混凝土試樣單軸壓縮端面效應(yīng)及破壞數(shù)值模擬

陳 健 云， 劉 智 光＊，2

(1.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；2.長沙理工大學(xué) 水利工程學(xué)院，湖南 長沙 410004)

0 引 言

單軸壓縮試驗(yàn)是研究混凝土受壓變形、開裂及破壞過程(包括峰值應(yīng)力后的應(yīng)變軟化性能)的基本試驗(yàn)，得到的應(yīng)力－應(yīng)變?nèi)€反映了材料強(qiáng)度和變形性能，已經(jīng)列入了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[1].但是試驗(yàn)結(jié)果受很多因素影響，如試樣幾何形狀和尺寸、試驗(yàn)機(jī)剛度、加載端頭與試樣間的摩擦條件等，不加區(qū)分地依靠大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸，希望得到材料的“本構(gòu)”性質(zhì)顯然是不現(xiàn)實(shí)的.RILEM曾組織歐美多國實(shí)驗(yàn)室開展“混凝土應(yīng)變軟化試驗(yàn)方法”的研究，著重分析了加載端頭約束條件和試樣長細(xì)比對試樣強(qiáng)度、應(yīng)變軟化和破壞形態(tài)等宏觀力學(xué)性能的影響[2－3].不同試驗(yàn)條件下混凝土的宏觀力學(xué)性能與材料內(nèi)部裂紋發(fā)展相關(guān).近年來出現(xiàn)的細(xì)觀數(shù)值分析方法，考慮細(xì)觀層次的材料非均質(zhì)性，用數(shù)值模擬研究混凝土材料的斷裂過程與宏觀性能劣化之間的關(guān)系，為研究不同條件下試樣的應(yīng)力、應(yīng)變分布和微裂紋萌生、擴(kuò)展、成核的破壞過程提供了有效途徑[4－5].

按照混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的離散方式，目前在細(xì)觀數(shù)值分析中應(yīng)用較多的模型有格構(gòu)模型[4，6]、粒子模型[7]和連續(xù)細(xì)觀模型[8－9].細(xì)觀層次上一般將混凝土視為由骨料、砂漿基質(zhì)和界面過渡區(qū)組成的三相材料，如果直接從界面過渡區(qū)尺寸量級(厚度僅為0.01～0.10mm)對混凝土進(jìn)行離散，將使問題的規(guī)模過于龐大.因此，細(xì)觀數(shù)值模型中往往采取如下3種簡化處理方式:增大界面過渡區(qū)厚度以適應(yīng)網(wǎng)格剖分、將界面過渡區(qū)單獨(dú)設(shè)置為無厚度單元，以及將界面過渡區(qū)和砂漿基質(zhì)以串聯(lián)的形式考慮.但是它們都改變了界面過渡區(qū)的幾何特征，作者最近發(fā)展的復(fù)合型界面損傷模型對此進(jìn)行了改進(jìn)[10－11].本文應(yīng)用該模型，數(shù)值模擬不同端面約束條件下混凝土立方體試樣的軸壓破壞過程.

1 細(xì)觀數(shù)值模型簡介

本文采用的復(fù)合型界面損傷模型，以常規(guī)有限元單元離散混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)，具體包括如下幾方面的內(nèi)容:產(chǎn)生三相結(jié)構(gòu)的細(xì)觀數(shù)值試樣；采用Weibull分布隨機(jī)生成細(xì)觀單元中組成材料的力學(xué)性能參數(shù)[9]，將混凝土細(xì)觀力學(xué)性能的非均勻性引入數(shù)值模型；采用復(fù)合材料力學(xué)中的勻質(zhì)化技巧，確定由界面過渡區(qū)和與之相鄰的骨料及砂漿基質(zhì)組成的等效均質(zhì)區(qū)域的材料力學(xué)性能；計(jì)算等效均質(zhì)區(qū)域材料的損傷.

如圖1所示，混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu)通過單元的材料信息表達(dá).參照將Fuller骨料三維級配問題轉(zhuǎn)化到平面的 Walraven公式[12]，采用蒙特卡羅方法，產(chǎn)生二維骨料結(jié)構(gòu)，假設(shè)骨料鑲嵌在砂漿基質(zhì)中，界面過渡區(qū)位于骨料表面.將規(guī)則化有限元網(wǎng)格覆蓋到此細(xì)觀結(jié)構(gòu)上，得到完全由骨料或砂漿基質(zhì)組成的單一材料單元，和包含界面過渡區(qū)及與之相鄰的骨料和砂漿基質(zhì)的復(fù)合材料單元(圖1(c))，文中稱為內(nèi)嵌界面單元.

圖1 混凝土隨機(jī)骨料結(jié)構(gòu)、規(guī)則化有限元網(wǎng)格與細(xì)觀單元Fig.1 Random aggregate structure，regular FE mesh and meso－element

應(yīng)用復(fù)合材料力學(xué)中的修正Voigt－Reuss模型[13]，確定由骨料、砂漿基質(zhì)和界面過渡區(qū)組成的內(nèi)嵌界面單元的平均材料性質(zhì).此外，根據(jù)修正Voigt－Reuss模型，若已知內(nèi)嵌界面單元的平均應(yīng)力與平均應(yīng)變，可計(jì)算各組成材料的局部應(yīng)力和應(yīng)變，這將在確定內(nèi)嵌界面單元的損傷時用到.

內(nèi)嵌界面單元的損傷通過其組成材料的損傷體現(xiàn).以拉斷的Mohr－Coulomb準(zhǔn)則作為材料的損傷判據(jù)，拉伸損傷具有優(yōu)先權(quán)，損傷演化模型依彈性損傷本構(gòu)關(guān)系描述，且各組成材料的損傷演化模型是一致的.內(nèi)嵌界面單元的損傷計(jì)算可按如下方式進(jìn)行:由單元的應(yīng)力和應(yīng)變計(jì)算各組成材料的應(yīng)力和應(yīng)變，然后計(jì)算各組成材料的損傷，單元的損傷通過復(fù)合本構(gòu)矩陣的弱化體現(xiàn).為避免問題的復(fù)雜性，假設(shè)內(nèi)嵌界面材料單元內(nèi)各組成材料的損傷是各向同性的，但是損傷后的單元顯然是各向異性的.

對于只含骨料和砂漿基質(zhì)的單一材料單元也采用同樣的損傷演化模型.不同的是，單元剪切損傷是各向同性的，若發(fā)生拉伸損傷則考慮單元的正交各向異性損傷.

有關(guān)復(fù)合型界面損傷模型的詳細(xì)介紹參見文獻(xiàn)[9－11].本文采用該模型研究了端面約束條件對混凝土立方體試樣軸壓破壞過程的影響.

2 考慮端面效應(yīng)的軸壓破壞數(shù)值模擬

考慮平面應(yīng)力問題，混凝土試樣尺寸為100 mm×100mm，界面厚度暫取0.1mm，最大骨料粒徑為10mm，骨料填充率為45%，以邊長為1mm的正方形單元規(guī)則剖分試樣.這里考慮C45混凝土，立方體抗拉、抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值分別為2.51、29.60MPa，彈性模量為33.5GPa[1].唐春安等[9]通過大量的工作，給出了混凝土三相材料參數(shù)Weibull分布的數(shù)值配比方案.基于此，本文生成混凝土數(shù)值試樣的參數(shù)取值如表1所示.骨料、砂漿基質(zhì)和界面材料的泊松比相對均勻，其值分別為0.18、0.20和0.25；摩擦角均為30°，壓縮殘余強(qiáng)度系數(shù)均為0.05，單軸抗拉強(qiáng)度均為單軸抗壓強(qiáng)度的1／15.在試樣上端面采用位移加載，加載步長為0.5μm.對于光滑端面條件，僅在試樣下端面節(jié)點(diǎn)施加法向約束；對于粗糙端面條件，除了在下端面施加法向約束，試樣上、下端面還施加側(cè)向約束.

表1 混凝土試件的 Weibull分布力學(xué)參數(shù)Tab.1 Mechanical parameters of Weibull distribution of concrete specimens

2.1 端面約束條件對試樣強(qiáng)度和變形特征的影響

2.1.1 應(yīng)力－軸向應(yīng)變曲線 圖2為模擬得到的應(yīng)力－軸向應(yīng)變?nèi)€，與van Vliet等[3]的試驗(yàn)結(jié)果較符合，曲線形狀和峰值應(yīng)力等受到端面約束條件的影響.從圖中可以看出，粗糙端面條件下試樣的峰值應(yīng)力(σ0)高于光滑端面，依據(jù)數(shù)值結(jié)果，粗糙端面的峰值應(yīng)力為41.8MPa，光滑端面為30.5MPa；與峰值應(yīng)力對應(yīng)的峰值應(yīng)變(ε0)也有此規(guī)律；若取30%峰值應(yīng)力處的割線模量為試樣的彈性模量，兩種端面條件下大致相等，文中試樣為33.0～34.0GPa.這與文獻(xiàn)[3]通過試驗(yàn)得到的結(jié)論一致.該文還指出，和端面光滑相比，端面粗糙條件下應(yīng)力－應(yīng)變曲線峰后軟化段的延性更強(qiáng)，也與本文數(shù)值模擬結(jié)果互為佐證.

圖2 不同端面約束的試樣應(yīng)力－軸向應(yīng)變曲線Fig.2 Stress－axial strain curves for specimen loaded under different boundary conditions

如果加載端面粗糙，因?yàn)樵囼?yàn)機(jī)加載端頭的約束，端部混凝土的側(cè)向變形(垂直于加載方向)受到限制，而且離加載端頭距離越近限制性越強(qiáng).在一定端部區(qū)域內(nèi)的混凝土處于雙軸受壓狀態(tài)，相比于其他區(qū)域側(cè)向受拉的混凝土，損傷和微裂紋的發(fā)展也受到限制.也就是說，不能像在光滑端面條件下一樣，損傷和微裂紋可自由地發(fā)生在試樣最薄弱位置，而被迫在側(cè)向變形不受限制或限制較弱的區(qū)域發(fā)生.因此，端面粗糙時試樣的破壞需要在更高的外荷載水平下進(jìn)行，消耗更多的能量，要求應(yīng)力－軸向應(yīng)變曲線所圍面積比端面光滑的更大，圖2的數(shù)值結(jié)果證明了這一點(diǎn).

2.1.2 應(yīng)力－側(cè)向應(yīng)變曲線 試樣側(cè)向應(yīng)變按如下方式確定[4]:取試樣1／2高度處的節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)的側(cè)向位移(ux)作為側(cè)向坐標(biāo)(x)的函數(shù)并繪于坐標(biāo)系中，線性回歸線斜率即為試樣的宏觀側(cè)向應(yīng)變.

圖3為應(yīng)力－側(cè)向應(yīng)變曲線，正如所見:

(1)從開始加載直至70%～80%峰值應(yīng)力，不論端面約束條件如何，側(cè)向應(yīng)變與軸向應(yīng)變成比例增加；之后側(cè)向應(yīng)變增加更快，峰值應(yīng)力后尤為明顯，在軟化段清晰地表明試樣側(cè)向應(yīng)變將超過軸向應(yīng)變.

(2)相比于光滑端面，加載端面粗糙條件下峰值應(yīng)力對應(yīng)的側(cè)向應(yīng)變較大.

(3)在峰后軟化段，光滑端面的應(yīng)力下降至88%峰值應(yīng)力時橫向應(yīng)變即已超過軸向應(yīng)變，而粗糙端面下降至76%峰值應(yīng)力才出現(xiàn)這一現(xiàn)象，表明在峰后軟化段光滑端面條件下試樣的橫向應(yīng)變增加更快.

圖3 不同端面約束的試樣應(yīng)力－軸向應(yīng)變曲線和應(yīng)力－側(cè)向應(yīng)變曲線Fig.3 Stress－axial strain curves and stress－lateral strain curves for specimen loaded under different boundary conditions

如果端面光滑，試樣發(fā)生劈裂破壞(見后文對破壞過程的分析)，可將側(cè)向變形過程分為兩個階段.第一階段包括側(cè)向應(yīng)變與縱向應(yīng)變成比例增長的初始加載階段和少量局部裂紋貫通的峰值應(yīng)力附近(已處于峰后軟化段，但是宏觀劈裂裂紋尚未完全形成)，側(cè)向應(yīng)變的增加是平緩的.在第二階段，由于宏觀劈裂裂紋臨近形成或已經(jīng)形成，試樣的側(cè)向應(yīng)變迅速增加.

若端面粗糙，試樣的側(cè)向變形受到限制，而且從試樣端部到試樣高度的中央，限制是逐步減弱的，所以試樣高度的中央側(cè)向變形最大.另外，雖然在軸向壓縮過程中，側(cè)向應(yīng)變的增加速度是越來越快的，但是除了在破壞嚴(yán)重、表層混凝土甚至剝落的殘余強(qiáng)度階段，側(cè)向應(yīng)變的增加相對平緩，并不會出現(xiàn)如光滑端面條件下迅速增加的情形.

2.1.3 應(yīng)力／峰值應(yīng)力(σ3／σ0)與泊松比的關(guān)系圖4給出了由軸向應(yīng)變與側(cè)向應(yīng)變計(jì)算得到的峰值應(yīng)力前的試樣泊松比變化曲線.

開始加載時不同端面約束條件的泊松比相差很小.光滑端面條件下，直至逼近80%峰值應(yīng)力，泊松比ν仍保持為常數(shù)，在此應(yīng)力處表觀泊松比開始增大，到峰值應(yīng)力時為0.34.粗糙端面條件下，約在70%峰值應(yīng)力時，泊松比開始增加，峰值應(yīng)力時的泊松比為0.46.泊松比的上升是由于試樣側(cè)向應(yīng)變較軸向應(yīng)變增加更快引起的，從圖3可以看出，在峰后軟化段，隨著加載的進(jìn)行泊松比甚至超過了1.0.

2.2 端面效應(yīng)對宏觀破壞過程的影響

上述強(qiáng)度、變形特征與試樣內(nèi)部微裂紋的萌生、發(fā)展和成核過程是密切相關(guān)的.圖5～8分別為圖2中試樣在端面光滑與端面粗糙條件下不同加載點(diǎn)(分別為S1，…，S5和R1，…，R5)的損傷演化過程和變形示意圖.

圖5 光滑端面:試樣的損傷演化過程Fig.5 Process of damage for specimen loaded under smooth boundary

圖6 光滑端面:試樣的變形示意圖Fig.6 Deformed configuration for specimen under smooth boundary

圖7 粗糙端面:試樣的損傷演化過程Fig.7 Process of damage for specimen loaded under rough boundary

圖8 粗糙端面:試樣的變形示意圖Fig.8 Deformed configuration for specimen loaded under rough boundary

對于光滑端面:

(1)最先發(fā)生的損傷以及微裂紋相對均勻地分布于試樣中.在加載的初始階段，只有少量相對較弱的、與加載方向大致平行的界面過渡區(qū)發(fā)生損傷，由于沒有端面約束，試樣端部的側(cè)向變形未被限制，端部較弱的界面過渡區(qū)也發(fā)生損傷.

(2)隨著加載的進(jìn)行，與試樣高度中央主體部分(相對于端部而言)相似，端部也有越來越多的單元發(fā)生損傷，并形成損傷相對集中的局部裂紋，試樣最終形成的縱向宏觀主裂紋帶即是由端部與主體部分的若干局部裂紋擴(kuò)展、橋接貫通而成.

(3)試樣最終的破壞模式為劈裂破壞，貫穿試樣的宏觀斷裂帶與加載方向呈小于30°的角度.如圖6(c)所示，本文模擬的單軸壓縮試樣僅產(chǎn)生了一條宏觀斷裂帶，從橫向位置來看，宏觀斷裂帶位于試樣中部，將試樣分割為左右兩部分.另外，在試樣上端部靠左和下端部靠右有較多單元損傷(見圖5(c)～(e))，從破壞特征看，這些部位被壓碎了(見圖6(c)～(e)).

對于粗糙端面:

(1)最先出現(xiàn)損傷和微裂紋的區(qū)域位于試樣高度中央主體部分的表層與核心區(qū)之間，大致平行加載方向，試樣端部極少有單元發(fā)生損傷.由于端面約束，試樣端部的側(cè)向變形(膨脹)受到限制，且越靠近端面限制越強(qiáng)，故從試樣高度中央到端部的側(cè)向拉伸變形越來越小，發(fā)生損傷的單元越來越少.

(2)繼續(xù)加載，試樣高度中央主體部分有越來越多的單元發(fā)生損傷，而且沿斜向往試樣上、下端部，至加載面處轉(zhuǎn)向試樣角部，也不斷有單元發(fā)生損傷.在這些部位，大量的微裂紋彼此相連，形成大片平行于加載方向的兩側(cè)表層到核心處的斷裂區(qū)域，不存在明顯的宏觀主斷裂帶.

(3)試樣最終的破壞形態(tài)為正倒相連的四角錐.破壞最嚴(yán)重的為試樣高度中央主體部分，上、下端部因?yàn)榧虞d端的約束少有破壞的癥狀.

圖9為van Vliet等[14]對加載板與試件端部之間處于低摩擦和高摩擦約束條件下試件破裂模式的試驗(yàn)研究結(jié)果，通過比較可知，上述試樣軸壓破壞過程的數(shù)值結(jié)果與典型的物理試驗(yàn)結(jié)果是相似的.

圖9 不同端面約束條件下試樣破壞形態(tài)試驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Experiments results of specimen failure mode loaded under different boundary conditions

在不同的端面約束條件下，雖然試樣破壞過程存在上述諸多不同，但是它們的破壞機(jī)理是一致的.在數(shù)值模型中考慮了材料受拉損傷與剪切損傷2種基本機(jī)制，從數(shù)值結(jié)果可知，無論是光滑端面還是粗糙端面，單軸壓縮試樣發(fā)生剪切損傷的比例均很小，是以拉伸損傷機(jī)制控制破壞.圖10為殘余強(qiáng)度階段試樣的剪切損傷分布，光滑端面條件下發(fā)生剪切損傷的單元占總的損傷單元比例約為10%，粗糙端面的約為16%.

圖10 不同端面條件下試樣的剪切損傷分布Fig.10 Shear damage distributions for specimen loaded under different boundary conditions

綜上所述，數(shù)值仿真結(jié)果復(fù)現(xiàn)了混凝土試樣的軸壓破壞過程.值得一提的是，本文沒有采用考慮拉伸軟化的損傷本構(gòu)關(guān)系，而是從細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征出發(fā).數(shù)值結(jié)果表明，混凝土材料的應(yīng)變軟化等宏觀非線性力學(xué)行為與這些細(xì)觀結(jié)構(gòu)的漸次損傷密切相關(guān)，蘊(yùn)含了非均勻材料斷裂破壞的多尺度損傷物理現(xiàn)象.

3 結(jié) 論

(1)從混凝土細(xì)觀層次的三相結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，采用復(fù)合材料力學(xué)中的均質(zhì)化技巧將界面過渡區(qū)和與之相鄰的骨料及砂漿基質(zhì)考慮為均質(zhì)材料區(qū)域，建立了考慮界面過渡區(qū)細(xì)觀特征的復(fù)合型界面損傷模型，為進(jìn)一步揭示混凝土的破壞機(jī)理及其非線性行為本質(zhì)提供了一種新的數(shù)值試驗(yàn)手段.

(2)利用該模型對不同端面約束的混凝土的單軸壓縮破壞過程進(jìn)行了數(shù)值試驗(yàn)研究，數(shù)值模擬得到了與試驗(yàn)結(jié)果較為一致的變形特征和破壞過程:試樣強(qiáng)度受加載端面約束條件的影響，粗糙端面高于光滑端面，但是彈性模量很接近；不同端面條件下試樣應(yīng)力－應(yīng)變曲線的峰后軟化段延性有明顯差異，光滑端面條件下的峰后軟化段斜率較陡，具有較低的延性，而粗糙端面的試樣軟化段下降比較平緩，延性較好；雖然端面約束條件不同試樣破壞的宏觀表現(xiàn)形式截然不同，光滑端面為軸向劈裂，粗糙端面則是以在試樣端部形成倒錐形為特征的破壞形式，但是混凝土材料破壞均由拉伸損傷機(jī)制控制.

(3)研究結(jié)果表明，端面約束對試驗(yàn)得到的應(yīng)力－應(yīng)變曲線形狀和損傷局部化過程有很大影響，因此不應(yīng)籠統(tǒng)地將它們視為單純的材料特性.同樣，可以通過多次的數(shù)值試驗(yàn)來單獨(dú)考慮影響試驗(yàn)結(jié)果的一些其他因素，如試樣形狀、試驗(yàn)機(jī)剛度等，為有限的物理試驗(yàn)提供參考甚至在指導(dǎo)工程實(shí)踐中發(fā)揮積極作用.

[1]國家住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.GB 50010—2010混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].北京:中國建筑工業(yè)出版社，2010.Ministry of Housing and Urban－Rural Development.GB 50010－2010Code for Design of Concrete Structure[S].Beijing:China Architecture＆Building Press，2010.(in Chinese)

[2]van Mier J G M，Shah S P，Arnaud M，etal.Strain－softening of concrete in uniaxial compression[J].Materials and Structures，1997，30(4):195－209.

[3]van Vliet M R A，van Mier J G M.Experimental investigation of concrete under uniaxial compression[J]. Mechanics of Cohesive－frictional Materials，1996，1(1):115－127.

[4]Cusatis G L，Bazant Z P，Cedolin L.Confinementshear lattice model for concrete damage in tension and compression:II.Computation and validation[J].Journal of Engineering Mechanics，2003，129(12):1449－1458.

[5]劉庭金，朱合華，莫海鴻.非均質(zhì)混凝土破壞過程的細(xì)觀數(shù)值試驗(yàn)[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2005，24(22):4121－4133.LIU Ting－jin， ZHU He－h(huán)ua， MO Hai－h(huán)ong.Mesoscopic numerical tests on failure process of heterogeneous concrete[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2005，24(22):4121－4133.(in Chinese)

[6]LILLIU G，van Mier J G M.3Dlattice type fracture model for concrete [J]. Engineering Fracture Mechanics，2003，70(7－8):927－941.

[7]Bazant Z P，Tabbara M R，Kazemi M T，etal.Random particle models for fracture of aggregate or fiber composites [J].Journal of Engineering Mechanics，1990，116(8):1686－1705.

[8]劉光廷，王宗敏.用隨機(jī)骨料模型數(shù)值模擬混凝土材料的斷裂[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1996，36(1):84－89.LIU Guang－ting，WANG Zong－min.Simulation of the fracture of concrete with random aggregate model[J].Journal of Tsinghua University:Science and Technology，1996，36(1):84－89.(in Chinese)

[9]唐春安，朱萬成.混凝土損傷與斷裂——數(shù)值試驗(yàn)[M].北京:科學(xué)出版社，2003.TANG Chun－an，ZHU Wan－cheng.Numerical Test of Damage and Fracture of Concrete[M].Beijing:Science Press，2003.(in Chinese)

[10]劉智光，陳健云.混凝土破壞過程的復(fù)合型界面損傷模型與數(shù)值模擬[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，43(3):1144－1152.LIU Zhi－guang， CHEN Jian－yun. Composite interface damage model in concrete fracture process and associated numerical simulation [J].Journal of Central South University，2012，43(3):1144－1152.(in Chinese)

[11]劉智光，陳健云.考慮材料組成特性的混凝土軸拉破壞過程細(xì)觀數(shù)值模擬[J].工程力學(xué)，2012，29(7):136－146.LIU Zhi－guang，CHEN Jian－yun.Meso－structural analysis of concrete specimens under uniaxial tension based on composition characteristics [J].Engineering Mechanics，2012，29(7):136－146.(in Chinese)

[12]Walraven J C， Reinhardt H W. Theory and experiments on the mechanical behavior of cracks in plain and reinforced concrete subjected to shear loading[J].HERON，1981，26(1A):26－35.

[13]陳惠發(fā)，薩里普A F.混凝土和土的本構(gòu)方程[M].余天慶，王勛文，劉西拉，等，譯.北京:中國建筑工業(yè)出版社，2004.CHEN Hui－fa，Saleeb A F.Constitutive Equations for Materials of Concrete and Soil[M].YU Tianqing，WANG Xun－wen，LIU Xi－la，etal，tran.Beijing:China Architecture ＆ Building Press，2004.(in Chinese)

[14]van Vliet M R A，van Mier J G M.Softening behaviour of concrete under uniaxial compression[C]／／ Wittmann F H，ed.Fracture Mechanics of Concrete Structures. Freiburg: Aedificatio Publishers，1995:383－396.