到足已使材料分離，從而導(dǎo)致裂紋失穩(wěn)擴展。這個臨界值通常稱為斷裂韌性，即文中的KIc，這時，輪齒便會產(chǎn)生失穩(wěn)擴展而很快斷裂。

2 輪齒斷裂有限元仿真

2.1 齒輪模型的建立

表1 齒輪基本參數(shù)

圖1 齒輪模型

2.2 帶有初始裂紋的齒輪模型的建立

定義一對齒輪副，大齒輪z=38，m=2.5，保證傳動力矩180 T不變［8］，通過接觸嚙合，分析得到小齒輪上載荷作用在單對齒嚙合最高點［9］，載荷為交變載荷，最大載荷為x方向為-209×6 N，y方向為655×6 N。在建模時，將初始裂紋位置置于齒輪上最大主應(yīng)力處，也即齒輪齒根處，方向垂直于過度圓角［10］。齒根處初始裂紋模型如圖2 所示［11］，假定初始裂紋長度為 0.2 mm，在 Hypermesh 中對齒輪進行網(wǎng)格劃分，定義為二階網(wǎng)格。由于裂紋尖端的應(yīng)力和應(yīng)變是奇異的，因此在進行單元網(wǎng)格劃分時，必須先在裂紋尖端位置定義奇異點，把裂紋尖端周圍的網(wǎng)格單元上各條邊中的節(jié)點移至靠裂紋尖端的1/4分點處［12］。劃分好的帶有初始裂紋的裂紋尖端網(wǎng)格如圖2所示，圖中粗線處為裂紋平面。

圖2 裂紋尖端網(wǎng)格模型

網(wǎng)格劃分好之后在abaqus中定義材料屬性、加載載荷和邊界條件，計算模型如圖3所示。

圖3 加載后齒輪模型

模型生成后提交計算，計算中采用五圍積分法，控制圍積分輸出，結(jié)果分別輸出應(yīng)力強度因子KI、KII。其中原始裂紋的初始裂紋平面通過兩節(jié)點矢量測量得到。我們知道靜載下的齒輪齒根裂紋是不會往前擴展，但齒輪在轉(zhuǎn)動過程中，由于輪齒上所受的力為疲勞載荷，所以一旦產(chǎn)生初始裂紋，并且外力足夠大，則裂紋就會不斷往前擴展。在仿真計算過程中，給定裂紋擴展步長0.2 mm，當(dāng)裂紋每擴展一步，分別求出裂紋尖端附近應(yīng)力強度因子KI，KII，并代入式（4）求得裂紋開裂角θ0。根據(jù)計算得到的裂紋尖端的開裂角，把裂紋平面旋轉(zhuǎn)角度θ0后沿著新的裂紋平面把裂紋往前推進，然后求出新的裂紋尖端附近的應(yīng)力強度因子，模擬出第二階段齒根裂紋擴展趨勢，依次類推，可以分別得到第三，第四階段的裂紋擴展路徑。最后得出整個裂紋擴展路徑如圖4所示。

圖4 裂紋擴展路徑

通過齒輪齒根裂紋擴展仿真，可以預(yù)測裂紋的總體擴展方向，即沿著最大應(yīng)力和齒輪強度薄弱的地方擴展［13］。這種裂紋擴展的模擬方法是建立在最大周向正應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上的，為預(yù)測裂紋的擴展方向提供了很好的方法。

2.3 輪緣尺寸對裂紋擴展路徑的影響

下面主要研究齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)對裂紋路徑的影響，主要考慮在相同齒數(shù)和模數(shù)下，不同的輪緣尺寸對根部裂紋應(yīng)力強度因子以及裂紋擴展趨勢的影響。假設(shè)在齒根附近相同的位置存在一條初始裂紋，其長度仍為0.2 mm。在計算過程中通過改變t/h的比值［14］，使齒輪的全齒高和輪緣尺寸的比值發(fā)生變化，如圖5所示。采用上述仿真分析方法模擬出兩種情況下的裂紋擴展趨勢，并計算得到每種情況下裂紋尖端的應(yīng)力強度因子如表2所示。

圖5 齒輪輪緣尺寸變化

表2 裂紋尖端應(yīng)力強度因子值

續(xù)表2

把求得的裂紋尖端應(yīng)力強度因子值擬合成曲線如圖6圖7所示。

圖6 裂紋長度與kⅠ關(guān)系圖

圖7 裂紋長度與kⅡ關(guān)系圖

通過對不同輪緣尺寸下應(yīng)力強度因子的曲線擬合，可以看出應(yīng)力強度因子KI，KII在變化過程中，都是由小變大;在全齒高不變的情況下，在裂紋擴展的初始階段，輪緣尺寸t越小，其裂紋尖端應(yīng)力強度因子KI也越小，在裂紋不斷往前擴展時，其增長速率越大;在整個裂紋擴展階段，KI值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于KII值，因此在判斷齒輪失效的過程中，可以忽略KII值對裂紋擴展的影響，僅以KIc作為齒輪失效的判據(jù)。

從上述分析可知，輪緣尺寸t越小，其裂紋尖端的應(yīng)力強度因子增長速率越大，也即其應(yīng)力強度因子值越容易接近該材料的斷裂韌性，其輪齒越容易折斷［15］。

根據(jù)Paris公式保守估計兩種情況下的疲勞裂紋擴展速率，如圖8所示，從圖中可以看出輪緣尺寸t越小，其裂紋擴展速率越大。

圖8 裂紋擴展速率

綜合以上分析可知:假使根部出現(xiàn)裂紋，輪緣尺寸t越小的齒輪也越容易發(fā)生斷裂。進行齒輪設(shè)計時，在考慮齒輪的使用壽命、質(zhì)量、等因素的情況下，應(yīng)該盡量增加輪緣尺寸t，或者增加齒輪根部的強度，從而消除齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)對輪齒斷裂的影響。

3 結(jié)語

裂紋從產(chǎn)生到最后失穩(wěn)擴展中間會有一個穩(wěn)定擴展階段。本文提出了基于Abaqus的研究齒輪齒根裂紋擴展的方法，并根據(jù)最大周向正應(yīng)力理論，結(jié)合一個具體的例子，分步模擬了齒根裂紋的擴展趨勢，同時研究了不同的齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)下裂紋的擴展趨勢，保守估算出不同輪緣尺寸下裂紋的擴展速率，為齒輪的可靠性設(shè)計和抗斷裂設(shè)計打下基礎(chǔ)。

［1］尹雙增.斷裂損傷理論及應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，1992.

［2］洪起超.工程斷裂力學(xué)基礎(chǔ)［M］.上海:上海交通大學(xué)出版社，1986.

［3］David G.Lewicki.Gear crack propagation pathstudies-Guidelines for Ultra-Safe Design.NASA/TM—2001-211073.

［4］解德.斷裂力學(xué)中的數(shù)值計算方法及工程應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.

［5］Panagiotis J.Papadakis.A numerical procedure for the determination of certain quantities related to the stress intensity factors in two-dimensional elasticity.Computer methods in applied mechanics and enginerring.122（1995）:69-92.

［6］唐進元，周長江，吳運新.齒輪彎曲強度有限元分析精確建模的探討［J］.機械科學(xué)與技術(shù)，2004，23（10）:1146-1150.

［7］J.Kramberger，M.?raml，S.Glode?.Computational model for the analysis of bending fatigue in gears.Computers and Structures 82（2004）:2261-2269.

［8］江耕華.機械傳動設(shè)計手冊［M］.北京:煤炭工業(yè)出版社，1982.

［9］楊生華.齒輪接觸有限元分析［J］.計算力學(xué)學(xué)報，2003（02）:189-193.

［10］Shang DG，Yao WX，Wang DJ.A new approach to the determination of fatigue crack initiation size.Int J Fatigue.1998;20:68 3-7.

［11］B.Alfredsson，M.Olsson* .Initiation and growth of standing contactfatigue cracks. Engineering fracturemechanics.65（2000）:89-106.

［12］王慰軍.基于abaqus的擴展仿真軟件及應(yīng)用［A］.杭州:浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文，2006.

［13］Ales Belsak，Joze Flasker.Detecting cracks in the tooth root of gears.Engineering Failure Analysis 14（2007）1466–1475.

［14］Michele Ciavarella，Giuseppe Demelio.Numerical methods for optimization of specific sliding，stress concentration and fatigue life of gears.International Journal of Fatigue 21（1999）:456-474.

［15］曾競龍.結(jié)構(gòu)疲勞裂紋產(chǎn)生與擴展的計算模擬［D］.武漢:武漢理工大學(xué)，2005.5.