數(shù)控機(jī)床精度評價新方法

趙萬華，張 俊，劉 輝，楊曉君

（1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049；2.西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049）

1 前言

高速數(shù)控機(jī)床的高速、高加速度運(yùn)動對伺服控制提出了更高的要求，如更高的控制帶寬、更大的調(diào)速范圍、更短的控制周期和測量周期等；而且大幅值、高頻寬的驅(qū)動力、慣性力、切削力會激勵起機(jī)械系統(tǒng)顯著以及更高頻率的振動。這使得由以上因素所引起的誤差遠(yuǎn)超過其他誤差（幾何誤差、熱誤差）而成為主導(dǎo)誤差[1，2]。同時由于工作條件的極端化，高速數(shù)控機(jī)床中控制-伺服驅(qū)動-機(jī)械間的多層次相互作用，即機(jī)電耦合行為更加突出，成為考察上述誤差時必須考慮的重要因素[3]。但目前在數(shù)控機(jī)床研究中缺乏這方面的準(zhǔn)確定義和系統(tǒng)的機(jī)理分析與權(quán)威的測量評價方法。

此外，在工程應(yīng)用中，一般利用定位精度和重復(fù)定位精度來評價數(shù)控機(jī)床運(yùn)動過程的精度，這是一種準(zhǔn)靜態(tài)的測量評價方法，無法表征數(shù)控機(jī)床在運(yùn)動中的瞬態(tài)過程（啟停、加減速、換向等）和穩(wěn)態(tài)過程中的機(jī)床精度，尤其是隨著對數(shù)控機(jī)床進(jìn)給速度和精度要求的提高，這種準(zhǔn)靜態(tài)的測量方法和評價指標(biāo)的弊病和不足就更加明顯。為此本文首先從數(shù)控機(jī)床的數(shù)控、伺服、機(jī)械等環(huán)節(jié)在服役態(tài)下所表現(xiàn)出來的性能出發(fā)，提出一種對數(shù)控機(jī)床更有針對性的，以運(yùn)動精度為指標(biāo)的機(jī)床精度評價新方法，通過數(shù)控指令與運(yùn)動軸實際位移的符合程度即運(yùn)動精度來評價機(jī)床精度，然后給出了具體的評價指標(biāo)，并提出了評價指標(biāo)的測量方法。分析表明，這種新的機(jī)床運(yùn)動精度描述評價方法能夠系統(tǒng)全面地評價數(shù)控機(jī)床關(guān)鍵性能的優(yōu)劣。最后從數(shù)控、伺服和機(jī)械角度分別闡述了影響運(yùn)動精度的因素。

2 數(shù)控機(jī)床精度分類及運(yùn)動精度的定義

從外在表現(xiàn)來看，機(jī)床精度可以分為兩大類：一類是由幾何誤差和熱誤差等引起的，與機(jī)床運(yùn)動進(jìn)給率大小無關(guān)的準(zhǔn)靜態(tài)精度；另一類是源于控制作用和加減速過程中的結(jié)構(gòu)變形、振動，且隨編程進(jìn)給率大小的不同而變化的動態(tài)精度[1]。

Koren在1983年指出，加工中的運(yùn)動誤差來源大致可以分為3類：第1類來自切削效應(yīng)，即刀具變形、顫振和刀具-工件的熱變形；第2類來自某些機(jī)械缺陷，如軸間不垂直、運(yùn)動軸間隙、爬行；第3類來自控制與軸動態(tài)特性[4]。在數(shù)控機(jī)床中，第3類誤差通常非常顯著，事實上在高速定位系統(tǒng)中，機(jī)械或結(jié)構(gòu)振動是影響輪廓性能的最重要的因素[5]。

Schmitz在2008年指出，工件精度，即工件對尺寸與幾何形狀要求的符合程度，有4個主要來源，分別為幾何誤差、熱變形誤差、由控制與機(jī)械特性決定的跟隨誤差和由切削力引起的誤差[6]。值得注意的是,在文獻(xiàn)[6]中所選的高速加工中心-刀柄-刀具組合與工藝參數(shù)下，由切削力引起的誤差占主導(dǎo)（76%），這與文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[5]的結(jié)論不符。這一現(xiàn)象是由于文獻(xiàn)[6]所采用的評價方法中穩(wěn)態(tài)部分權(quán)重過大造成的，同時也說明準(zhǔn)確的定義和統(tǒng)一的評價方法在研究與應(yīng)用中的重要性。

基于以上研究，考慮到高速數(shù)控機(jī)床的特點，本文提出一種數(shù)控機(jī)床精度分類和各類誤差的定量定義方法。如圖1所示，數(shù)控機(jī)床的最終精度是設(shè)計工件的理想形狀與加工獲得的實際形狀之間尺寸、形狀的符合程度，即圖1中曲面f（x，y，z）=0與f*（x，y，z）=0的符合程度，通常用其法向偏差衡量，數(shù)學(xué)上某加工區(qū)域Ω的法向偏差指標(biāo)Δtotal可近似按式（1）計算。應(yīng)用中要注意綜合考察小曲率部分、大曲率部分、轉(zhuǎn)角部分、過象限部分的偏差，并根據(jù)產(chǎn)品特點為各部分賦以合適的權(quán)重，才能得到總的加工精度。

圖1 數(shù)控機(jī)床的精度分類示意圖Fig.1 Classification of precisions in CNC machine tools

式中，（x1，y1，z1）∈Ω；f*（x1，y1，z1）=0；f（x，y，z）=0。

在本文給出的機(jī)床精度結(jié)構(gòu)下，數(shù)控機(jī)床共有4類精度，其定義、主要誤差來源、主要影響因素及與速度、加速度的關(guān)系列于表1，其中運(yùn)動精度是本文研究的主要內(nèi)容。

表1 數(shù)控機(jī)床中的4類精度情況Table 1 Description of four types of precision in CNC machine tools

運(yùn)動精度是數(shù)控指令與運(yùn)動軸實際位移的符合程度，用相應(yīng)的多維誤差序列 Δdynamic（t）[式（2）]表征。

運(yùn)動精度的誤差直接與機(jī)床運(yùn)動速度、加速度正相關(guān)，不同于GB/T 17421.2—2000（ISO 230.2—2006）中規(guī)定的低速運(yùn)動、穩(wěn)定后測量的運(yùn)動軸定位與重復(fù)定位精度。一般意義上的動態(tài)精度是指系統(tǒng)在隨時間變化的輸入作用下所具有的精度，在給定輸入作用下的該精度是指過渡過程中的最大動態(tài)偏差，而本文提出的運(yùn)動精度描述更為廣泛，評價更為全面。目前國內(nèi)外尚無關(guān)于運(yùn)動精度的定義、測量和評價標(biāo)準(zhǔn)。

3 數(shù)控機(jī)床運(yùn)動精度的評價測量方法

3.1 運(yùn)動精度的評價方法

由上節(jié)定義可知，運(yùn)動精度可由多維誤差序列Δdynamic（t）給出，但該序列不便于直接應(yīng)用。簡單的處理辦法是取最大值（最大誤差）或均方和（誤差累積）進(jìn)行評價[6]，但這樣的評價方法掩蓋了誤差的不同表現(xiàn)形式及其對最終加工誤差的貢獻(xiàn)，而且極大地依賴于加工路徑、參數(shù)的選擇。本文依據(jù)動態(tài)精度相應(yīng)誤差的表現(xiàn)形式，通過穩(wěn)態(tài)誤差、瞬態(tài)誤差、勻速段速度波動誤差3類單項與考慮機(jī)床特點和工藝要求的運(yùn)動精度綜合指標(biāo)進(jìn)行評價。

3.1.1 穩(wěn)態(tài)誤差

運(yùn)動精度中的單軸穩(wěn)態(tài)誤差是在緩變輸入下由于實際位移輸出滯后于位移指令而形成的跟隨誤差（見圖2）。在穩(wěn)態(tài)過程中，跟隨時間滯后Tlag由加減速過程和伺服控制造成的滯后兩部分構(gòu)成，Tlag不隨輸入指令的速度而變化。而由于時間滯后形成的位置跟隨誤差δtrack隨指令速度正比變化，即

式中，υ為穩(wěn)態(tài)運(yùn)行下的指令速度。

圖2 單軸穩(wěn)態(tài)跟隨誤差Fig.2 Steady state following error of single axis

運(yùn)動精度中的聯(lián)動穩(wěn)態(tài)誤差部分是由參與聯(lián)動各軸的穩(wěn)態(tài)誤差共同作用形成的輪廓誤差的穩(wěn)態(tài)部分，即穩(wěn)態(tài)輪廓誤差。在圓弧插補(bǔ)中用最大半徑偏差Δrmax表征，在小曲率任意曲線中用最大法向偏差δnmax表征。

3.1.2 瞬態(tài)誤差

單軸瞬態(tài)誤差是運(yùn)動軸在啟停、換向過程中，由于指令的突變或者間隙、非線性摩擦的突變激勵起系統(tǒng)振蕩調(diào)整過程，由此引起的指令與實際位移的偏差（見圖3）。

圖3 準(zhǔn)停過程中的振蕩與瞬態(tài)誤差Fig.3 Vibration and transient error duringpositioning process

從頻率角度來看，即當(dāng)輸入能量頻寬大于機(jī)械動態(tài)特性帶寬時，輸入能量中超出機(jī)械帶寬的有用的頻率分量無法實現(xiàn)，形成瞬態(tài)誤差：

式中，T（ω）和G（ω）分別為輸入能量特性與機(jī)械動態(tài)特性。

可以使用最大超調(diào)量Mp與調(diào)整時間ts等指標(biāo)衡量單軸動態(tài)誤差。

聯(lián)動瞬態(tài)誤差是由單軸瞬態(tài)誤差引起的，在轉(zhuǎn)角、圓弧過象限以及曲率突變處產(chǎn)生的呈現(xiàn)振蕩調(diào)整過程的指令與實際位移的偏差。以最大瞬態(tài)輪廓誤差δtmax進(jìn)行衡量。

3.1.3 勻速段速度波動誤差

勻速段速度波動誤差是在穩(wěn)速指令下由于伺服推力/力矩波動、控制離散誤差、摩擦與負(fù)載波動造成的實際速度與指令速度的偏差。用平均波動幅值ΔVavrg進(jìn)行衡量。速度波動的頻率、幅值將直接影響加工件的表面質(zhì)量。

3.2 數(shù)控機(jī)床運(yùn)動精度的測量

運(yùn)動精度的測量，即多維誤差序列Δdynamic（t）[式（2）]的獲取有兩類方法：直接測量與間接測量。

直接測量方法采用編碼器、光柵、激光干涉儀直接測量單軸的實際位移序列。優(yōu)點是可以一次性準(zhǔn)確地獲得單軸誤差序列。但在指令序列的采集及其與實際位移序列的時間同步上存在一定技術(shù)困難。

間接測量方法通過平面光柵、球桿儀、基準(zhǔn)棒或基準(zhǔn)球[7]測量刀具與工件的相對位移軌跡，然后再從中分離出運(yùn)動精度誤差。優(yōu)點是可以一次實驗確定多軸誤差，缺點是需要進(jìn)行誤差分離，且精度不如直接測量。分離方法包括：a.利用各類誤差外在特性的不同進(jìn)行分離的方法，如利用幾何誤差的空間波長重復(fù)性高、運(yùn)動誤差的時間頻率重復(fù)性高的特點分離幾何誤差與運(yùn)動誤差[8]；b.利用各類敏感因素的不同合理設(shè)計實驗進(jìn)行分離的方法，如利用運(yùn)動誤差與速度正相關(guān)的特點從總誤差中進(jìn)行分離的方法[1]。

此外，在一定的機(jī)械結(jié)構(gòu)與參數(shù)下，通過不同的控制增益調(diào)整控制精度時，穩(wěn)態(tài)誤差、瞬態(tài)誤差、勻速段速度波動誤差的改善往往互相矛盾。而且，不同類型的機(jī)床，不同的工件，同一機(jī)床同一工件的不同加工階段中對上述3項誤差的要求側(cè)重也是不一樣的。因此，在實際測量時，需要考慮實際加工要求，權(quán)衡3項誤差，設(shè)計運(yùn)動精度綜合指標(biāo)Pd[式（5）～式（8）]，同時需要設(shè)計能夠充分表現(xiàn)出3項誤差的測試指令（見圖4）。

式（7）中，Vactual與分別為實際速度與平均速度。

圖4 運(yùn)動精度綜合測試用路徑Fig.4 Trajectories for comprehensive dynamic precision test

4 數(shù)控機(jī)床運(yùn)動精度的影響因素

一方面，高速數(shù)控機(jī)床作為一般的伺服運(yùn)動控制系統(tǒng)，影響數(shù)控機(jī)床運(yùn)動精度的因素有數(shù)控及指令特性、伺服控制參數(shù)和機(jī)械動態(tài)特性；另一方面，高速數(shù)控機(jī)床不同于傳統(tǒng)機(jī)床，其運(yùn)動控制具有顯著的機(jī)電耦合特征，機(jī)電耦合行為也成為高速數(shù)控機(jī)床運(yùn)動精度的重要影響因素。

4.1 數(shù)控及指令特性

數(shù)控及指令特性對運(yùn)動精度的影響因素分兩類，一類是不依賴于運(yùn)動軸伺服、機(jī)械特性的影響因素（即當(dāng)控制對象具有理想比例特性時依然會產(chǎn)生誤差的因素），如控制頻率、誤差寄存器位數(shù)、測量精度、加減速時間常數(shù)等。文獻(xiàn)[9]定量給出了上述因素與運(yùn)動精度的關(guān)系。

另一類是通過改變對被控對象的激勵起作用的因素，如指令整形、軌跡規(guī)劃和不同的加減速策略。文獻(xiàn)[10]用優(yōu)化控制理論統(tǒng)一了各種軌跡優(yōu)化方法、指令整形方法、加減速方法，通過解析推導(dǎo)定量給出了各種方法所引起的定位運(yùn)動殘余振動幅值，及各種方法對被控對象參數(shù)（主導(dǎo)振動頻率）變化的魯棒性。需要指出的是，文獻(xiàn)[10]中的方法有利于減少瞬態(tài)誤差，但會增加穩(wěn)態(tài)滯后誤差，該穩(wěn)態(tài)滯后誤差可以通過采用伺服系統(tǒng)前饋控制部分消除。另外，通過巧妙設(shè)計的加減速策略[11]能夠完全消除加減速帶來的時間滯后誤差，但會增加瞬態(tài)誤差，此時可以通過伺服控制中采用指令濾波或陷波濾波部分抑制。

4.2 伺服控制參數(shù)

Poo A N等早在1972年就使用簡化模型（一階慣性或純積分），采用經(jīng)典控制論的基礎(chǔ)方法時域響應(yīng)分析方法求解了直線與圓弧輪廓誤差的解析表達(dá)，并基于解析解討論了誤差的來源以及參數(shù)的作用[12]。

目前，對多軸聯(lián)動運(yùn)動精度的建模，即對多軸特別是五軸聯(lián)動運(yùn)動精度與單軸運(yùn)動精度的關(guān)系模型的研究較少，且多停留在低階（2階）少軸數(shù)（3軸以下）階段。很難用于分析高速數(shù)控機(jī)床伺服控制參數(shù)與多軸聯(lián)動運(yùn)動精度的關(guān)系。Altintas在2009年給出了五軸機(jī)床的輪廓誤差模型，將輪廓誤差定義為刀尖點的法向偏移和刀具的姿態(tài)偏差兩部分，并用剛體動力學(xué)方法給出了誤差模型，其中的機(jī)械系統(tǒng)采用1階模型，伺服系統(tǒng)采用比例環(huán)節(jié)近似[13]。

隨著高速機(jī)床的發(fā)展以及廣泛應(yīng)用，對于高速數(shù)控機(jī)床所具有的高階機(jī)械模型，伺服反饋、前饋、濾波作用下的運(yùn)動精度與伺服控制參數(shù)的關(guān)系更加復(fù)雜，也更加緊密，需要從理論以及實驗兩方面入手，分析討論伺服控制參數(shù)對運(yùn)動精度的影響，實現(xiàn)伺服參數(shù)的優(yōu)化設(shè)置。

4.3 機(jī)械動態(tài)特性

在傳統(tǒng)機(jī)床研究中，機(jī)械系統(tǒng)往往被簡化為1階系統(tǒng)或2階系統(tǒng)，此時影響運(yùn)動精度的主要參數(shù)是慣性時延Tm或主導(dǎo)振動頻率ωm，根據(jù)文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[12]可以確定這些參數(shù)與運(yùn)動精度的關(guān)系。

但在高速數(shù)控機(jī)床中，由于驅(qū)動力、切削力和慣性力激勵頻寬的增大，機(jī)械系統(tǒng)的高階共振頻率將被激起，同時運(yùn)動軸間的耦合作用將變得顯著。圖5是筆者團(tuán)隊構(gòu)建的絲杠驅(qū)動單軸機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)模型及其頻率特性驗證。

圖5 高階運(yùn)動軸動力學(xué)模型與頻率特性Fig.5 Single axis’high order dynamic model and its frequency charcteristics

4.4 機(jī)電耦合行為

研究指出，高速數(shù)控機(jī)床是典型的復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)。其中高速數(shù)控機(jī)床的典型代表直線電機(jī)進(jìn)給系統(tǒng)，由于取消了中間所有機(jī)械傳動環(huán)節(jié)，伺服特性與機(jī)械特性相互作用更加緊密，現(xiàn)象更加明顯。筆者團(tuán)隊以永磁同步直線電機(jī)進(jìn)給系統(tǒng)為研究對象，分別利用麥克斯韋張量法和達(dá)朗貝爾原理對進(jìn)給系統(tǒng)伺服驅(qū)動力和機(jī)械執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行了頻域分析，發(fā)現(xiàn)如下機(jī)電耦合行為[14]。

1）機(jī)械系統(tǒng)具有多階共振頻率，且機(jī)械特性通過伺服剛度作用受伺服系統(tǒng)參數(shù)影響。

2）伺服驅(qū)動輸出力/力矩具有多諧波成分，且輸出特性隨機(jī)械負(fù)載的位移、速度變化[15]。

3）數(shù)控指令特性影響機(jī)械響應(yīng)，同時通過測量擾動，機(jī)械特性又影響數(shù)控指令特性。

機(jī)電耦合行為將極大地影響高速數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動精度，由于伺服參數(shù)的不同以及外界干擾的影響，伺服推力頻率特性將發(fā)生變化。某一條件下，當(dāng)伺服推力某一頻率和機(jī)械系統(tǒng)的某一階固有頻率相接近時，系統(tǒng)發(fā)生振蕩，運(yùn)動精度下降。以下給出初步分析結(jié)論。

4.4.1 穩(wěn)態(tài)誤差與控制增益上限

單軸進(jìn)給系統(tǒng)在勻速或平穩(wěn)變速運(yùn)動時的穩(wěn)態(tài)跟隨誤差[12]：

式中，V為運(yùn)行速度；Kp為位置環(huán)增益。

可見，增加Kp可以減小穩(wěn)態(tài)跟隨誤差，但在工程實踐中，當(dāng)Kp增大到某值后系統(tǒng)將會振蕩，甚至失穩(wěn)不能工作。文獻(xiàn)[14]指出伺服控制參數(shù)提高的一個限制因素就是由于前述耦合行為3，即測量擾動引起的系統(tǒng)穩(wěn)定域變化造成的。

4.4.2 能量頻寬與機(jī)械帶寬關(guān)系引起的瞬態(tài)誤差分析

機(jī)械系統(tǒng)響應(yīng)x（ω）與輸入能量特性T（ω）以及機(jī)械動態(tài)特性G（ω）的關(guān)系為：

其時域響應(yīng)為：

當(dāng)輸入能量頻寬大于機(jī)械動態(tài)特性帶寬時，輸入能量中有用的中頻分量無法實現(xiàn)，形成瞬態(tài)誤差：

圖6給出了不同加減速參數(shù)下形成的不同頻寬輸入與機(jī)械帶寬關(guān)系造成的最大瞬態(tài)誤差。

圖6 瞬態(tài)誤差與能量頻寬和機(jī)械帶寬的關(guān)系Fig.6 The relationship of the transient error，the energy frequency width and the mechanical bandwidth

4.4.3 高頻諧振引起的瞬態(tài)誤差

機(jī)械的高階共振往往是傳動絲杠扭振、工作臺柔性振動等，具有阻尼比小（＜0.1）、共振峰值高的特點，G(ω)的各階共振頻率有：ωG1,ωG2,…,ωGn；在加減速、轉(zhuǎn)角、換向等運(yùn)動突變處伺服驅(qū)動力譜頻寬變大，加之推力波動等其他效應(yīng)造成的高頻分量，T(ω)的各階峰值頻率有：ωT1,ωT2,…,ωTm。當(dāng)兩者頻率彼此接近時會產(chǎn)生共振，引起的共振峰值即瞬態(tài)誤差：

該頻率下的相角滯后：

若該滯后超過180°系統(tǒng)將失穩(wěn)，即在此頻率下形成持續(xù)、發(fā)散振蕩。

5 結(jié)語

本文通過研究近期相關(guān)文獻(xiàn)，結(jié)合筆者團(tuán)隊工作，對高速數(shù)控機(jī)床運(yùn)動精度進(jìn)行了系統(tǒng)概述。給出了一種新的數(shù)控機(jī)床精度分類、定義方法；提出了從穩(wěn)態(tài)誤差、瞬態(tài)誤差、勻速段速度波動誤差3個方面對運(yùn)動精度進(jìn)行評價的方法，并針對實際測試情況，提出了考慮機(jī)床特點和工藝要求的綜合指標(biāo)評價方法；分析表明：這一新的機(jī)床運(yùn)動精度描述評價方法能夠系統(tǒng)全面地評價數(shù)控機(jī)床關(guān)鍵性能的優(yōu)劣。

通過分析指出了機(jī)電耦合行為對高速數(shù)控機(jī)床運(yùn)動精度有著重要影響。利用運(yùn)動精度能夠反映數(shù)控機(jī)床在設(shè)計制造以及加工過程中的核心技術(shù)。尤其隨著數(shù)控機(jī)床速度、加速度的提高，機(jī)電耦合現(xiàn)象更加凸顯，利用傳統(tǒng)的定位精度和重復(fù)定位精度無法表征數(shù)控機(jī)床在運(yùn)動和加工過程中的精度，運(yùn)動精度的提出更加具有重要的意義。

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