導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部的非線性剛度等效建模研究*

楊 濤 張為民② 楊 勇

(①同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804;②同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海 200092)

作為精密的直線導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)部件和機(jī)床中的重要結(jié)合部，直線滾動(dòng)導(dǎo)軌的剛度特性直接影響機(jī)床的加工精度和使用性能。研究直線滾動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合部的剛度性能，對(duì)預(yù)測(cè)和評(píng)估機(jī)床的性能具有重要意義。圍繞直線滾動(dòng)導(dǎo)軌的剛度特性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已做了大量研究工作，常用的研究方法包括:理論分析法［1－2］、有限元法［3－4］、試驗(yàn)測(cè)試法［5－6］，取得了很多研究成果，但仍存在以下問題:(1)在研究導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部剛度特性時(shí)，往往忽略因結(jié)合部預(yù)緊造成的剛度非線性現(xiàn)象;(2)為保證結(jié)合部建模的準(zhǔn)確性常需要對(duì)滾珠進(jìn)行建模，從而造成運(yùn)算時(shí)間與成本較高;(3)結(jié)合部剛度試驗(yàn)測(cè)試法雖精度較高，但缺乏通用性，無(wú)法在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)階段進(jìn)行有效的性能預(yù)測(cè)與評(píng)估。

綜上所述，本文以導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部為研究對(duì)象，基于彈性力學(xué)及其赫茲接觸理論，在分析計(jì)算預(yù)緊情況下導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部力－位移剛度曲線的基礎(chǔ)上，以非線性彈簧進(jìn)行等效，并采用含滾珠的結(jié)合部有限元模型與非線性等效彈簧有限元模型進(jìn)行仿真計(jì)算，在首先保證其剛度特性的前提下，降低運(yùn)算成本，簡(jiǎn)化計(jì)算過程，并且對(duì)結(jié)合面應(yīng)力分布影響盡可能小。

1 導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部的剛度特性

目前滾動(dòng)導(dǎo)軌的主要預(yù)緊方式如圖1所示，即采用滾珠直徑大于溝槽尺寸的方式進(jìn)行預(yù)緊，從而達(dá)到增加剛度的目的。本文采用該方式進(jìn)行預(yù)緊。通常情況下導(dǎo)軌滑塊承受的主要工作負(fù)載為垂向載荷，通過計(jì)算滑塊位移δ隨垂向載荷Fz的變化情況，能夠比較準(zhǔn)確地得到導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部的剛度特性。圖2為導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部的斷面形狀及受力變形圖，1、2、3、4表示滾珠號(hào)碼，F(xiàn)1、F2、F3和F4表示滾珠所受的接觸力。

1.1 理論分析

在進(jìn)行剛度計(jì)算時(shí)，根據(jù)赫茲彈性接觸理論及直線滾動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合部的特點(diǎn)，作如下假設(shè)［1］:①除接觸部分以外，均作為剛體考慮;②導(dǎo)軌和滑塊的滾動(dòng)溝槽幾何形狀完全相同;③斷面的幾何形狀左右對(duì)稱;④只承受垂直方向的載荷;⑤滾珠過盈裝配到溝槽時(shí)，接觸角不發(fā)生改變;⑥滾珠以兩點(diǎn)接觸滾動(dòng)。

本文定義導(dǎo)軌溝槽與滾珠曲率比f(wàn)r=Rr/Da，滑塊溝槽與鋼球曲率比f(wàn)s=Rs/Da，由假定條件②可知fr=fs=f，曲率和B=fr+fs－1=2f－1。其中，Rr為導(dǎo)軌溝槽半徑，Rs為滑塊溝槽半徑，Da為插入溝槽后滾珠的直徑。

1.1.1 幾何關(guān)系

(1)上排滾珠

如圖3所示，滑塊受到垂直載荷作用，設(shè)滑塊和導(dǎo)軌溝槽半徑的中心由A垂直位移到A′，則A′A′=Rr+Rs－Da+ δnr1+ δns1。其中，δnr1、δns1分別為導(dǎo)軌接觸部分和滑塊接觸部分的法向彈性變形。定義 δn1=δnr1+δns1，則

因幾何約束的關(guān)系，在承受垂直載荷時(shí)，滑塊在Y方向不產(chǎn)生位移變化，故A′A′sinφ1=AAsinφ0，即

設(shè)滑塊和導(dǎo)軌之間在Y方向的趨近量為δ，則

由式(2)和(3)可求得

(2)下排滾珠

如圖4所示，當(dāng)滑塊受到垂直載荷作用時(shí)，下排滾珠的預(yù)壓載荷逐漸釋放。設(shè)滑塊和導(dǎo)軌溝槽半徑的中心由B垂直位移到B′，則B′B′=Rr+Rs－Da－ δnr2－ δns2。式中:δnr2、δns2分別為導(dǎo)軌接觸部分和滑塊接觸部分的法向彈性變形恢復(fù)量。定義δn2= δnr2+ δns2，則

同理，在Y方向有B′B′sinφ2=BBsinφ0，即

根據(jù)1.1中假定條件①可知，與下排滾珠接觸的滑塊和導(dǎo)軌之間在Z方向的趨近量仍為δ，則

由式(6)和(7)可求得

1.1.2 物理關(guān)系

(1)彈性變形系數(shù)kn的求解［7］

根據(jù)赫茲接觸理論，滾珠與導(dǎo)軌、滑塊接觸面彈性力與彈性變形的關(guān)系為

式中:δn為接觸區(qū)法向彈性變形;kn為彈性變形系數(shù);F為作用于兩彈性體接觸點(diǎn)的法向壓力;J、α為由接觸點(diǎn)主曲率τ值決定的系數(shù);E1、E2為兩接觸體材料的彈性模量;μ1、μ2為兩接觸體材料的泊松比;∑ρ為兩接觸體接觸點(diǎn)處4個(gè)主曲率之和。

(2)上、下兩排滾珠同時(shí)受壓時(shí)的受力分析

如圖2所示，當(dāng)垂向載荷Fz作用在滑塊上時(shí)，各列中單個(gè)滾珠的彈性力分別為F1、F2、F3和F4，由于導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部在Y方向上受力平衡，且由于Y方向的對(duì)稱性，則有

式中:z為接觸鋼球數(shù)。接觸點(diǎn)的法向彈性變形由赫茲理論可求得

式中:β為引入的修正系數(shù);F0為單個(gè)滾珠的預(yù)緊力，且F0=P/(2zcosφ0)。將式(2)與(6)分別代入式(12)和(13)可求得

(3)下排滾珠恢復(fù)預(yù)變形后的受力分析

當(dāng)δ達(dá)到某一定值，下排滾珠將不再受壓，即F3=F4=0，式(11)可轉(zhuǎn)化為

1.1.3 算例

本文以一款直線滾動(dòng)導(dǎo)軌為例，將本文所建立的導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部模型，應(yīng)用于直線滾動(dòng)導(dǎo)軌的垂向剛度特性分析，驗(yàn)證理論模型的有效性。該型號(hào)直線滾動(dòng)導(dǎo)軌的相關(guān)參數(shù)為:滾珠直徑Da=6.35 mm;曲率比f(wàn)=0.54;接觸滾珠數(shù)z=15;預(yù)壓載荷P=2 940 N;初始接觸角φ0=45°;材料彈性模量E=208 000 MPa;泊松比μ=0.3。

根據(jù)式(4)、(8)、(11)、(14)、(15)進(jìn)行計(jì)算，可以得到考慮預(yù)壓載荷情況下導(dǎo)軌滑塊的剛度特性。圖5所示為滑塊垂向位移與其承受垂向載荷的關(guān)系曲線。圖6所示為結(jié)合部中滾珠所受法向接觸力與滑塊承受垂向載荷的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，當(dāng)垂向載荷Fz在8 400 N附近時(shí)，下排滾珠接觸力F3減小到0，此時(shí)結(jié)合部剛度發(fā)生突變，剛度特性曲線將出現(xiàn)拐點(diǎn)。

1.2 導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部有限元建模

考慮結(jié)合部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，本文取導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部的左半切片建立有限元模型，并施加對(duì)稱約束，如圖7所示。

2 等效彈簧簡(jiǎn)化模型的剛度特性

滾珠在整個(gè)承載過程中，都是通過自身的彈性變形對(duì)導(dǎo)軌滑塊接觸面提供反向接觸力，且接觸力與彈性變形量存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，變形量越大，接觸力越大，與彈簧的性質(zhì)相似。鑒于此，考慮把結(jié)合部中的滾珠簡(jiǎn)化為等效彈簧。通過修正彈簧非線性剛度使簡(jiǎn)化前后的剛度特性保持一致。

2.1 理論分析

2.1.1 幾何關(guān)系

將帶有預(yù)緊載荷的滾珠等效為帶預(yù)壓變形的彈簧單元，彈簧的初始長(zhǎng)度為Da，認(rèn)為彈簧與導(dǎo)軌連接的M、P點(diǎn)固定不動(dòng)。

(1)上排等效彈簧

如圖8所示，結(jié)合部承受垂向載荷后，彈簧與滑塊的接觸點(diǎn)從N垂直移動(dòng)至N′，產(chǎn)生位移為δ，則

(2)下排等效彈簧

如圖9所示，結(jié)合部承受垂向載荷后，彈簧與滑塊的接觸點(diǎn)從Q垂直移動(dòng)至Q′，由于滑塊與滾珠的非接觸部分都作為剛體處理，則與下排滾珠接觸的滑塊和導(dǎo)軌之間在Z方向的趨近量仍為δ，則有

2.1.2 物理關(guān)系

為了將簡(jiǎn)化后的等效彈簧結(jié)合部模型與原結(jié)合部模型的剛度特性保持一致，現(xiàn)將圖5所示的結(jié)合部剛度特性函數(shù)代入式(17～21)中，通過計(jì)算可以得到上下兩排等效彈簧的彈簧壓力與彈簧變形量的關(guān)系曲線如圖10所示。

2.2 導(dǎo)軌滑塊簡(jiǎn)化模型的有限元建模

使用彈簧單元替換原結(jié)合部有限元模型中的滾珠，如圖11所示。將彈簧的兩個(gè)端點(diǎn)分別與所接觸溝槽的區(qū)域進(jìn)行耦合，耦合面積通過赫茲理論計(jì)算得到。設(shè)置彈簧單元的非線性剛度如圖10所示，并進(jìn)行分析計(jì)算。

3 結(jié)果與分析

簡(jiǎn)化前后有限元模型結(jié)合部的剛度特性曲線與理論分析結(jié)果進(jìn)行比較，如圖12所示?？梢钥闯?，簡(jiǎn)化前后結(jié)合部的垂向剛度非常接近，并且與理論計(jì)算得到的垂向剛度曲線非常吻合。簡(jiǎn)化前后兩種結(jié)合部模型中滑塊與滾珠接觸面的應(yīng)力云圖如圖13、14所示，可以看出，其應(yīng)力分布情況大致吻合，綜上可以看出該簡(jiǎn)化方法的合理性。

4 結(jié)語(yǔ)

(1)采用含滾珠的非簡(jiǎn)化有限元模型分析得到的剛度特性曲線與基于彈性力學(xué)和赫茲理論計(jì)算所得結(jié)果非常吻合，并且均存在明顯的曲線拐點(diǎn)，驗(yàn)證了該滾珠結(jié)合部有限元模型的準(zhǔn)確性與可靠性。

(2)采用非線性等效彈簧有限元模型，在大大降低計(jì)算成本和計(jì)算時(shí)間的基礎(chǔ)上，得到的剛度特性曲線與含滾珠結(jié)合部模型計(jì)算結(jié)果的最大誤差約為8%，而應(yīng)力云圖分布也大致吻合，從而說明了非線性等效彈簧簡(jiǎn)化模型的可行性與有效性。

(3)該研究為在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段研究導(dǎo)軌滑塊結(jié)合部的剛度特性、預(yù)測(cè)與評(píng)估產(chǎn)品性能提供了重要的方法和理論依據(jù)。

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