多服務(wù)窗等待制M/M/n排隊(duì)模型

付馨雨，羅國(guó)旺

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047)

在日常生活中，經(jīng)?？梢钥吹皆S多排隊(duì)模型同時(shí)具有可變輸入率與可變服務(wù)率的特性，如銀行儲(chǔ)蓄排隊(duì)、大型超市付款臺(tái)排隊(duì)等均屬此類排隊(duì)模型。即當(dāng)服務(wù)窗口前排隊(duì)顧客較多時(shí)，顧客會(huì)猶豫是否加入系統(tǒng)排隊(duì)等待;而服務(wù)人員為了避免損失顧客，就會(huì)適當(dāng)?shù)靥岣叻?wù)速度。關(guān)于具有不耐煩顧客的排隊(duì)模型已有很多學(xué)者進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［1－5］研究了具有不耐煩顧客的M/M/1及M/M/n排隊(duì)模型。然而，有關(guān)將可變輸入率和可變服務(wù)率與具有不耐煩顧客相結(jié)合的M/M/n排隊(duì)模型還未得到學(xué)者關(guān)注。本文研究了輸入率可變且具有兩類服務(wù)率及不耐煩顧客的M/M/n排隊(duì)模型。

1 模型假設(shè)

為了方便對(duì)多服務(wù)窗等待制M/M/n排隊(duì)模型的研究，做如下假設(shè):

1)系統(tǒng)中有n個(gè)服務(wù)窗口，容量無(wú)限。

2)顧客到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。

3)假定顧客到達(dá)系統(tǒng)后加入隊(duì)列的概率為αk(0＜αk＜1)，即 αk依賴于隊(duì)長(zhǎng) k。當(dāng) k→∞時(shí)，αk→0，此時(shí)的輸入率 λk=αkλ。在此僅討論

4)多個(gè)服務(wù)臺(tái)間相互獨(dú)立，當(dāng)系統(tǒng)中排隊(duì)長(zhǎng)度超過n時(shí)，服務(wù)窗用快速服務(wù)率μ2，反之則用慢速服務(wù)率μ1。

5)服務(wù)時(shí)間與顧客到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立，且系統(tǒng)中的顧客排成一個(gè)隊(duì)。

6)記βk為具有不耐煩顧客離開的概率，k表示等待隊(duì)長(zhǎng)(此時(shí)系統(tǒng)中已有n+k個(gè)顧客)。隊(duì)伍中不耐煩顧客離開隊(duì)伍的強(qiáng)度δ≥0。

2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)上面的假設(shè)不難得到以下定理:

定理1 令X(t)表示時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)(隊(duì)長(zhǎng))，則{X(t)，t≥0}是以狀態(tài)空間為 E={0，1，2，3，…}且

的生滅過程。

證明 略，可參見文獻(xiàn)［3－4］。

畫出系統(tǒng)狀態(tài)流圖，見圖1。

圖1 多服務(wù)窗等待制M/M/n模型的狀態(tài)流圖

3 平穩(wěn)分布

由以上的數(shù)學(xué)模型得到模型的平穩(wěn)分布，即定理2。

證明 由圖1可列出平衡條件下的k氏代數(shù)方程，并求出其平穩(wěn)分布，解析表達(dá)式為:

4 主要指標(biāo)

根據(jù)平穩(wěn)分布，得到如下主要數(shù)學(xué)指標(biāo)。

1)顧客排隊(duì)等待的概率。由式(2)可得顧客排隊(duì)等待的概率為

2)平均等待隊(duì)長(zhǎng)(系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等待顧客數(shù)的均值)。首先等待隊(duì)長(zhǎng)lq有如下分布列:

3)平均繁忙中的服務(wù)窗個(gè)數(shù)。注意到繁忙中的服務(wù)窗個(gè)數(shù)Y有如下分布列:

4)系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)(系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)的均值)為

5)單位時(shí)間內(nèi)平均離開隊(duì)列的不耐煩顧客數(shù)為

6)絕對(duì)通過能力(單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)完的顧客均值)為

7)相對(duì)通過能力為

8)由little公式得顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間和平均等待時(shí)間:

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了可變輸入率且具有兩類服務(wù)率及不耐煩顧客的M/M/n排隊(duì)模型，充分考慮了輸入率、服務(wù)率以及不耐煩顧客與系統(tǒng)中隊(duì)長(zhǎng)的關(guān)系，并獲得了該模型的平穩(wěn)分布和主要指標(biāo)。該模型可以幫助解決銀行、超市、商場(chǎng)等服務(wù)行業(yè)中的不同輸入率、不同服務(wù)率以及不耐煩顧客問題，從而將文獻(xiàn)［2］推廣到更為一般的情形，使其更具有普遍性，為實(shí)際運(yùn)用提供了一定的理論基礎(chǔ)。

［1］陸傳賚.排隊(duì)輪［M］.北京:北京郵電大學(xué)出版社，2009.

［2］李煥.具有可變輸入率和不耐煩顧客M/M/n的排隊(duì)模型［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011(3):49 －52..

［3］孫榮恒，李建平.排隊(duì)論基礎(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社，2002.

［4］孫榮恒.隨機(jī)過程及其應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004.

［5］臺(tái)文志，高世澤.一類具有可變輸入率的M/M/1排隊(duì)模型［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，26(1):69－72.

［6］劉次華.隨機(jī)過程及其應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［7］唐應(yīng)輝，唐小我.排隊(duì)論基礎(chǔ)與分析技術(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.