基于跖跗圍參數(shù)的鞋楦曲面重構(gòu)

趙 寶， 胡小春， 張晴晴

（合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

鞋楦是制作鞋靴的模具，不僅影響鞋靴的款式及造型的美觀，而且在很大程度上決定了成鞋的合腳性和舒適性。通過級放系統(tǒng)生產(chǎn)出的不同型號的鞋子會或多或少影響穿著的舒適性和合腳性。為了滿足消費(fèi)者對鞋的樣式、舒適性的要求和提高制鞋企業(yè)競爭力，鞋的個性化定制日趨重要。目前關(guān)于鞋楦個性化定制的研究基本沿著兩個技術(shù)路線：一是參照腳的掃描數(shù)據(jù)模型對鞋楦數(shù)據(jù)模型進(jìn)行重構(gòu)，設(shè)計出較符合人腳的鞋楦，缺點是自動化程度較低、工作量較大[1-6]；二是根據(jù)個性化需求，參數(shù)化設(shè)計修改鞋楦各特征參數(shù)值[7-8]，然后將特征參數(shù)映射到整個鞋楦曲面上。對于第二種技術(shù)路線，基于鞋楦圍度參數(shù)的鞋楦曲面重構(gòu)是其中一個關(guān)鍵技術(shù)。

鞋楦圍度決定了鞋楦肥瘦，是影響成鞋穿著合腳性、舒適性的主要因素之一。基于鞋楦圍度參數(shù)的鞋楦曲面重構(gòu)是實現(xiàn)鞋楦個性化定制的重要技術(shù)內(nèi)容。2009年王青等提出基于單、多截面曲線約束的鞋楦曲面變形技術(shù)對鞋楦曲面進(jìn)行重構(gòu)[7]。由于該方法對總圍長的約束依賴于構(gòu)造的函數(shù)曲線，難以準(zhǔn)確實現(xiàn)對總圍長的約束，且易改變楦面的凹凸特征和楦底中軸線形狀。2011年Jin Wang等提出了快速個性化鞋楦CAD的方案，通過修改鞋楦上的一些特征點及輪廓線來修改鞋楦圍度[8]，并需要通過手工繪制擴(kuò)散曲線將局部變換擴(kuò)散到整個鞋楦曲面上，難以提高自動化程度。

基于圍度參數(shù)的鞋楦曲面重構(gòu)技術(shù)，著重于實現(xiàn)以下幾個方面的最佳：重構(gòu)的鞋楦曲面不僅要保持鞋楦曲面的光順，還要保持原有鞋楦曲面凹凸特征和美學(xué)特征、特別是楦底中軸線這個鞋楦重要特征；算法能夠在軟件中實現(xiàn)可視化交互操作，實現(xiàn)較大程度的自動化。文中介紹了以跖跗圍截面曲線的高度、圍長為參數(shù)的截面?zhèn)€性化設(shè)計，和將跖跗圍截面變換平滑過渡到整個鞋楦曲面的兩種樣條擴(kuò)散函數(shù)。最后，介紹了算法在Matlab軟件中的實現(xiàn)和應(yīng)用。

1 鞋楦模型結(jié)構(gòu)定義

通過三維掃描器采集得到鞋楦曲面的點云數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)是由一系列沿著楦長方向且含有相同點數(shù)的規(guī)則數(shù)據(jù)圈所構(gòu)成，在坐標(biāo)系中位置如圖1所示。

圖1 鞋楦數(shù)值模型

鞋楦的跖跗圍是鞋楦的兩個關(guān)鍵部位，是衡量鞋楦肥瘦的重要標(biāo)志。楦跖圍指的是楦第一跖趾內(nèi)寬點和第五跖趾外寬點間的圍長，楦跗圍指的是楦的腰窩外寬點繞過楦背一周的圍長[9]。

如圖2所示，鞋楦中軸面（鞋楦縱剖面）與鞋楦曲面相交得到鞋楦的中軸線，即圖2中曲線HIJKH，其中KH曲線段是鞋楦的楦底中軸線。鞋楦楦面與楦底的交線稱為楦底輪廓，根據(jù)鞋楦數(shù)據(jù)中楦底輪廓處的曲率半徑較小特點提取[10]。

圖2 鞋楦結(jié)構(gòu)定義

跖跗圍曲線與楦中軸線的交點連線可得兩楦圍高，與楦底輪廓線的交點連線可得兩楦圍寬。首先通過截面變換將跖跗圍截面曲線的總圍長、高度變換到個性化需求的目標(biāo)值，然后構(gòu)建擴(kuò)散函數(shù)將兩圍截面的變換效果沿楦中軸線及楦底輪廓線擴(kuò)散至整個鞋楦上。

2 鞋楦曲面重構(gòu)

2.1 鞋楦截面變換

通過對鞋楦跖跗圍截面的變換來達(dá)到對鞋楦圍度參數(shù)的修改。如圖1所示，鞋楦跖跗圍截面分別與若干鞋楦數(shù)據(jù)圈截面相交，它們的形狀、方位與位于其中間位置的鞋楦數(shù)據(jù)圈截面基本一致。為計算方便，可用分別位于跖跗圍中間位置的鞋楦數(shù)據(jù)圈截面作為鞋楦的跖跗圍截面分別進(jìn)行下述變換。以下不失一般性地以任一截面展開對截面變換過程的敘述。

如圖3所示，在鞋楦數(shù)據(jù)圈截面內(nèi)建立局部坐標(biāo)系，其y軸通過鞋楦中軸線面與截面曲線的交點連線AC，x軸通過楦底輪廓線與截面曲線的交點連線DB，原點O由兩軸交點確定

圖3 鞋楦截面上局部坐標(biāo)系

在局部坐標(biāo)系內(nèi)，記整個截面曲線ABCDA為wC，它由底部截面曲線段bC(BCD)和頂部截面曲線段tC(DAB)組成。設(shè)OA、OB、OC、OD的變換比例（變換后的模長與變換前的模長之比）分別為S1、S2、S3、S4。由于曲線段bC的凹凸性是一鞋楦比較重要的特征，設(shè)定約束S2=S3=S4，以保證截面曲線段bC的凹凸性不變且左右截寬(OD、OB)等比例擴(kuò)縮。

設(shè)截面曲線的初始圍長為 )(wCLl= 、初始高度為h(||AC||)，變換后的目標(biāo)圍長為Lw、目標(biāo)高度為H。截面變換過程為：依據(jù)參數(shù)S1、S2取值，構(gòu)建變換函數(shù)3,2,1Φ:對截面進(jìn)行變換，使得變換后的截面曲線滿足式(1)約束：

其中，1Φ僅對曲線段tC進(jìn)行變換：

p=(px,py,pz)∈R3，為鞋楦模型的三維坐標(biāo)點；僅對曲線段bC進(jìn)行變換：

變換比例參數(shù)S1、S2的確定：根據(jù)鞋楦圍線變化的可能性，這兩個比例參數(shù)應(yīng)在 1±δ之間變化，δ是一個小量。首先，確定合適的S2數(shù)值。對選定的初始范圍[q1q2]，令S2以步長t變化，只要選取的步長t適當(dāng)小，由此產(chǎn)生的誤差將不影響精度。參數(shù)S2的數(shù)學(xué)式可以描述為：

鞋楦截面變換的流程結(jié)束時輸出的截面變換比例就是符合設(shè)計需求的跖跗圍截面變換的比例，分別記跖截面兩項變換比例為：s11,s12，跗圍截面兩項變換比例為：s21,s22。

圖4 變換比例參數(shù)S1、S2確定流程圖

2.2 構(gòu)造擴(kuò)散函數(shù)

為將跖跗圍截面變換效果平滑過渡到鞋楦每數(shù)據(jù)圈曲線上，以跖跗圍截面變換比例為基準(zhǔn)構(gòu)建擴(kuò)散函數(shù)，用以確定鞋楦各數(shù)據(jù)圈對應(yīng)的截面變換比例。對截面變換中的兩項變換比例系數(shù)分別構(gòu)建擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)散控制。

為保證鞋楦曲面形狀和質(zhì)量，選取三次樣條插值函數(shù)來構(gòu)造擴(kuò)散函數(shù)。它由多段三次曲線拼成，在拼接點滿足二階連續(xù)。既能克服高次多項式插值缺陷，又能保證曲線光順性。

根據(jù)鞋楦設(shè)計的需要，構(gòu)造了局部、整體兩類擴(kuò)散函數(shù)。局部擴(kuò)散函數(shù)對兩圍截面變換進(jìn)行局部擴(kuò)縮，楦頭、楦尾的曲面形狀保持不變。整體擴(kuò)散函數(shù)將兩圍截面變換擴(kuò)散至整個鞋楦曲面。

局部擴(kuò)散函數(shù)(P1)：

對鞋楦的兩圍進(jìn)行局部擴(kuò)散，保持楦頭、楦尾曲面的形狀。局部擴(kuò)散函數(shù)曲線由七插值節(jié)點的三次樣條函數(shù)構(gòu)建，如圖5所示，圖中的x坐標(biāo)值對應(yīng)從楦頭至楦尾的鞋楦數(shù)據(jù)圈，n表示鞋楦數(shù)據(jù)總?cè)?shù)，x2、x4對應(yīng)經(jīng)過跖跗圍截面變換的鞋楦數(shù)據(jù)圈序號。擴(kuò)散函數(shù)首尾及跖跗圍截面數(shù)據(jù)圈處對應(yīng)的節(jié)點坐標(biāo)為：

其中，i=1, 2，分別對應(yīng)兩圍的第一項變換比例（s11，s21）和第二項變換比例(s12,s22)。本節(jié)后面的i取值、含義同上。擴(kuò)散函數(shù)的首尾節(jié)點的函數(shù)值為1，保證了鞋楦首尾截面形狀不變。為了保證在楦頭端點、楦尾端點處的擴(kuò)散函數(shù)平滑過渡，約束其在這兩處的一次導(dǎo)數(shù)為零，即：

在上述4個節(jié)點之間的另外3個節(jié)點(x1,x3,x5)設(shè)置為可控節(jié)點，方便后期通過人機(jī)交互實現(xiàn)對擴(kuò)散函數(shù)曲線的變形控制。在構(gòu)造初始擴(kuò)散函數(shù)時，設(shè)置這3個可控節(jié)點為相鄰兩節(jié)點的中間點。

圖5 局部擴(kuò)散函數(shù)

整體擴(kuò)散函數(shù)(P2)：

實現(xiàn)將跖跗圍截面的變換比例在整個鞋楦上進(jìn)行等比例的擴(kuò)散。該函數(shù)是由5個節(jié)點的三次樣條函數(shù)構(gòu)建，如圖6所示。擴(kuò)散函數(shù)首尾及跖跗圍截面數(shù)據(jù)圈處對應(yīng)的節(jié)點y坐標(biāo)值分別為：

首尾處的一階導(dǎo)數(shù)為零：

(x2,P2(x2))為可控節(jié)點，初始坐標(biāo)值設(shè)置為這相鄰兩節(jié)點的中間坐標(biāo)值。

圖6 整體擴(kuò)散函數(shù)

2.3 楦底中軸線恢復(fù)

經(jīng)過上述重構(gòu)鞋楦曲面楦底中軸線形狀已變動，因楦底中軸線是鞋楦的重要特征，需對重構(gòu)后鞋楦數(shù)據(jù)予以恢復(fù)原楦底中軸處理。令重構(gòu)前的楦底中軸線數(shù)據(jù)為Z1，重構(gòu)后楦底中軸線數(shù)據(jù)及整楦數(shù)據(jù)分別為Z2、Q。恢復(fù)楦底中軸線后的鞋楦數(shù)據(jù)的實現(xiàn)過程可表述如下：

式中i∈ [1 , 2,3,…n]，n為鞋楦數(shù)據(jù)的總?cè)?shù)。

3 算法實現(xiàn)與試用結(jié)果

應(yīng)用本文提出的算法，采用matlab軟件編制了基于楦圍參數(shù)的鞋楦曲面可視化重構(gòu)的應(yīng)用程序，其主界面如圖7所示。通過輸入跖跗圍的目標(biāo)圍長及其截面高度變化值、選擇局部或整體擴(kuò)散方式、并且交互設(shè)計合適擴(kuò)散函數(shù)曲線，便能設(shè)計出符合目標(biāo)圍度參數(shù)的鞋楦，實現(xiàn)對鞋楦跖跗圍進(jìn)行可視化的參數(shù)修改。

圖7 基于楦圍參數(shù)的鞋楦曲面重構(gòu)界面

對應(yīng)用程序進(jìn)行了試用：原樣楦跖跗圍分別為 241mm和 250mm，變換后跖跗圍長分別為245mm和248mm，跖跗圍截面高度改變量分別為 2mm、1mm。如圖 8所示，分別給出采用局部擴(kuò)散函數(shù)和整體擴(kuò)散函數(shù)所對應(yīng)的重構(gòu)樣楦曲面。其中的鞋楦曲面顏色映射圖反應(yīng)了重構(gòu)后每圈鞋楦數(shù)據(jù)相對于原鞋楦對應(yīng)圈數(shù)據(jù)中心的距離變化值，可以看出重構(gòu)后的楦高有所增加。局部擴(kuò)散和整體擴(kuò)散的區(qū)別反映在兩圖中的兩圍截面的變換在向楦尖端點和統(tǒng)口后端點擴(kuò)散時的不同。

為了分析鞋楦曲面的重構(gòu)對其光順性的影響，進(jìn)行了重構(gòu)前后鞋楦曲面的高斯曲率的變化率（Δr：重構(gòu)前后高斯曲率差值與重構(gòu)前相應(yīng)曲率值之比）的計算和統(tǒng)計，結(jié)果如表1所示?？梢钥闯鲋貥?gòu)后鞋楦曲面的高斯曲率變化率在可接受范圍內(nèi)，能很好的保持原鞋楦的曲面光順性，保證鞋楦的制作工藝要求。

表1 重構(gòu)后鞋楦數(shù)據(jù)點Δr分布

4 總 結(jié)

本文提出并實現(xiàn)了一種基于鞋楦跖跗圍截面的圍長及高度參數(shù)控制的鞋楦曲面重構(gòu)方法，是鞋楦個性化CAD系統(tǒng)的一個重要部分，能完善鞋楦級放設(shè)計的不足，推動鞋楦個性化設(shè)計的發(fā)展。利用本工作成果的可視化設(shè)計界面，設(shè)計者只需輸入圍長和高度改變量的目標(biāo)值，并通過交互式拖動控制點構(gòu)造合適的擴(kuò)散函數(shù)，即可實現(xiàn)基于鞋楦兩圍長的鞋楦曲面重構(gòu)。設(shè)計的兩類擴(kuò)散函數(shù)能適應(yīng)不同需求。擴(kuò)散處理后的鞋楦曲面光順性都較好。

圖8 鞋楦曲面重構(gòu)效果圖

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