基于中弧線-厚度函數(shù)的翼型形狀解析構(gòu)造法

姜海波， 趙云鵬

（海軍工程大學勤務學院，天津 300450）

翼型的設計方法大致可分為反設計法和優(yōu)化設計法兩類。反設計法由給定的目標壓力分布通過計算機逆向多次迭代求解氣動外形[1-2]，這些翼型可能具有較高的升阻比，但由于多數(shù)是在單個設計點上設計的，在工況偏離設計點時升阻比會變差，失速特性不理想。為提高翼型的綜合性能，以遺傳算法為代表的優(yōu)化設計方法得到較快發(fā)展，該方法直接以氣動性能為目標進行外形設計，可以按要求對翼型提出各種約束[3-4]，其缺點是計算工作量大，約束越多計算時間越長。

翼型的形狀決定了流場的壓力分布和翼型的性能，是流動分析的基礎和關(guān)鍵。不論是反設計還是優(yōu)化設計，不論是單目標還是多約束，最終都要歸結(jié)到流體對形狀作用的正問題上來，只不過增加了多次微調(diào)形狀、計算并優(yōu)選具有“最佳性能”形狀的過程。所以翼型形狀的表達方法十分重要，它關(guān)系到后續(xù)計算全過程的效率高低和翼型綜合性能的優(yōu)劣。

翼型的幾何形狀可采用多種方法描述，主要有外形參數(shù)化方法、形函數(shù)擾動法、解析函數(shù)法3種。外形參數(shù)化方法用多個參數(shù)描述翼型各個部位的幾何尺寸，設計變量有明確的幾何意義，但不給出解析表達式[5-6]。形函數(shù)擾動法由原始翼型和擾動形函數(shù)的線性疊加決定外形[7]，形函數(shù)一般采用 Hicks-Henne函數(shù)[8]，這種方法對原始翼型的幾何數(shù)據(jù)依賴性很強，如果原始翼型的外形不光滑，那么設計翼型的外形也不光滑，而且直接影響到壓力系數(shù)曲線的光滑性。另外這種方法不能改變初始翼型的前緣半徑和后緣角等幾何參數(shù)[9]。解析函數(shù)法就是用一個解析函數(shù)直接表示翼型形狀，例如早期用多項式表達的NACA 4位數(shù)、5位數(shù)系列翼型，近期也有研究用級數(shù)表達翼型的方法[10]。這些方法適合表示靜態(tài)翼型，因為參數(shù)變化對形狀全局都會產(chǎn)生很大的影響，微調(diào)效果不好，遺傳算法難以找到合適的個體編碼方式。

如果解析函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)幾何意義明確、微調(diào)效果又好，那么結(jié)合計算機強大的優(yōu)化設計能力，就容易得到性能更優(yōu)良的翼型。為此，本文探討一種用中弧線-厚度函數(shù)定義的解析函數(shù)來構(gòu)造復雜翼型的方法。

1 儒科夫斯基翼型型線表達式的簡化

儒科夫斯基翼型型線表達式為[11]

其中z為翼型型線相對于弦長的無量綱縱坐標，yC為翼型型線相對于弦長的無量綱橫坐標（橫軸與翼弦方向一致）；δ為最大厚度與弦長的比值，稱為相對厚度；ε為翼型中弧線到翼弦的最大距離與弦長的比值，稱為相對彎度。式(1)最后一項取正號時表示上型線，取負號時表示下型線。上式根號內(nèi)含有彎度項，且彎度在分母，表達式比較復雜，為化簡，對該式關(guān)于ε進行泰勒級數(shù)展開

忽略3次及以上階次小量

這是弦長中點位于原點的翼型表達式。式中第 1項為翼型的中弧線，其最大值為ε，由該值確定翼型的彎度。第2項表示厚度，取正號時為上表面型線，取負號時為下表面型線。容易證明上下型線之間距離的最大值為δ。分別取δ=0.2，ε=0及δ=0.2，ε=0.1，式(3)表示的翼型形狀分別如圖1、圖2所示。

圖2 彎度為0.1的翼型構(gòu)造示例

將前緣移至原點可進一步簡化式(3)，令

則有

將式(4，5)代入式(3)

這是前緣在原點的儒科夫斯基翼型型線的解析表達式。

2 一般翼型型線的函數(shù)構(gòu)造方法

在函數(shù)表達式中，變量的系數(shù)和指數(shù)（統(tǒng)稱為參數(shù)）對函數(shù)圖像形狀產(chǎn)生顯著的影響。為構(gòu)造一般翼型型線形狀函數(shù)，將儒科夫斯基翼型型線表達式的系數(shù)和指數(shù)擴展為一般形式，參考式(7)定義形狀函數(shù)為

式中，p、a、b、q、c和d均為大于0的常數(shù)。儒科夫斯基型線函數(shù)可認為是該式的一個特例。

該式的第1項表示翼型的中弧線，由3個參數(shù)控制中弧線的形狀：系數(shù)p控制整體中弧線的高低，y的指數(shù)a控制前端中弧線的高低，(1-y)的指數(shù)b控制后端中弧線的高低；該式第2項表示翼型的厚度，由3個參數(shù)控制厚度變化趨勢：系數(shù)q控制整體厚度趨勢，y的指數(shù)c控制前端厚度，(1-y)的指數(shù)d控制后端厚度。

這6個參數(shù)的增大或減小都會影響形狀，相對于基準圖形的影響趨勢列入表1中，這里用于比較的基準圖形的參數(shù)為p=0.4,a=1,b=1,q=0.3,c=0.5,d=1.5（儒科夫斯基翼型）。

式(8)第1項為中弧線項，第2項為厚度項。從表1可以看出，翼型型線的形狀取決于中弧線走勢和厚度的變化。這種用調(diào)整中弧線和厚度參數(shù)構(gòu)造翼型型線的方法，本文稱為“中弧線-厚度函數(shù)構(gòu)造法”。

表1 參數(shù)變化對翼型形狀的影響

參數(shù)變化對形狀的影響趨勢有很強的規(guī)律性。p是中弧線項的系數(shù)，p增大翼型中弧線就會成比例增高，彎度就會增大。q是厚度項的系數(shù)，q增大厚度會成比例擴展。底數(shù)為y的項對翼型前端形狀影響較大，底數(shù)為(1-y)的項對后端形狀影響較大，它們都是小于1的數(shù)，因此指數(shù)增大所在項反而變小。式(8)中每一項、每個系數(shù)或指數(shù)的幾何意義都很明確，而且表達式并不復雜（僅有 6個參數(shù)），因此，方便構(gòu)造多種形態(tài)的翼型。

3 復雜翼型型線的函數(shù)構(gòu)造方法

為適應構(gòu)造更復雜翼型形狀的需要，可以考慮分離上、下型線并重新組合。用下標u、l分別表示上、下型線，則式(8)可擴展為如下形式

下型線和對應中弧線始終保持為基準形狀（實線），改變上型線參數(shù)時圖形的變化趨勢（虛線）如表2所示。上型線和對應中弧線始終保持為基準形狀（實線），改變下型線參數(shù)時圖形的變化趨勢（虛線）如表3所示。

表 1～表 3的所有示例是在基準形狀基礎上僅調(diào)整單一參數(shù)得到的圖形趨勢，如果同時調(diào)整多個參數(shù)，那么圖形的變化形式將會是多種多樣的，因此，可以通過調(diào)整參數(shù)給出眾多翼型的解析表達式。

需要注意的是，在上、下型線分離、進行不同組合的情況下，翼型的實際中弧線和厚度需重新計算。最終中弧線的表達式為其最大值fεmax就是翼型的彎度。翼型最終上、下型線之間的距離為

其最大值fδmax就是翼型的厚度，該值可作為優(yōu)化設計中的約束項之一。

表3 下型線參數(shù)變化對翼型形狀的影響

4 光滑尾緣翼型型線的函數(shù)構(gòu)造方法

前述翼型的尾緣為兩條曲線的交點，尖銳尾緣翼型在很多場合強度不能滿足實際工作的需要，必須設法用解析函數(shù)構(gòu)造光滑尾緣翼型。

實際上尾緣僅與厚度有關(guān)，因此只需在前述所有公式后再增加一個厚度項就能解決問題。這里的主要技巧在于把光滑前緣的方法用在尾緣處，以上述基準翼型示例分析如下。

基準翼型型線函數(shù)為

該式表示的型線圖形如圖3(a)所示。前緣的光滑性取決于厚度項（第2項）中y的指數(shù)0.5，這個值只能微調(diào)或不調(diào)才能保持前緣光滑。尾緣光滑性則由(1-y)的指數(shù)確定，當其值從1.5調(diào)整到0.5左右時，尾緣必定是光滑的。但是這種調(diào)整會導致翼型型線形狀發(fā)生巨大變化，例如對換這兩項的指數(shù)，那么翼型就會水平翻轉(zhuǎn)（如圖3(b)）。解決的方法是在式(8)或式(13)中再增加一個厚度項，調(diào)換指數(shù)位置，并調(diào)低該項系數(shù)值（以減少對前端形狀的影響），例如變換為以下形式

該式表示的型線圖形如圖3(c)所示。如果在式(14)的第3項中增大y的指數(shù)，例如由1.5增大到6，那么與圖3(a)比較，翼型前端的形狀基本不變，而尾緣變化明顯如圖3(d)所示。

圖3 光滑尾緣翼型的構(gòu)造過程

根據(jù)以上分析，具有光滑尾緣的翼型型線函數(shù)可表示為以下形式

其中r

5 結(jié) 束 語

本文將儒科夫斯基翼型型線表達式簡化為中弧線-厚度函數(shù)表示的解析式，利用其結(jié)構(gòu)簡單的特點進一步擴展了參數(shù)范圍，提出了中弧線-厚度解析構(gòu)造法，給出了通過調(diào)整參數(shù)大小生成眾多不同翼型形狀的簡單方法，適合在翼型設計優(yōu)化過程中使用。本文還對復雜翼型，特別是尾緣光滑翼型給出了單一解析構(gòu)造函數(shù)，避免了采用分段函數(shù)或疊加多項式帶來的諸多麻煩和困難。可以看出，復雜翼型的幾何形狀可通過有限個參數(shù)的解析函數(shù)表達，這些參數(shù)不僅數(shù)量少，具有明確的幾何意義，而且使用方便，便于調(diào)整翼型的局部形狀。

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