怎樣解答“三數(shù)”問題

高峰

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)可以從不同的角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，在實際問題中有著廣泛的運用，是中考的熱點. 有關“三數(shù)”問題涉及的背景廣泛，題型眾多，其中關于如何選用統(tǒng)計量來說理是其中的一個熱點.下面分類舉例，供大家參考.

例1 （2012年湖北黃岡） 為了全面了解學生的學習、生活及家庭的基本情況，加強學校與家庭的聯(lián)系，梅燦中學積極組織全體教師開展“課外訪萬家活動”，王老師對所在班級的全體學生進行實地家訪，了解到每名學生家庭的相關信息，現(xiàn)從中隨機抽取15名學生家庭的年收入情況，數(shù)據(jù)如下表：

（1）求這15名學生家庭年收入的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）你認為用（1）中的哪個數(shù)據(jù)來代表這15 名學生家庭年收入的一般水平較為合適？請簡要說明理由.

解析：（1） x=（2×1+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9×1+13×1）÷15=4.3萬元. 中位數(shù)3萬元. 眾數(shù)3萬元.

（2）中位數(shù)或眾數(shù). 雖然平均數(shù)為4.3萬元，但年收入達到4.3萬元的家庭只有4個，大部分家庭的年收入末達到這一水平，而中位數(shù)或眾數(shù)3萬元是大部分家庭可以達到的水平，因此用中位數(shù)或眾數(shù)較為合適.

點評：本題比較靈活地考查了一組數(shù)據(jù)中的“三數(shù)”（中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)）的意義及三者之間的關系.正確解題的關鍵是深刻理解中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的意義，而不只是簡單地計算.

例2 （2012年內(nèi)蒙古呼和浩特）如圖1是交警在一個路口統(tǒng)計的某個時段來往車輛的車速情況（單位：千米/時）：

圖1

（1）找出該樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）計算這些車的平均速度；（結果精確到0.1）

（3）若某車以50.5千米/時的速度經(jīng)過該路口，能否說該車的速度要比一半以上車的速度快？并說明判斷的理由.

解析：（1）從條形圖中可知共有27個數(shù)據(jù)，其中52的個數(shù)最多，中位數(shù)是第14個數(shù)，所以該樣本的數(shù)據(jù)的眾數(shù)為52，中位數(shù)為52；

（2）平均速度為

≈52.4千米/時；

（3）不能.因為由（1）知該樣本的中位數(shù)為52，所以可以估計該路段的車輛大約有一半的車速要快于52千米/時，有一半的車速要慢于52千米/時，該車的速度是50.5千米/時，小于52千米/時，不是中位數(shù)，所以不能說該車的速度要比一半以上車的速度快.

點評：本題考查了眾數(shù)的概念和中位數(shù)的概念，并求出這些數(shù)據(jù)的平均數(shù). 通過中位數(shù)52，來判斷一個數(shù)是在前一半數(shù)據(jù)中還是在后一半數(shù)據(jù)中，此題告訴我們不但要會求，還要深刻理解它們的意義.

例3 （2012年江西） 我們約定：如果身高在選定標準的±2%范圍之內(nèi)都稱為“普通身高”.為了解某校九年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)，我們從該校九年級男生中隨機選出10名男生，測量出他們的身高（單位：cm），收集并整理如下統(tǒng)計表：

根據(jù)以上表格信息解決如下問題：

（1）計算這組數(shù)據(jù)的三個統(tǒng)計量：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）請你選擇其中一個統(tǒng)計量作為選定標準，并按此選定標準找出這10名男生具有“普通身高”的男生是哪幾位？并說明理由；

（3）若該年級共有280名男生，按（2）中選定標準請你估算出該年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)約有多少名？

解析：（1）求統(tǒng)計中的“三數(shù)”，將10個數(shù)相加的和，再除以這組數(shù)的個數(shù)，就是這組數(shù)的平均數(shù)，即平均數(shù)為

=166.4（cm）；

對這10個數(shù)排序后，中間兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)，即中位數(shù)為=165 （cm）；而出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)164就是眾數(shù)；

（2）“三數(shù)”都可以選擇，分析“三數(shù)”的特點，算出其±2%的范圍，從而得出三種不同類型的答案.

選平均數(shù)作為標準：

身高x滿足：166.4×（1-2%）≤x≤166.4×（1+2%），即163.072≤x≤169.728時為“普通身高”，此時⑦⑧⑨⑩男生的身高具有“普通身高”.

選中位數(shù)作為標準：

身高x滿足： 165×（1-2%）≤x≤165×（1+2%） ，即161.7≤x≤168.3時為“普通身高”，此時①⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”.

選眾數(shù)作為標準：

身高x 滿足： 164×（1-2%）≤x≤164×（1+2%）， 即160.72≤x≤167.28時為“普通身高”，此時①⑤⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”.

（3）根據(jù)（2）中的選定標準，分別算出這10名男生中具有“普通身高”所占總數(shù)的百分比，再乘總數(shù)280即可.

以平均數(shù)作為標準，估計全年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)約為 280×=112（人）；

以中位數(shù)作為標準，估計全年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)約為280×=112 （人）.

以眾數(shù)作為標準，估計全年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)約為280×=140 （人）.

點評：這是一道統(tǒng)計題，涉及兩類知識點：對“平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)”三個概念的理解，以及對“用樣本估計總體的統(tǒng)計思想”的應用.計算量不大，但設置了兩個易錯點：1.審題易錯點：如何理解“在選定標準的±2%的范圍之內(nèi)”；2.計算易錯點：排序后才能進行中位數(shù)的計算.還設置了一個亮點：“請你選定其中一個統(tǒng)計量作為選定標準”，給了學生充分的思維空間，選定哪一個標準更合適、更不容易出錯，值得同學們作出選擇，題目新穎，但難度不大.