滲透數(shù)學(xué)思想 經(jīng)歷“操作—明晰”過程＊——“代數(shù)式的值”教學(xué)設(shè)計與反思

江蘇省徐州高級中學(xué) 李 賀 （郵編：221003）

本節(jié)課是蘇科版教材七年級上冊第三章第三節(jié)課.學(xué)生在學(xué)習(xí)“代數(shù)式的值”這節(jié)課之前，已經(jīng)感受到字母表示數(shù)的價值，并且能用代數(shù)式表示許多實際問題中的數(shù)量關(guān)系.《標(biāo)準(zhǔn)》對本節(jié)課的要求為“會求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進(jìn)行計算.”實施建議要求“在教學(xué)中，應(yīng)注重讓學(xué)生在實際背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，注重使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型、估計、求解、驗證解的正確性與合理性的過程，應(yīng)加強方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的聯(lián)系.”教材在這一節(jié)中遵循了“有關(guān)知識在學(xué)生通過‘操作’有了感受以后再明晰”的設(shè)計思路，讓學(xué)生從自主探索“搭‘小魚’”的活動中獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗后，再明晰“求代數(shù)式的值”的意義.本節(jié)課的設(shè)計是通過具體動態(tài)實例，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)量的變化過程，以及變化過程中變量之間的對應(yīng)關(guān)系，嘗試根據(jù)變量的對應(yīng)關(guān)系作出預(yù)測，初步獲得函數(shù)的感性認(rèn)識，進(jìn)而將求代數(shù)式的值的意義理解為一個轉(zhuǎn)換過程或算法.“代數(shù)式的值”的學(xué)習(xí)為后面學(xué)習(xí)整式的運算和求值打下基礎(chǔ)，也為后繼的方程、不等式、函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

1 課前預(yù)設(shè)：板塊式結(jié)構(gòu)

課前預(yù)設(shè)主要包括目標(biāo)預(yù)設(shè)與過程預(yù)設(shè).基于課標(biāo)要求和學(xué)情分析，將本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)確立為：（1）了解代數(shù)式的值的意義，能用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，會計算代數(shù)式的值.（2）通過操作活動感受從具體到抽象，由特殊到一般的歸納思想.（3）在數(shù)學(xué)活動中感受數(shù)量變化過程中變量之間的對應(yīng)關(guān)系，感受數(shù)量變化及聯(lián)系.本節(jié)課的重點是通過探究符合題意的代數(shù)式的過程，理解“求代數(shù)式的值”的意義，能用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，求出代數(shù)式的值.難點是根據(jù)問題情境列出代數(shù)式，感受變化的數(shù)量及其關(guān)系.基于預(yù)設(shè)目標(biāo)，設(shè)計具有板塊式結(jié)構(gòu)的彈性教學(xué)過程.

1.1 關(guān)于情境創(chuàng)設(shè)板塊：預(yù)設(shè)兩個情境

【數(shù)學(xué)實驗】 依次呈現(xiàn)用火柴棒搭“小魚”的圖集，學(xué)生通過觀察，感受其中變化.

觀察思考：搭3條“小魚”需用多少根火柴棒？追問：搭20條“小魚”用多少根火柴棒？搭100條“小魚”呢？

【游戲情境】 第一個同學(xué)任意報一個數(shù)給第二個同學(xué)，第二個同學(xué)把這個數(shù)加1傳給第三個同學(xué)，第三個同學(xué)再把聽到的數(shù)平方后傳給第四個同學(xué)，第四個同學(xué)把聽到的數(shù)減去1報出答案.

【設(shè)計意圖】 本套教材在“代數(shù)式”、“一元一次方程”、“一元一次不等式”、“一次函數(shù)”這四章中，都采用了“搭小魚”的同一個材料，便于學(xué)生在對相同材料不斷深入的研究中，感悟知識之間實質(zhì)性的聯(lián)系，感悟模型思想.“小魚”條數(shù)的突然增大，使得部分學(xué)生已經(jīng)不能用“搭”的方式“數(shù)”出火柴棒的根數(shù)，這樣，問題的解決就從“操作”層面上升到了“思維”層面.通過依次呈現(xiàn)“搭小魚”的圖片，教師提出問題，既給了學(xué)生觀察的空間，又給了學(xué)生思考的空間，讓學(xué)生從“形”上逐步體會數(shù)量的變化規(guī)律.設(shè)計方案二通過傳數(shù)游戲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)的主動性，增加學(xué)生代值計算的意識.

1.2 關(guān)于探索活動板塊：預(yù)設(shè)兩個方案

方案一：基于數(shù)學(xué)實驗

（1）做一做：按上述方式搭“小魚”，并在下表中記錄所用火柴棒的根數(shù).

_“小魚”條數(shù)____1____2____3____________4_5…___火柴棒根數(shù)____8___14_____________________20…__

（2）從記錄的數(shù)據(jù)看，所用火柴棒的根數(shù)與所搭“小魚”的個數(shù)之間有何關(guān)系？追加表格：

_“小魚”條數(shù)____1____2____3 4 …n___火柴棒根數(shù)____8___14_______________20…________

（3）搭20條“小魚”用多少根火柴棒？搭100條“小魚”呢？

（4）代數(shù)式的值的定義.

設(shè)計方案二：基于游戲情境

（1）若第一個同學(xué)報給第二個同學(xué)的數(shù)是5，而第四個同學(xué)報出的答案35.你說結(jié)果對嗎？

（2）你是怎樣檢驗的？引導(dǎo)學(xué)生列出右圖的代數(shù)式，

（3）結(jié)合（1）（2），給出代數(shù)式的值的定義.

【設(shè)計意圖】 設(shè)計方案一填表的過程，既是操作的過程，又是感受數(shù)量變化的過程，最后升華出變化中的不變關(guān)系8＋6（n－1）.通過“搭小魚”數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程，更重要的是讓學(xué)生感受到解決實際問題時常常需要“求代數(shù)式的值”.當(dāng)然，不同的探索方法還會產(chǎn)生不同的代數(shù)式，如6n＋2.鼓勵學(xué)生多說，多交流，感受歸納的樂趣.待歸納出規(guī)律后，再提出“搭20條‘小魚’用多少根火柴棒？搭100條‘小魚’呢？搭500條‘小魚’呢？”，旨在讓學(xué)生去感受具體數(shù)字與n之間的對應(yīng)關(guān)系.設(shè)計方案二通過問題（1），引發(fā)學(xué)生主動去探尋規(guī)律，體驗代入的樂趣.兩個設(shè)計方案都是遵循“有關(guān)知識在學(xué)生通過‘操作’有了感受以后再明晰”的設(shè)計思路，先從特殊的數(shù)到一般的代數(shù)式，再從一般的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)，最后教師給出代數(shù)式的值的意義來獲得知識.

1.3 關(guān)于例題教學(xué)板塊：預(yù)設(shè)兩個例題

例1 當(dāng)a＝－2，b＝－3時，求代數(shù)式2a2－3ab＋b2的值.

變式：當(dāng)a＝，b＝－3時，求代數(shù)式2a2－3ab＋b2的值.

例2 若x2＋x＝1，則3x2＋3x－5的值為__________.

【設(shè)計意圖】 例題教學(xué)要達(dá)到下列目標(biāo)：明確格式；理解每一步的算理.例1中要給出求代數(shù)式值的書寫格式，解答不能籠統(tǒng)地說成代數(shù)式2a2－3ab＋b2的值是－1，正確的說法是當(dāng)a＝－2、b＝－3時，代數(shù)式2a2－3ab＋b2的值是－1.結(jié)合例1及其變式練習(xí)，強調(diào)書寫過程中需要注意的地方：（1）代數(shù)式中的乘法運算，當(dāng)其中的字母用數(shù)字替代時，要恢復(fù)“×”號；（2）代數(shù)式中的字母用負(fù)數(shù)來替代時，負(fù)數(shù)要添上括號；（3）代數(shù)式有乘方運算，當(dāng)?shù)讛?shù)中的字母用分?jǐn)?shù)來替代時，要添上括號.例2是為了滲透“整體代換”的思想方法，感悟“整體代換”的思想方法不同于技能的形成，需要學(xué)生在較長的認(rèn)識過程中，逐步理解和掌握，在“3.4合并同類項”這一節(jié)中，學(xué)生還會有進(jìn)一步的認(rèn)識、理解.

1.4 關(guān)于“議一議”活動板塊：預(yù)設(shè)兩個填表

（1）填表

x －3_－2_－1__0___1___2___3____2x－1________－3 x__________________________________________

（2）根據(jù)所填表格，小組合作討論下列問題：

①當(dāng)x為何值時，代數(shù)式2x－1的值等于－1？

②隨著x的值增大，代數(shù)式2x－1、－3x的值怎樣變化？

【設(shè)計意圖】 “議一議”的設(shè)置旨在關(guān)注學(xué)生能否正確求代數(shù)式值的同時，引導(dǎo)學(xué)生感受：代數(shù)式的值隨代數(shù)式里字母的取值的變化而變化；代數(shù)式中的字母所取的值確定，代數(shù)式的值也相應(yīng)確定；不同的代數(shù)式表示的規(guī)律不同，代數(shù)式的值變化趨勢也不同.問題①與“已知代數(shù)式中字母的取值，求代數(shù)式的值”互為逆問題，設(shè)計這個問題，目的是讓學(xué)生感受數(shù)量變化過程中變量之間的對應(yīng)關(guān)系，多角度的感受數(shù)學(xué)模型的價值，為一元一次方程的教學(xué)做鋪墊.問題②是嘗試根據(jù)變量的對應(yīng)關(guān)系作出預(yù)測，讓學(xué)生不斷獲得函數(shù)的感性認(rèn)識.

1.5 關(guān)于課堂練習(xí)板塊：預(yù)設(shè)3道習(xí)題

（1）當(dāng)x＝2時，求下列代數(shù)式的值：

①4x2－4x＋4； ②5x3－2x2＋x－3.

（2）根據(jù)所給a、b的值，求代數(shù)式a2b－ab2－6的值：

①a＝3、b＝－1； ②a＝－、b＝8.

（3）填表并回答問題：

_____x －3－1____0_____11.5______9___2 2______3_x______________________________________________－2x＋__1_________________________________________

①當(dāng)x為何值時，代數(shù)式－2x＋1的值等于0？

②隨著x的值增大，代數(shù)式3x、－2x＋1的值怎樣變化？

【設(shè)計意圖】 練習(xí)的選取來自課本上的習(xí)題，該習(xí)題的設(shè)置有梯度、有廣度，考查了本節(jié)課所有知識點的應(yīng)用.本節(jié)課容量較大，未考慮增加練習(xí)，只要學(xué)生對求代數(shù)式的值的意義理解到位了，做到精講精練就好.學(xué)生練習(xí)結(jié)束后，教師可以根據(jù)巡視中學(xué)生出現(xiàn)的錯誤對練習(xí)進(jìn)行總結(jié).

2 課中生成：對話式思考

這里僅就情境創(chuàng)設(shè)、探索活動和議一議三個活動的教學(xué)片段展示課中生成.

2.1 情境創(chuàng)設(shè)

教師：同學(xué)們，我們可以按照以下的方式用火柴棒搭出1條“小魚”.那么，搭這樣的1條“小魚”需用多少根火柴棒？

學(xué)生：8根.

教師：搭2條“小魚”需用多少根火柴棒？（給學(xué)生以思考的空間，待學(xué)生回答出結(jié)果，再出示圖片）

學(xué)生：14根.

教師：搭3條“小魚”需用多少根火柴棒？

學(xué)生：20根.

教師：搭20條“小魚”需用多少根火柴棒？搭100條“小魚”呢？

2.2 探索活動

教師：如何解決這個問題？（找規(guī)律）我們可用表格記錄所用火柴棒的根數(shù)：（學(xué)生填表）

“小魚”條數(shù)____1____2____3______________45…__火柴棒根數(shù)____8___14____________________20…_

教師：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，所用火柴棒的根數(shù)與所搭小魚的個數(shù)之間有何關(guān)系？

學(xué)生1：多搭一條小魚，就多6根火柴棒！

學(xué)生2：從第二條小魚開始，每多搭一條小魚，就多6根火柴棒.

教師：為什么？

學(xué)生：后面的“小魚魚尾”就是前面“小魚的魚頭”.

教師：根據(jù)我們找到的這個規(guī)律，搭4條、5條“小魚”又分別需要多少根火柴棒？

學(xué)生：8＋6×（4－1）＝26（根），8＋6×（5－1）＝32（根）.

教師：搭20條、100條“小魚”呢？

學(xué)生：8＋6×（20－1）＝122（根），8＋6×（100－1）＝602（根）.

教師：你能用列代數(shù)式的方法表示出“小魚”條數(shù)與所需要的火柴棒根數(shù)之間的這種規(guī)律嗎？

學(xué)生1：設(shè)搭的“小魚”條數(shù)為n，則需要的火柴棒的根數(shù)為8＋6（n－1）.

教師：那么，你能利用這個代數(shù)式分別求出搭20條和100條“小魚”所需要的火柴棒的根數(shù)嗎？搭500條呢“說說你的方法”.

學(xué)生：只需要將8＋6（n－1）中的n分別換成20、100和500，再計算出結(jié)果就行了.

教師：根據(jù)問題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式中的運算關(guān)系計算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

教師：從搭“小魚”的過程我們可以發(fā)現(xiàn)，一個代數(shù)式的值有多少個？為什么？

學(xué)生：無數(shù)個，因為代數(shù)式的值是隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化的.

教師：對，這里體現(xiàn)了字母與數(shù)字之間的“對應(yīng)”關(guān)系.

2.3 “議一議”活動

教師：請同學(xué)們先完成下面這個表格，然后思考下面2個問題，并將你填表的結(jié)果與思考的結(jié)論在你的學(xué)習(xí)小組中交流.

x －3__－2__－1___0____1____2_______3 2x－1____________________________________________－3x_____________________________________________

①當(dāng)x為何值時，代數(shù)式2x－1的值等于－1？

②隨著x的值增大，代數(shù)式2x－1、－3x的值怎樣變化？

學(xué)生1：當(dāng)x＝0時，代數(shù)式2x－1的值等于－1.

學(xué)生2：隨著x的值增大，代數(shù)式2x－1的值也增大；代數(shù)式－3x的值在減小.

教師：代數(shù)式2x－1的值隨著x的增大而增大；代數(shù)式－3x的值隨著x的增大而減小.代數(shù)式的值隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化.代數(shù)式中的字母所取的值確定，代數(shù)式的值也確定；不同的代數(shù)式表示的規(guī)律不同，代數(shù)式的值變化趨勢也不同.

3 課后反思：診斷式感悟

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，要借助現(xiàn)實情境，幫助學(xué)生建構(gòu)自己的基本活動經(jīng)驗.本節(jié)課是沿著“有關(guān)知識在學(xué)生通過‘操作’有了感受以后再明晰”的設(shè)計思路中展開的，旨在讓學(xué)生通過先操作再明晰的活動中感受變化的數(shù)量及其關(guān)系，感悟函數(shù)思想.通過對本節(jié)教學(xué)過程的診斷式感悟，本節(jié)課的教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生明晰如下數(shù)學(xué)思想：

（1）進(jìn)一步感受字母表示數(shù)的思想：字母表示數(shù)是代數(shù)的基本特征，也是代數(shù)式產(chǎn)生的根本，它能將一些基本的數(shù)量關(guān)系簡明地表示出來，而且能給運算帶來方便.求代數(shù)式的值就是反過來把代數(shù)式中的字母用數(shù)替換，再按它的運算關(guān)系算出結(jié)果，通過求代數(shù)式的值可以更好地感受到字母表示數(shù)的意義.如本節(jié)課的“探索活動”.

（2）感受變化（函數(shù)）思想：代數(shù)式是確定的，但代數(shù)式中的字母的值是可以變化的，只有當(dāng)代數(shù)式中的字母的值確定時，代數(shù)式的值才能確定.所以，代數(shù)式的值是隨字母的值的變化而變化的，即代數(shù)式的值是一個變化的量.如本節(jié)課“議一議”的設(shè)計.

（3）感受整體（換元）思想：整體思想就是將某個代數(shù)式看成一個整體，從大處著眼，從整體入手，突出對問題整體結(jié)構(gòu)的分析和變形，從整體上把握問題的內(nèi)容和解題方略.如本節(jié)課例2.

（4）感受歸納思想：求代數(shù)式的值的問題中有些沒有直接給出代數(shù)式，而是只給出一些有規(guī)律的數(shù)、式子或圖形，讓我們?nèi)デ蠛艽髷?shù)值時的對應(yīng)值，就是需要我們?nèi)ジ鶕?jù)具體的數(shù)、式子或圖形歸納出它的規(guī)律，并用代數(shù)式表示，然后再代入求值，本節(jié)課就是用這樣的實例引入的.