壓電柔性臂動(dòng)力學(xué)模型修正研究

曹青松，王輝，洪蕓蕓，何悅海

(華東交通大學(xué)載運(yùn)工具與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西南昌330013)

工程實(shí)際中，幾乎所有機(jī)器設(shè)備都處于振動(dòng)環(huán)境中工作，如何改善、控制以及利用這些振動(dòng)對(duì)國(guó)防建設(shè)、航空航天技術(shù)的研究以及工業(yè)技術(shù)的發(fā)展都具有重大意義［1］。要改善、控制和利用機(jī)械設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中的振動(dòng)，首先需要建立準(zhǔn)確描述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)模型。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型描述上存在理論建模與實(shí)驗(yàn)建模兩種［2］，兩種方式均存在一定誤差，控制效果的好壞、系統(tǒng)的穩(wěn)定與否在很大程度上都取決于系統(tǒng)的模型是否建得精確，從某種意義上說(shuō)柔性多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模是系統(tǒng)研究的核心問(wèn)題，因此，對(duì)系統(tǒng)模型的修正具有重要意義。

傳統(tǒng)的柔性臂建模，為了降低建模難度，在建模過(guò)程中簡(jiǎn)化了方程的推導(dǎo)過(guò)程和最終的推導(dǎo)結(jié)果，忽略了柔性臂的結(jié)構(gòu)變化、關(guān)節(jié)摩擦、結(jié)構(gòu)阻尼和導(dǎo)線因素的影響，因此模型與實(shí)際系統(tǒng)存在一定程度上的差異。目前，模型修正的主要方法有［3－6］:最優(yōu)矩陣法、設(shè)計(jì)參數(shù)型法、頻響函數(shù)法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。袁永新等［7］提出一種基于不完全模態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)同時(shí)修正有限元質(zhì)量矩陣與剛度矩陣的有效數(shù)值方法，該方法運(yùn)用代數(shù)特征值反問(wèn)題的理論與方法，得到了滿足正交關(guān)系及特征方程的最逼近有限元質(zhì)量矩陣及剛度矩陣的唯一的修正質(zhì)量矩陣與剛度矩陣 (最優(yōu)修正矩陣)，表達(dá)式簡(jiǎn)潔，修正過(guò)程簡(jiǎn)單而且容易實(shí)現(xiàn)。盧菊洪等［8］用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得系統(tǒng)的相關(guān)模態(tài)參數(shù)，建立了基準(zhǔn) (未損)模型，借助模型剛性靈敏度實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)損傷位置及程度的識(shí)別。李明偉等［9］提出了基于頻響函數(shù)的模型修正方法，該方法以設(shè)計(jì)參數(shù)為修正對(duì)象，避免了模態(tài)分析過(guò)程，而且不需要將有限元模型的頻響函數(shù)與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頻響函數(shù)進(jìn)行匹配，僅需要少量實(shí)測(cè)的頻響函數(shù)數(shù)據(jù)即可完成模型修正過(guò)程。何浩祥等［10］利用遺傳算法對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使運(yùn)算速度得到了大幅度的提升，提出了一種基于子結(jié)構(gòu)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的遞推模型修正方法，使之更為實(shí)用便捷。

作者以?xún)蛇B桿多壓電片作動(dòng)傳感的柔性臂結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，由于在初始建立的模型中，為了降低難度簡(jiǎn)化了方程的推導(dǎo)過(guò)程和最終的推導(dǎo)結(jié)果，忽略了柔性臂的結(jié)構(gòu)變化、關(guān)節(jié)摩擦、附加質(zhì)量、結(jié)構(gòu)阻尼和導(dǎo)線等因素的影響，造成模型與實(shí)際系統(tǒng)存在一定程度上的差異，針對(duì)這種情況，對(duì)系統(tǒng)初始模型，在剛度與阻尼方面進(jìn)行有效修正。

1 壓電柔性臂動(dòng)力學(xué)模型特性

根據(jù)外力不做功，將柔性臂當(dāng)Euler梁處理，求得單個(gè)柔性臂動(dòng)能:

勢(shì)能:

拉格朗日方程:

其中:L=T－V。

M、m、I1、P11分別為柔性臂質(zhì)量、柔性臂末端集中質(zhì)量、臂截面慣性矩、臂1的一階模態(tài)。將式(1)、式 (2)代入式 (3)得到單臂自由振蕩模型與角頻率ω表達(dá)式分別如式 (4)、(5)所示:

為了檢測(cè)柔性臂的振動(dòng)，將柔性臂根部固定于臺(tái)鉗上，在末端施加一個(gè)垂直沖擊。這樣只會(huì)激起臂的基本振型，不會(huì)激發(fā)其他任意振型。圖1、圖2為所得到的柔性臂的振動(dòng)曲線。

圖1 柔性臂1彈性振動(dòng)

圖2 柔性臂2彈性振動(dòng)

柔性臂系統(tǒng)參數(shù)如下:柔性臂1長(zhǎng)l1=0.35 m，寬b1=0.04 m，高h(yuǎn)1=0.001 m，臂分布質(zhì)量M1=0.11 kg，末端集中質(zhì)量m1=0.19 kg，彈性模量E1=E2=200 GPa，慣性矩I1=3.33×10－12m4。柔性臂2的l2=0.32 m，寬b2=0.040 m，高h(yuǎn)2=0.001 m，臂分布質(zhì)量M2=0.075 kg，慣性矩I2=2.5×10－12m4。

將柔性臂數(shù)值參數(shù)代入式 (5)，得到臂1、臂2的振動(dòng)頻率，并與結(jié)構(gòu)實(shí)際的檢測(cè)振動(dòng)頻率 (圖1、圖2)一同列于表1中。

表1 柔性臂振動(dòng)頻率

自由衰減法是一種有效的常用的檢測(cè)結(jié)構(gòu)阻尼的方法，操作方法為:將柔性臂的根部固定，在末端施加垂直沖擊，振動(dòng)衰減率則表示為:

當(dāng)阻尼為黏滯阻尼，或近似等效為黏滯阻尼時(shí)，則ε為一常數(shù)，與振幅無(wú)關(guān)。

表2 柔性臂衰減率

由表中頻率數(shù)值可以看出角頻率實(shí)際值與理論值存在著差異。導(dǎo)致這種差異的原因主要有兩個(gè)方面，一方面是模型中柔性臂的長(zhǎng)度與實(shí)際實(shí)驗(yàn)時(shí)柔性臂的長(zhǎng)度有差異，在實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中臺(tái)鉗夾頭的影響使柔性臂的長(zhǎng)度小于理論長(zhǎng)度，另一方面在實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中由于粘貼了壓電陶瓷、導(dǎo)線等使柔性臂的物理特性參數(shù)E、J發(fā)生了改變，而在模型建立中忽略了這一方面的影響。同時(shí)臂振動(dòng)也是不斷衰減的，建模過(guò)程中忽略了系統(tǒng)的阻尼，是以等副變化來(lái)處理。

2 壓電柔性臂模型及修正

為補(bǔ)償頻率上的差異，需對(duì)振蕩模型進(jìn)行調(diào)整，即在模型中增加剛度項(xiàng):

于是得到剛度調(diào)整系數(shù)Δk的表達(dá)式為:

兩聯(lián)桿柔性臂多壓電作動(dòng)器數(shù)學(xué)模型如下式:

令Bτ+βUa=Q，由于慣性矩陣M為正定對(duì)稱(chēng)的，在這里定義G=M－1，在式 (10)中左右兩邊同時(shí)乘上G，則可見(jiàn)式 (10)寫(xiě)成:

根據(jù)廣義坐標(biāo)和廣義力的定義，有:

將剛度矩陣用分塊形式表示:

Kζ為4×4階對(duì)角矩陣，定義Z=GH，O為零陣，P(t)=［p11(t) p12(t)p21(t) p22(t)］T，θ(t)=［θ1(t) θ2(t)］T，于是由式 (12)得:

作如下分塊化處理:

式中:Z11、G11為n×n維矩陣，Z12、G12為n×r維矩陣;Z21、G21為 r×n維矩陣;Z22、G22為 r×r維矩陣。

將補(bǔ)償頻率和增加阻尼的方法擴(kuò)展到兩連臂中去，綜合式 (11)— (15)于是有:

為了研究簡(jiǎn)便，只研究其在某一固定構(gòu)型時(shí)的彈性振動(dòng)。通過(guò)上述公式的推導(dǎo)可知項(xiàng)與振動(dòng)頻率無(wú)關(guān)聯(lián)，因此分析系統(tǒng)頻率是可以忽略含的項(xiàng)。

由式 (16)得到的系統(tǒng)自由振動(dòng)模型:

此式中G22Kζ不是對(duì)角矩陣，所以?xún)扇嵝员坶g的振動(dòng)是耦合的。而又有 G22為對(duì)稱(chēng)正定，因此式(17)可以改寫(xiě)成:

由式 (18)有分量形式:

于是按照單臂修正分析過(guò)程對(duì)頻率進(jìn)行修正。在式 (19)中增加一剛度項(xiàng)

得到雙臂振動(dòng)剛度調(diào)整系數(shù):

式中:ωij為第i根柔性臂第j階振動(dòng)角頻率實(shí)測(cè)值。

測(cè)量電機(jī)在不同的轉(zhuǎn)速下的柔性臂的振動(dòng)角頻率，將結(jié)果記錄在表3中。

表3 (細(xì)分?jǐn)?shù))轉(zhuǎn)速與ω間的關(guān)系

Z22中的為相對(duì)小量，此時(shí)又有˙θ=0，則可以認(rèn)為Z22=0，于是由式 (18)并考慮到剛度調(diào)整有:

對(duì)上式增加阻尼補(bǔ)償項(xiàng):

3 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型以及進(jìn)行剛度調(diào)整與阻尼修正后系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性，采用MATLAB軟件對(duì)以上所建立的原始模型與修正模型進(jìn)行仿真分析。在仿真過(guò)程中，將柔性臂系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)代入，且大、小電機(jī)分別輸出τ1=1.07n1sin(2πk1t)N*m(n1，k1為常數(shù))，τ2=0.065n2sin(2πk2t)N*m(n2，k2為常數(shù))。仿真過(guò)程中只考慮1階模態(tài)修正，將衰減率與轉(zhuǎn)角實(shí)測(cè)值代入各自修正公式，將所得的Dc˙q、Kq代入式 (25)。

圖3 臂1轉(zhuǎn)角曲線

圖4 臂2轉(zhuǎn)角曲線

圖5 臂1角速度曲線圖

圖6 臂2角速度曲線圖

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所建立的動(dòng)力學(xué)模型，將系統(tǒng)在脈沖力矩激勵(lì)情況下的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較研究。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，采集臂1振動(dòng)信號(hào)時(shí)，臂2不轉(zhuǎn)將其視為臂1末端集中質(zhì)量，對(duì)臂1加垂直沖擊;在檢測(cè)臂2振動(dòng)信號(hào)時(shí)，臂1照常轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)臂2施加垂直沖擊。在模型仿真過(guò)程中，設(shè)置系統(tǒng)初始狀態(tài)與實(shí)驗(yàn)過(guò)程狀態(tài)保持一致。實(shí)驗(yàn)與仿真的對(duì)比圖如圖7—10所示。

圖7 修正前臂1振動(dòng)比較

圖8 修正后臂1振動(dòng)比較

圖9 修正前臂2振動(dòng)比較

圖10 修正后臂2振動(dòng)比較

由上述仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出:

(1)由圖3、圖4可知，模型修正前、后臂1、臂2轉(zhuǎn)角曲線在線性度方面后者明顯優(yōu)于前者。線性度變化趨勢(shì)在模型修正前與后兩者之間變化明顯，且修正后的曲線線性度更好，更接近現(xiàn)實(shí)模型的特性。

(2)臂2角速度曲線顯示出較臂1更加明顯的鋸齒狀波形，說(shuō)明在臂2上產(chǎn)生的彈性抖動(dòng)強(qiáng)烈，修正前、后的曲線如圖5、6(頻率為原始頻率的0.5倍)所示:修正后曲線幅值波動(dòng)更加平穩(wěn)，因此剛度調(diào)整和阻尼補(bǔ)償對(duì)模型的修正是有效的。

(3)圖7與圖8所示，臂1修正前后實(shí)驗(yàn)與仿真所得到的振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)比修正前后結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)，模型修正前臂1的沖擊響應(yīng)，修正前仿真結(jié)果的幅值略有偏小，衰減率與實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化一致，但衰減周期較實(shí)驗(yàn)結(jié)果大;修正后臂1仿真的響應(yīng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)論是在幅值、衰減周期以及衰減率都高度吻合。臂2修正后的結(jié)果同樣是幅值、衰減周期以及衰減率與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較的吻合度高于修正前的。

4 結(jié)論

采用假設(shè)模態(tài)法描述壓電柔性臂的彈性變形，再利用拉格朗日方程推導(dǎo)出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。通過(guò)剛度調(diào)整與阻尼補(bǔ)償?shù)姆椒▽?duì)建模過(guò)程中采取的簡(jiǎn)化處理造成的模型誤差進(jìn)行修正。仿真結(jié)果表明，修正后的轉(zhuǎn)角曲線線性度更好，角速度曲線幅值波動(dòng)更加平穩(wěn)，由此說(shuō)明剛度調(diào)整和阻尼補(bǔ)償對(duì)模型的修正是有效的。

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