基于粒子群算法和卡爾曼濾波器的PID控制

王江榮，李東旭

（1.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息處理與控制工程系，甘肅 蘭州 730060;2.電子科技大學(xué) 生命與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611731）

0 引言

PID控制系統(tǒng)因其簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好和可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用到工業(yè)過程控制中。PID控制器的性能取決于它的三個(gè)參數(shù)（比例、積分和微分）的整定是否合理，因此，優(yōu)化PID控制器參數(shù)具有重要意義。但是PID參數(shù)的整定一般需要經(jīng)驗(yàn)豐富的工程技術(shù)人員來完成，這種方法不僅費(fèi)時(shí)，而且不能保證獲得最佳性能。粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一種有效的全局尋優(yōu)算法，本文將使用PSO對(duì)PID控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。另外，在有噪聲干擾的控制系統(tǒng)中，噪聲往往是非平穩(wěn)隨機(jī)過程，因其時(shí)變性，致使功率譜不固定。卡爾曼濾波（R.E Kalman）是一種具有最小無偏差性，適用于非平穩(wěn)序列濾波的算法，它是能夠剔除隨機(jī)干擾誤差，獲取逼近真實(shí)情況的有用信息，且能自適應(yīng)地處理觀測(cè)值。基于此，本文建立了基于粒子群算法和卡爾曼濾波器的PID控制方法，有效地解決了PID控制系統(tǒng)中存在的參數(shù)的整定及控制干擾信號(hào)和測(cè)量噪聲信號(hào)問題。仿真結(jié)果表明該方法具有良好的控制效果，明顯地改善了系統(tǒng)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性。

1 基于粒子群算法的參數(shù)優(yōu)化

粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是Kennedy和Eberhart受鳥群覓食行為啟發(fā)于1995年提出的一種全局優(yōu)化算法［1－2］。PSO算法（一種仿生算法）具有搜索能力強(qiáng)、收斂速度快、設(shè)置參數(shù)少、程序易實(shí)現(xiàn)和無需梯度信息等特點(diǎn)。所有的粒子（搜索空間中的鳥）都有一個(gè)由被優(yōu)化函數(shù)決定的適應(yīng)值和一個(gè)決定它們運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)距離的速度，問題的解就是搜索空間中的一只鳥的位置。PSO算法的主要特點(diǎn)為:（1）每一粒子都被賦予了初始隨機(jī)速度并在解空間中流動(dòng);（2）個(gè)體具有記憶功能;（3）個(gè)體的進(jìn)化主要是它本身的飛行經(jīng)驗(yàn)以及同伴的飛行經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，通過迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代過程中，粒子通過追逐兩個(gè)極值來更新自己的位置。一個(gè)是粒子自身所找到的當(dāng)前最優(yōu)解，這個(gè)解稱為個(gè)體極值pbest;另一個(gè)是整個(gè)群體當(dāng)前找到的最優(yōu)解，這個(gè)解稱為全局極值pbest

PSO 算法如下［3］:

設(shè)在一個(gè)D維搜索空間中，由n個(gè)粒子組成的種群X=（X1，X2，…，Xn），其中第i個(gè)粒子表示為一個(gè)D維的向量Xi=（xi1，xi2，…，xiD）T，代表第i個(gè)粒子在 D維搜索空間中的位置，亦代表問題的一個(gè)潛在解。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)即可計(jì)算出每個(gè)粒子位置Xi對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值。第 i個(gè)粒子的速度為 Vi=（vi1，vi2，…，viD）T，i=1，2，…，n。記第i個(gè)粒子搜索到的最優(yōu)位置（即個(gè)體最優(yōu)值pbest）為Pi=（pi1，pi2，…，piD）T;整個(gè)粒子群搜索到的最優(yōu)位置（全局最優(yōu)值gbest）為Pg=（pg1，pg2，…，pgD）T。當(dāng)兩個(gè)最優(yōu)解都找到后，每個(gè)粒子根據(jù)下式來更新自己的狀態(tài)。

粒子狀態(tài)更新操作如下:

其中，vid（t+1）表示第 i個(gè)粒子在 t+1次迭代中第 d（d=1，2，…，D）維上的速度;w為慣性權(quán)重，η1，η2為加速常數(shù)（學(xué)習(xí)因子），rand（）為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。此外，為使粒子速度不致過大，可設(shè)置速度上下限，即 vid∈［－vmax，vmax］，vmax是之前設(shè)定的最大速率（邊界值），t為當(dāng)前迭代次數(shù)。Pt是粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置;Gt是整個(gè)粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置。

用于參數(shù)估計(jì)的PSO算法具體實(shí)現(xiàn)過程如下:

（1）初始化粒子群，隨機(jī)產(chǎn)生所有粒子群的位置和速度，并確定粒子的Pt和Gt。

（2）對(duì)每個(gè)粒子，將其適應(yīng)值與該粒子所經(jīng)歷過的最優(yōu)位置Pt的適應(yīng)值進(jìn)行比較，如較好，則將其作為當(dāng)前的。

（3）對(duì)每個(gè)粒子，將其適應(yīng)值與整個(gè)粒子群所經(jīng)歷過的最優(yōu)位置Gt的適應(yīng)值進(jìn)行比較，如較好，則將其作為當(dāng)前的Pt。

（4）按式（1）和（2）更新粒子的速度和位置。

（5）如果沒有滿足終止條件（通常為預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)和適應(yīng)值下限值），則返回步驟（2）;否則，退出算法，得到最優(yōu)解。

2 卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波是以最小均方誤差為準(zhǔn)則的最佳線性估計(jì)，它根據(jù)前一個(gè)估計(jì)值和最近一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，利用狀態(tài)方程和遞推方法進(jìn)行估計(jì)，而且得到的解也是以估計(jì)值的形式給出的，最大的特點(diǎn)是能夠去除測(cè)量系統(tǒng)中的隨機(jī)誤差，來獲取更接近真實(shí)值的信息，能較好的應(yīng)用于處理多變量系統(tǒng)，時(shí)變系統(tǒng)及非線性系統(tǒng)的最佳濾波等?？柭鼮V波器結(jié)構(gòu)［4］如圖1。

對(duì)于離散域線性系統(tǒng)［4］:

式中x（k）是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量;yv是m維帶有噪聲的測(cè)量向量;A是 n×n維非奇異狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移矩陣;矩陣B是n×l維可選的控制輸入u∈Rl的增益;C是m×n維觀測(cè)矩陣。系統(tǒng)的n維過程激勵(lì)噪聲w（k）和m維測(cè)量噪聲v（k）是不相關(guān)的零均值高斯白噪聲。

離散卡爾曼濾波器遞推算法為:

圖1 卡爾曼濾波結(jié)構(gòu)圖

誤差的協(xié)方差為:errcov（v（k））=CP（k）CT

3 基于粒子群算法和卡爾曼濾波器的PID控制

基于粒子群算法和卡爾曼濾波的PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 與粒子群優(yōu)化算法和卡爾曼濾波相結(jié)合的PID系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

控制系統(tǒng)通過卡爾曼濾波器對(duì)混有控制干擾信號(hào)和測(cè)量噪聲信號(hào)進(jìn)行濾波，反饋到系統(tǒng)輸入端，利用粒子群算法對(duì)PID控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

圖2中粒子群算法與PID控制系統(tǒng)之間連接的橋梁是粒子（即PID控制器參數(shù)）和該粒子對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值（即控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)）。優(yōu)化過程如下:PSO產(chǎn)生粒子群（可以是初始化粒子群，也可以是更新后的粒子群），將該粒子群中的粒子依次賦值給PID控制器的參數(shù)Kp，Ki，Kd，然后運(yùn)行控制系統(tǒng)模型，得到該組參數(shù)對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)，該性能指標(biāo)傳遞到PSO中作為該粒子的適應(yīng)值，最后判斷是否可以退出算法。

4 仿真實(shí)例

設(shè)被控對(duì)象為系統(tǒng)［5］:

設(shè)采樣時(shí)間為0.001 s，將傳遞函數(shù)進(jìn)行離散化得到:

4.1 參數(shù)設(shè)定及仿真

假設(shè)系統(tǒng)的初值［6］x（0）=，u（0）=0，D=［0］，P（0）=BQBT，取 Q=1，R=1。輸入信號(hào)為一階躍信號(hào)，控制干擾信號(hào)w（k）和測(cè)量噪聲信號(hào)V（k）幅值均為0.002的白噪聲信號(hào)，采用卡爾曼濾波器實(shí)現(xiàn)信號(hào)濾波。粒子群算法中的參數(shù)為:慣性因子w=0.6，加速常數(shù)c1=c2=2，維數(shù)為3（有3 個(gè)待優(yōu)化參數(shù) kp，ki，kd），粒子群規(guī)模為30，待優(yōu)化函數(shù)為:

圖3 常規(guī)PID控制階躍響應(yīng)

最大迭代次數(shù)為100，最小適應(yīng)值為0.1，速 度 范 圍 為［－1，1］，3 個(gè)待優(yōu)化參數(shù) kp，ki，kd范圍均為［0，10］。

（1）取kp=6.0，ki=0.8，kd=0.2（經(jīng)驗(yàn)值），則常規(guī)的PID控制下系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖4 基于卡爾曼濾波的PID階躍響應(yīng)

圖5 仿真結(jié)果比較圖

圖中 r，y為無因次量，其中y為實(shí)際值，r為階躍值，且r=1。橫軸為時(shí)間軸，單位為 s;縱軸為數(shù)值軸，以下（圖4及圖6）相同。

（2）基于 R.E Kalman－PID控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果如下圖4。

（3）經(jīng)粒子群算法優(yōu)化后得到的參數(shù)為kp=9.307 1;ki=9.680 8;kd=0.477 0。基于 R.E Kalman-PSO-PID 的系統(tǒng)仿真結(jié)果與基于R.E Kalman-PID的系統(tǒng)仿真結(jié)果比較如圖5所示。

4.2 仿真結(jié)果分析

比較圖3與圖4，可以看出，采用卡爾曼濾波的PID控制，可以得到穩(wěn)定的系統(tǒng)輸出，能夠顯著地減小噪聲的影響。圖5表明經(jīng)粒子群優(yōu)化算法和卡爾曼濾波算法的PID控制除了能夠效抑制噪聲對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成的不利影響外，還能夠能夠有效減少系統(tǒng)的峰值時(shí)間，減小震蕩次數(shù)和超調(diào)量，使系統(tǒng)快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，提高的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和靜態(tài)性能，增強(qiáng)的系統(tǒng)的魯棒性。另外，在利用粒子群算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，如果將搜索范圍擴(kuò)大到［0，300］，我們得到另一組優(yōu)化參數(shù):kp=166.258 4，ki=294.035 1，kd=1.242 8，可以進(jìn)一步提高控制器的控制品質(zhì)，使上升時(shí)間更短，且使系統(tǒng)進(jìn)入的穩(wěn)態(tài)時(shí)間縮短了約50%，快速達(dá)到目標(biāo)值，仿真結(jié)果如圖6。

圖6 參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)仿真曲線

5 結(jié)束語

本文提出基于粒子群算法和卡爾曼濾波器的PID控制方法，有效地解決了PID控制系統(tǒng)中參數(shù)的整定以及控制干擾信號(hào)和測(cè)量噪聲信號(hào)問題，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力和控制品質(zhì)。仿真結(jié)果表明這種控制方法能使系統(tǒng)各項(xiàng)指標(biāo)有了明顯的提高，尤其是超調(diào)量有了明顯的減少，縮短上升時(shí)間。該方法有一定的實(shí)用價(jià)值。

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