基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的廣域阻尼魯棒控制策略

馬 靜，王 彤，王增平，楊奇遜

（華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206）

0 引言

區(qū)間振蕩多存在于聯(lián)系較薄弱的互聯(lián)電力系統(tǒng)中，波及范圍廣，持續(xù)時間長，且難以利用局部信息加以抑制[1]，已成為困擾電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的最突出的問題之一。常規(guī)的控制方法多基于傳統(tǒng)控制理論[2]，包括相位補(bǔ)償法、極點(diǎn)配置法、靈敏度分析法等。隨著現(xiàn)代控制理論的日益成熟，許多新型控制方法也逐漸被引入到電力系統(tǒng)阻尼控制設(shè)計中，如線性最優(yōu)控制[3]、自適應(yīng)控制[4-5]、魯棒控制[6-7]等方法。其中線性最優(yōu)控制將狀態(tài)量和控制量的平方和作為性能指標(biāo)，通過求解黎卡梯方程獲取該指標(biāo)的極值，以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制。自適應(yīng)控制則根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行條件的變化，不斷調(diào)整控制規(guī)律，從而保證系統(tǒng)的性能指標(biāo)接近于參考模型的性能指標(biāo)。上述2種方法在精確獲取系統(tǒng)和擾動模型的情況下，均具有較好的阻尼特性，但一旦模型具有不確定性時，將很難保證阻尼效果。相比較而言，魯棒控制方法在應(yīng)對電力系統(tǒng)參數(shù)和外界擾動等不確定性方面具有不可比擬的優(yōu)勢[8]。 其中，混合 H2／H∞控制理論更是由于綜合考慮了系統(tǒng)的穩(wěn)定性及魯棒性等因素，受到眾多專家和學(xué)者的青睞[9-11]。 在設(shè)計混合H2／H∞控制器的過程中，為了保證閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，需要將系統(tǒng)的振蕩模式轉(zhuǎn)移到左半平面或預(yù)先設(shè)定的穩(wěn)定區(qū)域，傳統(tǒng)方法是利用Gutman定理[12]進(jìn)行振蕩模式的轉(zhuǎn)移，但由于該定理求解的穩(wěn)定區(qū)域必須是凸區(qū)域，因此在某種程度上限制了振蕩模式轉(zhuǎn)移的范圍。

針對區(qū)間振蕩模式頻率低、阻尼小、持續(xù)時間長的特點(diǎn)，本文首先利用特征值轉(zhuǎn)移因子對穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)行拓展，定義了可使系統(tǒng)迅速進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)的非凸穩(wěn)定區(qū)域。在此基礎(chǔ)上，考慮系統(tǒng)和擾動的不確定性，設(shè)計了基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的混合H2／H∞多目標(biāo)魯棒控制策略。最后，以4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)作為測試系統(tǒng)，分別進(jìn)行時域和頻域仿真，結(jié)果表明該方法不僅具有更好的阻尼性能，而且具有更強(qiáng)的魯棒性能。

1 基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞控制策略

引理 1[13]李雅普諾夫第一法，對于系統(tǒng)Σ：（A，B，C，D）有：

其中，x為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u為控制輸入向量，y為輸出向量，A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，B為控制輸入矩陣，C為輸出矩陣，D為前饋矩陣。

平衡狀態(tài)xe=0的情況下，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部。

引理 2[14]矩陣 A?Rn×n的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，等價于存在對稱矩陣X＞0，使得AX+XAT＜0。

利用引理1和引理2，可將系統(tǒng)的振蕩模式轉(zhuǎn)移到左半平面的穩(wěn)定區(qū)域，但該方法無法保證所有的振蕩模式都具有足夠的阻尼。為此，Gutman定理[12]提出只要存在正定對稱矩陣X滿足式（2），那么矩陣A的所有特征根都將位于由式（3）描述的穩(wěn)定區(qū)域M中。

其中，z為復(fù)平面任意一點(diǎn)，M為實(shí)對稱矩陣，ckl為矩陣M中第k行第l列元素，m為矩陣M的階數(shù)。

Gutman定理將穩(wěn)定區(qū)域由左半平面推廣到可預(yù)先設(shè)定的區(qū)域，不僅改善了系統(tǒng)的阻尼性能，還在一定程度上提高了穩(wěn)定區(qū)域選擇的靈活性。但應(yīng)注意，該定理僅適用于求解凸區(qū)域，對于非凸區(qū)域，由于不存在正定對稱矩陣X滿足式（2），因此無法確定該區(qū)域是否為穩(wěn)定區(qū)域。針對該問題，本文提出利用特征值轉(zhuǎn)移因子對穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)行拓展，在圖1（a）的λ平面上設(shè)計了一個非凸區(qū)域R1，如圖1（a）中陰影部分所示，該區(qū)域?qū)?yīng)的集合MR1可表示為：

其中，r為圓半徑，（c0，0）為圓心坐標(biāo)，為非凸區(qū)域與虛軸的交點(diǎn)。

圖1 復(fù)平面映射示意圖Fig.1 Schematic diagram of complex plane mapping

系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間與閉環(huán)特征根的實(shí)部成反比，特征根距虛軸越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間越短[15]；同時，區(qū)間模式的頻率越低，參與機(jī)組越多，能量越集中于聯(lián)絡(luò)線，振幅越明顯。為此，本文選用非凸區(qū)域R1，一方面，可以保證頻率越低的區(qū)間模式距虛軸越遠(yuǎn)，獲得的阻尼越大，調(diào)節(jié)時間越短，越容易進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)；另一方面，對于頻率較高的區(qū)間振蕩模式，其阻尼比雖然有所降低，但仍能滿足阻尼控制的要求。一般情況下，區(qū)間振蕩模式的頻率為0.1～0.8 Hz，為了保證頻率較高的0.8 Hz振蕩模式滿足阻尼控制的要求，由 d=2πf及 h=r-c0，可計算出 d=7.6，h=0.9。 此時，可保證0.8 Hz的振蕩模式對應(yīng)的邊界阻尼比為0.1，符合振蕩模式的阻尼比不小于0.1～0.3[13]的要求。

多目標(biāo)魯棒H2／H∞混合控制問題的線性時不變系統(tǒng)可描述為：

其中，w為外部擾動輸入向量，z∞和z2分別為與H∞和H2性能指標(biāo)相關(guān)的被控向量，B1為w輸入的增益矩陣，C1、D11和D12分別為與H∞性能指標(biāo)相關(guān)的狀態(tài)變量、擾動輸入和控制輸入的權(quán)矩陣，C2、D21和D22分別為與H2性能指標(biāo)相關(guān)的狀態(tài)變量、擾動輸入以及控制輸入的權(quán)矩陣。

建立基于特征值轉(zhuǎn)移因子的反饋控制律：

其中，考慮到F起權(quán)重系數(shù)作用，同時與映射有關(guān)系，本文將其定義為特征值轉(zhuǎn)移因子。

將式（6）代入式（5），可得閉環(huán)系統(tǒng)方程如下：

該閉環(huán)系統(tǒng)對應(yīng)的特征根方程為：

考慮到閉環(huán)特征根滿足在非凸區(qū)域R1穩(wěn)定的約束條件下很難在λ平面獲取，本文將區(qū)域R1映射到β的左半平面R2上，如圖1（b）中陰影部分所示。區(qū)域R1和區(qū)域R2之間的映射關(guān)系如下：

由式（9）的映射關(guān)系，可得β平面上的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：

其中，U（F）和V（F）都是以F為變量的系數(shù)矩陣，U（F）=（r+c0）I-（A+BFBT），V（F）=-（r-c0）I-（A+BFBT）。

由式（9）可知，λ平面的振蕩模式位于區(qū)域R1的充要條件是β平面對應(yīng)的振蕩模式位于左半平面R2。而在β平面中，由引理1可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征根的實(shí)部均為負(fù)數(shù)，即存在非負(fù)定的特征值轉(zhuǎn)移因子矩陣F滿足：

因此，滿足閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的條件可以表示為：

其中，“‖”表示邏輯關(guān)系“或”。

由引理2可得式（12）的等價條件為存在對稱矩陣X＞0，使得下式成立：

其中，G1=VX+XVT，G2=UX+XUT。

需要注意的是，圖1（a）中圓弧范圍外虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)于無阻尼的區(qū)內(nèi)振蕩模式。文中發(fā)電機(jī)采用詳細(xì)模型，因此區(qū)內(nèi)振蕩模式都具有一定的阻尼并滿足穩(wěn)定要求。再者，本文主要針對區(qū)間振蕩進(jìn)行廣域阻尼控制，對于頻率較高的區(qū)內(nèi)振蕩模式，可結(jié)合當(dāng)?shù)乜刂破鳎ㄈ鏟SS）加以抑制。因此，不需要考慮圖1（a）中圓弧范圍外虛軸上的點(diǎn)，即圖 1（b）中穩(wěn)定區(qū)域僅對應(yīng)圖1（a）中圓弧的部分以虛軸為界。

對系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)魯棒控制，除了滿足系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件式（13）外，還需要使閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下條件。

a．H∞性能：當(dāng)w被看作是一個具有有限能量的擾動信號時，從 w 到 z∞的閉環(huán)傳遞函數(shù) Twz∞（s）的H2范數(shù)不超過給定的上界 γ，即‖Twz∞（s）‖＜γ，以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性。

b．H2性能：當(dāng)w被看作是一個具有單位譜密度的白噪聲信號時，從w到z2的閉環(huán)傳遞函數(shù)Twz2（s）的 H2范數(shù)不超過給定的上界 η，即‖Twz2（s）‖＜η，以保證用H2范數(shù)度量的系統(tǒng)性能處于良好的水平。

滿足目標(biāo)a和b的充要條件為：

其中，Acl=A+BFBT，Trace（Q）為矩陣 Q 的跡。

由式（13）—（16）可將基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞控制問題轉(zhuǎn)換為式（17）的線性不等式組的優(yōu)化問題，其指標(biāo) αγ+βTrace（Q）為 H2性能和 H∞性能的加權(quán)組合，α和β分別表示性能指標(biāo)中H2性能和H∞性能的權(quán)重。

其中，G1=-2（r-c0）X-AX-XAT-BNBT-BNTBT，G2=2（r+c0）X-AX-XAT-BNBT-BNTBT。

令FBTX=NBT，MBT=BTX，利用上述不等式的約束條件可算出N和X，進(jìn)而可得M=BTXB（BTB）-1，以及特征值轉(zhuǎn)移因子F=NM-1。將F代入式（6），最終可推導(dǎo)出反饋控制向量 u（t）=NM-1BTx（t）。

2 應(yīng)用算例

2.1 測試系統(tǒng)

以4機(jī)2區(qū)域的系統(tǒng)[16]為例，利用可控串補(bǔ)TCSC（Thyristor Controlled Series Capacitor）設(shè)計基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞阻尼控制器，并對其阻尼性能和魯棒性能進(jìn)行分析。如圖2所示，發(fā)電機(jī)采用6階暫態(tài)模型，勵磁系統(tǒng)采用快速勵磁，基準(zhǔn)模型下的負(fù)荷采用50%的恒阻抗和50%的恒電流混合模型，TCSC位于聯(lián)絡(luò)線8-9之間，補(bǔ)償度為40%。TCSC附加控制器采用圖3所示的控制結(jié)構(gòu)[16]，其中τ=0.05 s為一階慣性常數(shù)，τa=0.4 s為超前時間常數(shù)，τb=0.02 s為滯后時間常數(shù)，Xmax=3和Xmin=-3分別輸出最大值和最小值。本文針對區(qū)間低頻振蕩，利用TCSC實(shí)現(xiàn)基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞控制，以4號機(jī)組為參考機(jī)組，TCSC的廣域反饋信號采用各發(fā)電機(jī)相對于4號機(jī)組的轉(zhuǎn)速差。

圖2 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of 4-machine 2-area system

圖3 TCSC附加控制器結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of supplementary controller of TCSC

在系統(tǒng)中的附加控制器處于開環(huán)運(yùn)行狀態(tài)下，利用模態(tài)分析方法對此系統(tǒng)進(jìn)行分析，得到低頻振蕩的主導(dǎo)模式及其阻尼。從表1中得到，4機(jī)系統(tǒng)中存在2個區(qū)內(nèi)模式和1個具有弱阻尼的區(qū)間模式，在系統(tǒng)受到干擾時，系統(tǒng)不能快速恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。如不加以有效抑制，會對系統(tǒng)造成嚴(yán)重危害。本文利用MATLAB中的PST（Power System Toolbox）進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

表1 未加控制器時4機(jī)系統(tǒng)主導(dǎo)模式Tab.1 Dominate modes of 4-machine system without controller

2.2 仿真結(jié)果及分析

在以下各類擾動中，通過與傳統(tǒng)的H2／H∞控制器進(jìn)行對比，驗(yàn)證本方法的有效性和優(yōu)越性。

a.穩(wěn)態(tài)時聯(lián)絡(luò)線傳輸功率為421 MW，擾動為0.1 s時，線路4-13的母線4側(cè)發(fā)生瞬時性三相短路，0.2 s后故障消失。

b.穩(wěn)態(tài)時聯(lián)絡(luò)線傳輸功率為421 MW，擾動為0.1 s時，線路4-13的母線4側(cè)發(fā)生永久性三相短路，0.2 s后將故障線路切除。

c.負(fù)荷采用60%的恒阻抗和40%的恒電流，擾動為0.1 s時，線路9-10的母線10側(cè)發(fā)生瞬時性三相短路，0.15 s后故障消失。

d.負(fù)荷采用40%的恒阻抗和60%的恒電流，擾動為0.1 s時，線路9-10的母線10側(cè)發(fā)生瞬時性三相短路，0.15 s后故障消失。

分別對基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞阻尼控制器和傳統(tǒng)的魯棒H2／H∞阻尼控制器進(jìn)行閉環(huán)控制，得到振蕩模式如表2所示。由表2可以看出，2種控制器均能將阻尼比不足的振蕩模式轉(zhuǎn)移到穩(wěn)定區(qū)域，但需要注意的是，控制器1對系統(tǒng)的阻尼效果要遠(yuǎn)優(yōu)于控制器2。這表明，基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞控制在抑制區(qū)間低頻振蕩過程中具有明顯的優(yōu)勢。在以上4種擾動情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根均分布在非凸穩(wěn)定區(qū)域中，如圖4所示，其中空心圓為開環(huán)系統(tǒng)特征根，星花為利用控制器1得到的閉環(huán)系統(tǒng)特征根。

表2 開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)下的區(qū)間振蕩模式Tab.2 Inter-area oscillation mode of open-loop and closed-loop systems

圖4 開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)特征根分布圖Fig.4 Eigenvalue distribution of open-loop and closed-loop systems

2區(qū)域發(fā)電機(jī)之間的功角差和聯(lián)絡(luò)線功率在4種擾動下的時域仿真波形如圖5—8所示?？梢钥闯觯诓煌\(yùn)行狀態(tài)下，發(fā)生不同擾動時，基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的魯棒H2／H∞阻尼控制器均能快速有效地抑制區(qū)間低頻振蕩，且阻尼性能和魯棒性能均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的H2／H∞阻尼控制器。

圖5 擾動1下的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)Fig.5 System dynamic response to disturbance 1

圖6 擾動2下的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)Fig.6 System dynamic response to disturbance 2

圖7 擾動3下的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)Fig.7 System dynamic response to disturbance 3

圖8 擾動4下的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)Fig.8 System dynamic response to disturbance 4

3 結(jié)論

a.針對區(qū)間振蕩模式頻率低、所需阻尼大的特點(diǎn)，利用特征值轉(zhuǎn)移因子對穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)行推廣，定義了可使系統(tǒng)迅速進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)的非凸穩(wěn)定區(qū)域。

b.在此基礎(chǔ)上，考慮到系統(tǒng)和擾動的不確定性，設(shè)計了基于非凸穩(wěn)定區(qū)域的混合H2／H∞多目標(biāo)魯棒控制器。

c.以4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)作為測試系統(tǒng)，分別進(jìn)行時域和頻域仿真，結(jié)果表明相比于傳統(tǒng)的H2／H∞阻尼控制策略，該控制策略具有更好的控制效果和更強(qiáng)的魯棒性。