基于二階滑模觀測器的永磁同步電機(jī)無位置傳感器控制

張曉光，孫 力，陳小龍，安群濤

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

永磁同步電機(jī)PMSM（Permanent Magnet Synchronous Motor）的轉(zhuǎn)子位置與速度是進(jìn)行矢量解耦控制的必要條件，通常采用位置傳感器進(jìn)行檢測，其中光電編碼器、磁編碼器以及旋轉(zhuǎn)變壓器等最常見。采用傳感器可以準(zhǔn)確、方便地獲得轉(zhuǎn)子位置與速度信息，是電機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計的首選方案。但在航空航天等一些特殊應(yīng)用場合，位置傳感器的應(yīng)用將受到一定的限制，主要問題有：在惡劣環(huán)境下，由于溫度、濕度以及機(jī)械振動等影響，使得傳感器受到干擾，導(dǎo)致其精度降低，性能不穩(wěn)定甚至無法工作；高精度、高響應(yīng)的傳感器價格昂貴，對于低成本控制系統(tǒng)而言，增加系統(tǒng)成本；傳感器的應(yīng)用增加了電機(jī)軸向尺寸和體積，在空間受限系統(tǒng)中無法使用。

為了解決位置傳感器在一些特殊場合應(yīng)用受限問題，國內(nèi)外學(xué)者做了大量研究，一些無位置傳感器控制方法已經(jīng)被廣泛研究，包括高頻注入法、擴(kuò)展卡爾曼濾波器、滑模觀測器、全階／降階觀測器、磁鏈估計法等[1-6]。其中滑模觀測器具有魯棒性強(qiáng)、動態(tài)響應(yīng)快、易于工程實(shí)現(xiàn)等諸多優(yōu)點(diǎn)而得到了廣泛關(guān)注[7-10]。然而滑模觀測器中抖振現(xiàn)象的存在會直接影響觀測精度，為了解決抖振問題，文獻(xiàn)[11]在滑模邊界層內(nèi)采用連續(xù)函數(shù)取代符號函數(shù)，從而抑制了抖振現(xiàn)象，但在滑模邊界層內(nèi)觀測器的魯棒性將無法得到保證。文獻(xiàn)[12]和[13]分別設(shè)計了具有變截止頻率的低通濾波器和具有擴(kuò)展卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)的濾波器對觀測的電機(jī)反電動勢進(jìn)行濾波，但在抑制抖振的同時，被觀測量也將產(chǎn)生相位滯后與幅值的減小，因此需要對估計的轉(zhuǎn)子角度進(jìn)行相位和幅值補(bǔ)償。

本文在分析傳統(tǒng)滑模觀測器的基礎(chǔ)上，提出一種基于線性滑模與混合非奇異終端滑模的新型二階滑模觀測器，并對滑?？刂坡蛇M(jìn)行了設(shè)計，抑制了滑模固有的抖振現(xiàn)象。該觀測器能夠避免常規(guī)滑模觀測器由于低通濾波所產(chǎn)生的相位滯后，提高了轉(zhuǎn)子位置與速度的估算精度。利用Lyapunov方法證明了觀測器的穩(wěn)定性，并給出了滑?？刂坡蓞?shù)的自適應(yīng)律。最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該觀測器的正確性和有效性。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

對于表貼式永磁同步電機(jī)，假設(shè)轉(zhuǎn)子永磁磁場在氣隙空間分布為正弦波，定子電樞繞組中的感應(yīng)電動勢也為正弦波，不計鐵芯渦流與磁滯損耗，其在靜止參考坐標(biāo)系下的電壓方程如下：

其中，R 為定子電阻；L 為定子電感；eα、eβ，iα、iβ，uα、uβ分別為αβ坐標(biāo)系下的繞組反電勢、定子電流和定子電壓。

由式（1）可得表貼式永磁同步電機(jī)在靜止αβ坐標(biāo)系下狀態(tài)方程為：

2 二階滑模觀測器

2.1 常規(guī)滑模觀測器

由于電機(jī)轉(zhuǎn)子位置與速度信息包含在電機(jī)反電動勢中，因此可構(gòu)建滑模觀測器對反電動勢進(jìn)行觀測，進(jìn)而估計電機(jī)轉(zhuǎn)子位置與速度。根據(jù)式（2）所示永磁同步電機(jī)的狀態(tài)方程，構(gòu)建常規(guī)滑模觀測器如下：

其中，“^”表示觀測值；K= [-k1-k1]T為滑模增益矩陣，k1＞0；sgn（·）為符號函數(shù)。

將式（3）與式（2）相減得到觀測誤差方程：

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到滑模切換面以后，由等效控制理論可知滑模切換面滿足，則觀測誤差方程可簡化為：

由式（6）可知，電機(jī)的反電勢信息被包含在符號函數(shù)中，但符號函數(shù)為不連續(xù)變化量，含有大量高頻干擾，因此需要對其進(jìn)行低通濾波才能得到平滑的反電勢信號，經(jīng)過濾波處理后的估算反電勢為：

其中，ωc為低通濾波器的截止頻率。通過低通濾波的反電動勢將會產(chǎn)生相位延遲，該延遲與低通濾波器的截止頻率直接相關(guān)，截止頻率越低，對應(yīng)固定頻率的相延遲越大，實(shí)際應(yīng)用中需對其進(jìn)行相位補(bǔ)償。補(bǔ)償后的轉(zhuǎn)子位置與速度估計值為：

2.2 二階滑模觀測器的構(gòu)建與穩(wěn)定性分析

對常規(guī)滑模觀測器的分析可知，為了得到平滑的反電勢信息，采用了低通濾波器對符號函數(shù)中抖振信號進(jìn)行濾波處理，從而導(dǎo)致了估算轉(zhuǎn)子位置的相位延遲，需要進(jìn)行相位補(bǔ)償。同時由式（9）可知，估算速度由轉(zhuǎn)子位置微分計算得到，將會引入大量干擾，從而影響觀測精度。為了解決常規(guī)觀測器的上述問題，本文提出二階混合非奇異終端滑模觀測器，該觀測器在本質(zhì)上抑制了滑模固有的抖振現(xiàn)象，省去了低通濾波器，從而避免了觀測轉(zhuǎn)子位置的相位滯后，提高了觀測精度。

構(gòu)建新型滑模觀測器如下：

其中，v=[vαvβ]T為觀測器控制律。

將式（10）與式（2）相減得到新型觀測器的觀測誤差方程：

由滑?？刂评碚摽芍?，滑模切換面的設(shè)計將直接影響系統(tǒng)狀態(tài)的收斂特性[14-15]。而對于滑模觀測器而言，滑模切換面是觀測器設(shè)計的關(guān)鍵，它將決定觀測值收斂到實(shí)際值的速度與方式。因此本文基于線性滑模與混合非奇異終端滑模設(shè)計了如式（12）所示的滑模切換面。

其中，c、γ、p、q 為滑模參數(shù)，且 c＞0，γ＞0，p／q＞1，p、q均為奇數(shù)；為定子電流觀測誤差，將其作為一階線性滑模切換面；s為二階混合非奇異終端滑模切換面。

滑模切換面確定之后，需要進(jìn)一步對新型觀測器（式（10））中的滑?？刂坡蓈進(jìn)行設(shè)計，以保證該觀測器的穩(wěn)定。本文設(shè)計滑模觀測器控制律v為：

其中，η、u、lg均為滑?？刂坡蓞?shù)，且η＞0，u＞0。

結(jié)合誤差方程式（11），可得：

進(jìn)一步根據(jù)滑?？刂坡墒剑?3），可得：

當(dāng)滑?？刂坡蓞?shù)lg取值滿足：

則式（16）可進(jìn)一步簡化為：

顯然在參數(shù)lg的選取范圍內(nèi)所設(shè)計的滑模控制律滿足滑模到達(dá)條件，能夠保證該滑模觀測器的穩(wěn)定。而根據(jù)滑?？刂坡蓞?shù)lg的選取范圍可設(shè)計參數(shù)自適應(yīng)律如式（19）所示，其中 g＞1。

2.3 轉(zhuǎn)子位置與速度信息獲取

根據(jù)滑?？刂评碚摽芍?，在控制律式（13）作用下，二階滑模切換面s將會在有限時間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)，此時滑模切換面方程式（12）為：

式（21）表明電機(jī)的反電動勢信息可通過滑?？刂坡蛇M(jìn)行觀測。同時與式（6）進(jìn)行對比可知，常規(guī)滑模觀測器的反電動勢信息包含在引起抖振現(xiàn)象的符號函數(shù)中，而新型滑模觀測器的反電動勢信息包含在滑?？刂坡墒剑?3）中，雖然滑?？刂坡芍型瑯影柡瘮?shù)，但該符號函數(shù)經(jīng)過了積分器的濾波環(huán)節(jié)，使得抖振現(xiàn)象得到有效抑制，因此，轉(zhuǎn)子位置可以直接由觀測的反電動勢信息計算得到，不需要再進(jìn)行低通濾波處理，避免了常規(guī)滑模觀測器的相位滯后問題。

常規(guī)滑模觀測器計算轉(zhuǎn)子位置與轉(zhuǎn)速的方法通常采用如式（8）和（9）所示的反正切與微分計算方法，這種方法精度不高且微分運(yùn)算容易引入干擾。為了克服上述缺點(diǎn)提高觀測精度，本文采用如圖1所示的轉(zhuǎn)子位置與速度跟蹤算法從觀測的反電動勢中解調(diào)出轉(zhuǎn)子位置和速度。圖中，分別為估算轉(zhuǎn)子位置與速度。

圖1 轉(zhuǎn)子位置與速度跟蹤算法Fig.1 Rotor position and speed tracking algorithm

對圖1算法進(jìn)行分析可知：

其中，θ*re為觀測反電勢的相位角，k為反電勢系數(shù)。

此時圖1所示的跟蹤算法結(jié)構(gòu)等效于圖2所示的鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)。轉(zhuǎn)子位置誤差Δθre經(jīng)過PI調(diào)節(jié)后得到估算轉(zhuǎn)速，而估算轉(zhuǎn)速經(jīng)過積分環(huán)節(jié)得到估算轉(zhuǎn)子位置。某一時刻，若估算轉(zhuǎn)子位置小于實(shí)際轉(zhuǎn)子位置，則位置誤差增大，經(jīng)PI調(diào)節(jié)輸出后的估算轉(zhuǎn)速增大，進(jìn)而調(diào)節(jié)估算轉(zhuǎn)子位置逐漸增大，最終使其與實(shí)際轉(zhuǎn)子位置相接近；若估算轉(zhuǎn)子位置大于實(shí)際轉(zhuǎn)子位置，分析類似。

圖2 鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Structure of PLL

圖3為二階混合非奇異終端滑模觀測器結(jié)構(gòu)框圖。由式（10）所構(gòu)建的滑模觀測器估算出電機(jī)電流，并與檢測的實(shí)際電流相減得到電流誤差，利用該電流誤差構(gòu)建滑模面，從而通過滑模控制律估計出電機(jī)反電動勢，最后利用跟蹤算法得到轉(zhuǎn)子位置與速度信息。

圖3 新型滑模觀測器系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of novel sliding mode observer system

3 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

建立了基于Simulink的系統(tǒng)仿真模型，并以TI公司TMS320F2812為控制芯片搭建了實(shí)物系統(tǒng)，控制系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)如圖4所示，電機(jī)參數(shù)為R=3.5 Ω；Ld=Lq=11.5 mH；ψa=0.107 Wb；J=4.4×10-4kg·m2；粘滯摩擦系數(shù) B=0.000 1 N·m·s；極對數(shù) p1=3；額定轉(zhuǎn)速為2 000 r／min；逆變器開關(guān)頻率為15 kHz。

圖4 控制系統(tǒng)框圖Fig.4 Block diagram of control system

圖5—7為常規(guī)滑模觀測器及新型滑模觀測器仿真結(jié)果對比，圖中虛線為實(shí)際值，實(shí)線代表觀測器估計值。其中圖5為α軸電流估計仿真，圖6為轉(zhuǎn)子位置估計仿真，圖7為電機(jī)轉(zhuǎn)速估計仿真。圖8為電機(jī)給定轉(zhuǎn)速從200 r／min增加至500 r／min時2種滑模觀測器電機(jī)轉(zhuǎn)速估計值與實(shí)際測量值對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中電機(jī)實(shí)際速度是由2500線的光電編碼器經(jīng)過 DSP 4 倍頻后測量得到；圖 9（a）、（b）分別為電機(jī)給定轉(zhuǎn)速500 r／min穩(wěn)態(tài)運(yùn)行過程中，2種滑模觀測器轉(zhuǎn)子位置估計值與實(shí)際轉(zhuǎn)子位置對比曲線，而實(shí)際轉(zhuǎn)子位置同樣由編碼器測量得到。

從以上仿真與實(shí)驗(yàn)可得結(jié)論如下。

a.常規(guī)滑模觀測器電流估計值存在高頻抖振，估計精度不高；而新型滑模觀測器有效抑制了滑模固有的抖振現(xiàn)象，估計電流能夠快速收斂于實(shí)際電流，且估計精度高。

b.常規(guī)滑模觀測器估計的轉(zhuǎn)子位置滯后于實(shí)際轉(zhuǎn)子位置，存在一定誤差；而新型滑模觀測器避免了低通濾波器的引入，能夠快速跟蹤實(shí)際轉(zhuǎn)子位置，穩(wěn)態(tài)誤差小。

c.常規(guī)滑模觀測器轉(zhuǎn)速估計波動較大，精度低；而新型觀測器由于引入二階滑模與鎖相環(huán)跟蹤算法提高了觀測精度，估計轉(zhuǎn)速波動小，穩(wěn)態(tài)性能較好。

另外，與常規(guī)觀測器相比，新型觀測器速度估計的動態(tài)性能改善不顯著，而通過對鎖相環(huán)中PI參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，可實(shí)現(xiàn)速度估計的動態(tài)性能調(diào)節(jié)，增大比例系數(shù)可提高動態(tài)性能，但比例系數(shù)過大會導(dǎo)致估計速度出現(xiàn)振蕩，影響穩(wěn)態(tài)性能。因此本文為了提高速度估計的穩(wěn)態(tài)性能同時不影響其動態(tài)性能，選取 PI參數(shù)為 kp=20、ki=1。

圖5 常規(guī)觀測器與新型觀測器電流估計值仿真對比Fig.5 Simulative comparison of estimated current between traditional and novel observers

圖6 常規(guī)觀測器與新型觀測器估計的轉(zhuǎn)子位置仿真對比Fig.6 Simulative comparison of rotor position between traditional and novel observers

圖7 常規(guī)觀測器與新型觀測器電機(jī)速度估計仿真對比Fig.7 Simulative comparison of motor speed between traditional and novel observers

圖8 常規(guī)觀測器與新型觀測器電機(jī)速度估計實(shí)驗(yàn)波形Fig.8 Experimental waveforms of motor speed estimated by traditional and novel observers

圖9 常規(guī)觀測器與新型觀測器轉(zhuǎn)子位置估計實(shí)驗(yàn)波形Fig.9 Experimental waveforms of rotor position estimated by traditional and novel observers

4 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)滑模觀測器基礎(chǔ)上，提出了一種二階滑模觀測器。該觀測器通過在線性滑模面基礎(chǔ)上引入混合非奇異終端滑模面，并設(shè)計合適的滑?？刂坡桑梢杂行б种瞥Ｒ?guī)滑模觀測器中的抖振現(xiàn)象，提高電機(jī)轉(zhuǎn)子位置與速度的觀測精度，并消除了低通濾波器所帶來的幅值與相位影響。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所設(shè)計的二階滑模觀測器能有效提高觀測精度，為永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的無位置傳感器運(yùn)行提供了一種有效的方法。