差分法求解吊桿橫向振動及在索力檢測中的應(yīng)用

王國紅， 盛宏玉

（1.合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院，安徽 合肥 230009；2.安徽省建筑設(shè)計研究院有限責任公司，安徽 合肥 230002）

吊桿是現(xiàn)代拱橋的主要承載構(gòu)件之一，吊桿索力的大小直接關(guān)系到整橋的受力狀況，吊桿索力的控制是保證在服役期內(nèi)橋梁能夠正常工作的關(guān)鍵要素。目前采用頻率法測試吊桿的索力主要是基于弦振動理論，導出索力與吊桿自振頻率的直接對應(yīng)關(guān)系，再通過檢測吊桿的自振頻率來推算吊桿的索力。但在實際工程中，基于弦振動理論的頻率法與實際情況差別較大，主要原因是弦振動理論忽略了吊桿剛度、邊界條件和索體長度等因素對吊桿自振頻率的影響。對斜拉橋而言，拉索的長度一般較長，這種影響產(chǎn)生的誤差較小，滿足工程精度的要求。但吊桿拱橋的吊桿比斜拉橋的拉索要短很多，一般為十幾米，有的甚至只有幾米，吊桿剛度、邊界條件對這種短索自振頻率的影響非常大［1－3］。傳統(tǒng)的頻率法在測量短索的索力時存在較大誤差，不能夠真實反應(yīng)短索頻率與索力之間關(guān)系。因此，需要尋求一種能準確描述索力與頻率關(guān)系的測試公式。本文綜合考慮了吊桿的邊界條件、抗彎剛度的影響，采用有限差分法對吊桿的自由振動微分方程進行離散，通過求解特征值問題建立了索力與振動頻率的關(guān)系；最后結(jié)合實驗數(shù)據(jù)進行對比分析，其精度能滿足工程要求。

1 吊桿橫向自由振動微分方程

目前檢測吊桿的索力常采用下列公式：

（1）以弦模型為研究對象，不考慮抗彎剛度EI，計算公式為：

（2）以受軸向拉力的兩端簡支歐拉梁為研究對象，計算公式為：

其中，F(xiàn)N為吊桿的索力；fn為第n階自振頻率；n為振型階數(shù)；m為單位長度的質(zhì)量；l為計算長度；EI為抗彎剛度。

通常，吊桿的兩端分別采用錨固體與橋體錨固，故兩端接近于固支邊界條件。由于吊桿一般較短，采用弦模型的（1）式是不合適的，而邊界條件對固有頻率的影響非常大，故采用測試（2）式也是不合適的。因此，應(yīng)采用歐拉梁模型，根據(jù)實際的邊界條件來求解。設(shè)梁除了受橫向荷載F（x，t）外，還受軸向拉力FN（x，t）的作用，如圖1所示。

圖1 梁橫向振動時受軸向力FN的作用

在梁的軸線x位置處截取單元體dx，根據(jù)單元體的受力情況列力和力矩的平衡條件，得到變截面梁受軸向荷載作用和橫向荷載共同作用時橫向振動的運動微分方程［4］為：

對于等截面梁的自由振動，（3）式變?yōu)椋?/p>

取自由振動解的形式為：

代入自由振動方程（4）式，得

2 兩端固支時吊桿的振動頻率方程

對吊桿橫向振動的微分方程（6）式進行無量綱化處理，取無量綱坐標ˉx＝x／l，得

通常，系桿拱橋的吊桿兩端錨固于拱肋的頂部和橋面梁板的底面，故一般對方程（7）式采用的兩端固支邊界條件為：

（7）式為四階的齊次線性微分方程，根據(jù)（8）式和非零解的條件可得等截面吊桿受軸向拉力作用時橫向振動的頻率方程［5］為：

方程（7）和（9）中只包含a和b 2個參量，可方便求解。為找到張力FN與固有頻率之間的關(guān)系，在求解頻率方程（9）時，通常先設(shè)定FN的某個值，由吊桿的參數(shù)計算對應(yīng)的b值，再根據(jù)數(shù)值方法（如頻率搜索法）解出一系列的頻率參數(shù)ai，由此確定對應(yīng)的各階固有頻率ωi。但頻率方程（9）只適合于等截面梁，不適合變截面梁或有附加集中質(zhì)量（如吊桿兩端安裝的防雨罩）等情況。為擴大其適用范圍，本文應(yīng)用差分法直接求解方程（7），所得結(jié)果將與實驗結(jié)果及方程（9）的理論解進行對比，以評價求解的有效性。差分法思想簡單、適用性強，是一種經(jīng)濟而高效的數(shù)值方法。

3 吊桿橫向振動微分方程

差分法解題的基本思路是泰勒級數(shù)對函數(shù)及其導數(shù)的逼近。函數(shù)f（x）在x0點展開為泰勒級數(shù)［6］如下：

對于本文研究的吊桿，在單元劃分時將其作為一維問題來考慮。采用中央差分公式，在對方程（7）進行離散時，等間隔將吊桿單元劃分為N段，每段的長度h＝1／N，各結(jié)點編號依次從0到N，虛設(shè)結(jié)點的編號為－1和N＋1，如圖2所示。

圖2 吊桿單元的劃分

對第i個結(jié)點的差分格式分別為：

根據(jù)邊界條件Y0＝0，Y′（0）＝0；YN＝0，Y′（N）＝0，可得關(guān)系式：

將（11）式代入無量綱方程（7），并考慮邊界條件（12）式，對任一結(jié)點i可得差分方程為：

結(jié)點 1 ［6Y1－4（Y0＋Y2）＋Y1＋Y3］／h4－b2［Y0＋Y2－2Y1］／h2＝a4Y1，即

將以上方程用矩陣表示為：

其中，λ＝a4；A為實對稱矩陣；Y 為結(jié)點振幅矢量。A、Y分別如下：

采用Matlab編程［7－8］建立方程（15），通過求解特征值問題得出a與b之間的關(guān)系，再換算出吊桿的索力與頻率之間的關(guān)系。為檢驗差分法求解的有效性，在方程（15）中令b＝1.0，h＝1.0／N，不同的差分網(wǎng)格下頻率參數(shù)a的計算結(jié)果見表1所列。

表1 不同的N時頻率參數(shù)a的計算結(jié)果

由表1可以看出，當N＞100時，差分法的計算結(jié)果已收斂，本文取N＝120。

4 吊桿實驗及結(jié)果的對比分析

為驗證本文方法的有效性，設(shè)計了吊桿實驗，用普通圓鋼來模擬吊桿，在材料試驗機上對試件施加軸向拉力，用加速度傳感器拾取橫向振動的響應(yīng)。為減小傳感器附加質(zhì)量對測試結(jié)果的影響，將傳感器在靠近試件的端部安裝，如圖3所示。

圖3 吊桿試件及傳感器安裝圖

選擇直徑d＝10.7mm的圓鋼作為吊桿試件的模型，控制最大荷載以保證試件的軸向應(yīng)力小于材料的屈服極限，彈性模量E＝2.1×105MPa。由于試驗機行程的限制，共選擇3種長度進行測試。信號采集和頻譜分析采用南京安正軟件工程有限公司研發(fā)的“CRAS動態(tài)信號采集與分析系統(tǒng)”，分析得出的典型頻譜圖如圖4所示。頻譜曲線中的峰值頻率即為吊桿試件的固有頻率。各工況下的測試頻率與計算頻率的結(jié)果對比分別見表2所列，其中的誤差是指差分解與測試結(jié)果的相對誤差，理論解由方程（9）求出。

圖4 吊桿橫向振動的頻譜圖

表2 吊桿試件固有頻率測試結(jié)果與計算結(jié)果的對比

由表2可見，差分解與理論解的誤差非常小，桿件越細越長，差分解與實驗結(jié)果的誤差越小，說明測試誤差與試件的長細比λ＝EI／l2有關(guān)［9］。另外，二階頻率的誤差比一階頻率大。造成測試誤差的主要原因如下：① 試件兩端并非絕對固支；② 吊桿試件本身的質(zhì)量不大，傳感器附加質(zhì)量有一定的影響。結(jié)果表明，差分法的計算精度能滿足工程需要。

5 應(yīng)用分析

本文引入無量綱的參數(shù)，方便了方程的求解與應(yīng)用。如果給定吊桿的參數(shù)與索力FN，可得出無量綱索力參數(shù)b，用差分法求解方程（15）可得出一系列無量綱的頻率參數(shù)ai。限于篇幅，幾個不同b值所對應(yīng)的ai見表3所列，由此即可確定吊桿的固有頻率ωi。

而工程檢測與上述過程相反，此時吊桿的參數(shù)已知，而索力FN待測。應(yīng)用本文的計算結(jié)果，只要將表3中b值的增量取得足夠小，就可以根據(jù)測試的吊桿固有頻率算出對應(yīng)的a值，通過查表的方式反推出吊桿所對應(yīng)的b值，進而可確定吊桿的索力FN。

表3 不同b值所對應(yīng)的頻率參數(shù)ai

6 結(jié)束語

本文運用有限差分法將吊桿的橫向自由振動方程轉(zhuǎn)換為特征值方程，采用Matlab軟件編程來求解特征值問題，從而求出吊桿的固有頻率。差分法具有思想明確、編程方便，同時適合于變截面桿和任意邊界條件，因而適用性較廣。對吊桿選擇不同的截面、長度等幾何參數(shù)和所受的索力，根據(jù)差分法進行參數(shù)分析，可以建立索力參數(shù)b和頻率參數(shù)a之間的關(guān)系，并能編制詳細的數(shù)表。在實際工程中，如果吊桿的參數(shù)（m，l，EI）已知，可以通過測試的吊桿固有頻率確定相應(yīng)的頻率參數(shù)a，再來查表確定對應(yīng)的內(nèi)力參數(shù)b，進而推算吊桿所受的索力。

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