JADE算法在星系團(tuán)圖像盲源分離中的應(yīng)用

肖心想， 雷敏

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240）

0 引言

星系團(tuán)是宇宙中確知的具有動(dòng)力學(xué)束縛特征的最大結(jié)構(gòu)，是宇宙大尺度結(jié)構(gòu)的物質(zhì)系統(tǒng)體現(xiàn)，也是星系演變過程的重要場所。作為宇宙中具有獨(dú)特地位的星系團(tuán)，它們是聯(lián)系天文觀測與宇宙學(xué)理論研究的紐帶，是檢驗(yàn)宇宙學(xué)甚至物理學(xué)重大問題的太空實(shí)驗(yàn)室。對星系團(tuán)的研究不僅能揭示星系團(tuán)整體以及星系團(tuán)內(nèi)部成員的天體物理性質(zhì)，而且對宇宙中大尺度結(jié)構(gòu)體的研究都有著重要的意義。

目前對星系團(tuán)的分離主要是基于星系團(tuán)自身的物理特性，比如光學(xué)特性，密度和光度，X射線，幾何空間分布等性質(zhì)對星系團(tuán)進(jìn)行提取。但是在提取過程中仍然很難消除或消弱銀河系和河外離散源的強(qiáng)干擾，從而影響后續(xù)的星系團(tuán)中星系以及星系團(tuán)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究。為此，從圖像處理的角度出發(fā)，利用擴(kuò)展聯(lián)合對角化（the joint approximative diagonalization of eigenmatrix，JADE）［1］分離方法對模擬的天空圖像進(jìn)行提取星系團(tuán)的研究。JADE分離方法是利用觀測信號的四階累積量矩陣，通過對累積量矩陣的同時(shí)對角化來估計(jì)出分離矩陣，從而達(dá)到盲源分離的效果。該方法不需要進(jìn)行任何的梯度計(jì)算，數(shù)值穩(wěn)定性良好，并且有非線性混合分離的效果，目前在語音信號［2］，DOA 估計(jì)［3］，振動(dòng)信號［4］，胎兒心電圖［5］，雷達(dá)信號［6］，腦電圖［7-9］，圖像水印［10］方面都有著廣泛的應(yīng)用。

1 JADE

1.1 JADE 方法介紹

JADE方法是利用觀測信號的四階累積量矩陣，通過對一組累積量矩陣的同時(shí)對角化來估計(jì)分離矩陣。四維累積量矩陣定義如下［11］:

令z為球化后的N通道觀察量z=［z1，z2，…，zN］T，M為任意N×N矩陣，z的四維累積量矩陣Qz（M）的定義如下:它的第ij元素［Qz（M）］ij為

式（1）中，Kijkl（z）是z中第i，j，k，l四個(gè)分量的四維累積量。Qz（M）也是N×N矩陣;mkl是矩陣M的第k，l元素。

針對實(shí)際觀測數(shù)據(jù)，這里假設(shè)［12］:

1）其相應(yīng)的源信號具有零均值，而且源信號相互不相關(guān);2）至多只有一個(gè)信號為高斯信號;3）實(shí)際數(shù)據(jù)中所存在的干擾信號即加性噪聲信號均值為零，且獨(dú)立于源信號。

1.2 JADE 算法

對于觀測數(shù)據(jù)x，有混合矩陣A使得

其中:假設(shè)S為源信號，方差為1。這里A是列滿秩的，但是由于先驗(yàn)條件未知，所以并不知道混合矩陣的具體表達(dá)式。為此，JADE算法首先對觀測數(shù)據(jù)x進(jìn)行球化

即使得球化后的z中各行互相正交，各行的能量相等且等于1，有時(shí)也稱球化為白化。

W為球化陣，可由x的協(xié)方差陣的SVD分解獲得。將式（2）代入式（3）中，有:

這里V可以根據(jù)式（1）有z的四維累計(jì)矩陣構(gòu)成。其中M陣根據(jù)要求選取為一組對稱/反對稱的基矩陣。則N×N個(gè)基矩陣記作Mpq（p=1，2，…，N;q=1，2，…，N），并按下式定義:

式（5）中ep是除了位置為p處等于1外，其余位置都等于0的N×1單位矢量。這種取法的好處一是既滿足要求而且簡單，二是可以大大減少計(jì)算量。

因此，根據(jù)以上M矩陣的選取，JADE算法的步驟可以歸納如下:

1）球化;

2）選取M矩陣;

3）通過優(yōu)化步驟求得矩陣V，使得各Qz（Mi）聯(lián)合對角化;

4）A=WTV，=A－1=VTW，y=Bx=VTWx，y即為分離的結(jié)果。

2 星系團(tuán)的分離試驗(yàn)和結(jié)果

文中所使用的包含星系團(tuán)成分的觀測圖是根據(jù)Wang et al.2010［13］論文中所提到的模擬方式獲得的，其中模擬的觀測圖的頻率是105 MHz。在宇宙觀測中前景主要有銀河系自由－自由輻射、銀河系同步輻射、離散源I和離散源II，如圖1圖4所示。離散源I是GHz Peaked Spectrum（GPS）源，離散源II包含有 Normal Galaxies，Starburst Galaxies，F(xiàn)RI，F(xiàn)RII以及 Radio－ quiet類型源，圖 5 是模擬的星系團(tuán)成分。圖6是圖1至圖5混合后的105 MHz頻率下的觀測圖，可以看出，很難從該圖中直接區(qū)分出星系團(tuán)成分，星系團(tuán)信息已被前景信息完全掩蓋。

利用JADE方法對混合后的觀測圖進(jìn)行分離處理，結(jié)果如圖7所示，可以看出它在很大程度上去除了前景干擾。通過與圖5對比，可以看出分離提取的星系團(tuán)能夠很好地反映出原始的星系團(tuán)。為了進(jìn)一步判別JADE方法的有效性，在本文中又分別利用了FastICA、基于累計(jì)量的獨(dú)立分量分析改進(jìn)方法和基于最大信噪比盲源分離方法等三種盲源分離方法對上述原始觀測圖（即圖6）進(jìn)行分離處理，結(jié)果如圖8圖10所示。可以看出JADE方法的結(jié)果與FastICA方法和基于累計(jì)量方法的分離結(jié)果比較好（見圖8和圖9），并且明顯優(yōu)于基于最大信噪比盲源分離方法（見圖10）?；谛窍祱F(tuán)的光譜分析，文獻(xiàn)［13］中指出對65 MHz頻率的模擬星系團(tuán)，F(xiàn)ASTICA方法的分離效果在70%以上，文中提到的JADE方法對105 MHz頻率的模擬星系團(tuán)分離效果為26/35?74%，因此研究結(jié)果表明JADE方法是可行的。

圖10 基于最大信噪比分離后的星系團(tuán)

3 結(jié)語

利用JADE方法對星系團(tuán)前景觀測圖進(jìn)行了分離研究，從分離出的結(jié)果分析，JADE方法是可以有效地提取星系團(tuán)信息，通過與其他三種分離方法的進(jìn)行對比，研究結(jié)果表明JADE方法能有效地消弱前景信號的干擾，對星系團(tuán)的分離提取是適用的。

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