基于廣義Logistic分布的選煤分級曲線數學模型

李曉棟，張興芳，樊民強

（太原理工大學a．化學化工學院；b．礦業(yè)工程學院，太原030024）

粒度分級是依據顆粒在流體介質中沉降速度的差異，將物料分成若干粒度級別的一種分離方法。在選煤實踐中，通常將物料分成兩種粒度級別，即底流（粗粒級）和溢流（細粒級）［1］。分級曲線（效率曲線）表示給料中每個粒級的顆粒出現在底流排料中的質量分數與顆粒粒度之間的關系［2］。旋流器的實際效率曲線并不通過原點，其原因已由Kelsall作了闡明。他提出，如果Rf是進入底流中的給料流體分數（分流比），那么所有粒級都有Rf分數的顆粒通過底流排出，而與作用于顆粒上的離心力無關。因此，人們提出了校正效率曲線，校正分配率與實際分配率之間的關系［3］為：

式中：Ec為校正分配率；Ea為實際分配率；Rf為分流比。

對于分級曲線數學模型的研究，前人已經做了大量的工作，得到了各種理論和經驗的數學模型，其中最常用的有Lynch［4］模型和Plitt［5］模型。

Lynch模型：

Plitt模型：

以上兩模型都是兩參數的模型，分離粒度d50為位置參數，α和n則與分級曲線的陡峭程度有關。分級曲線經常為不對稱曲線，但上述兩個模型并沒有獨立的參數來描述曲線的不對稱性。因為水流夾帶作用的存在，實際選煤分級曲線更能反映分級過程的真實情況。因此，筆者將廣義正態(tài)分布的變量形式引入Logistic分布，在傳統的位置參數和分散參數的基礎上引入了偏斜參數，構建了三參數的廣義Logistic分布數學模型。它既對實際分級曲線有良好的擬合精度，又能獨立表述分級曲線的分離粒度、分離精度和曲線的對稱性。

1 三參數廣義Logistic分布模型

1．1 模型的建立

Hosking和Wallis提出了一個帶偏斜系數的廣義正態(tài)分布［6］，具體表達式如下：

由于κ的引入，使分布函數可以描述不對稱分布。

Logistic分布是一個對稱分布，基本形式為：

式中：α、β為參數，－∞＜α＜∞，β＞0；－∞＜x＜∞。

因為Logistic分布函數比正態(tài)分布函數易于計算，在建立重選分配曲線數學模型和煤炭可選性曲線密度曲線模型時，Logistic分布函數常作為模型的基礎函數使用，并且能獲得較好的擬合精度［7］。借鑒Hosking和Wallis提出的廣義正態(tài)分布中變量的表達形式，將式（2）引入Logistic分布，得：

將式（3）進一步化簡，得：

式中：α，β，κ為參數。

1．2 模型參數的意義

由式（4）可得分布的四分位數：

根據四分位數可得其四分位偏差Ep和四分位偏度S［8］：k

四分位偏差Ep與β成正比，與κ的絕對值成正比；四分位偏度Sk只與κ有關，表征分布函數式（4）的偏斜程度。

圖1是α＝0、β＝0．5時，κ取不同值時分布函數曲線的形態(tài)。由圖可見，當κ＞0時，曲線發(fā)生左偏斜；當κ＜0時，曲線發(fā)生右偏斜；當κ＝0時，即為Logistic分布，曲線對稱。

相對于Logistic分布，式（4）可稱之為帶有偏斜系數的廣義Logistic分布。

圖1 κ對分級曲線形態(tài)的影響

若用式（4）描述實際分級曲線，則α為分離粒度d50。Ep為分級精度，Ep越小，分離精度越高。κ為分級曲線的偏度，κ為負，曲線右偏，說明溢流跑粗；κ為0，曲線對稱；κ為正，曲線左偏，說明底流夾帶嚴重。初步分析表明，廣義Logistic分布可以描述不同形態(tài)的分級曲線。下面將用實際數據進行檢驗。

2 分級數據處理

2．1 分級數據

一組分級數據來自《Mineral Processing Technology》一書［9］，用于說明分級過程中的夾帶現象，見表1所示。

表1 第一組數據

從表1中初步可以看出底流夾帶現象比較嚴重。為了降低底流夾帶，筆者對旋流器結構進行了優(yōu)化，溢流管插入深度為90，115，140mm時，?150 mm水力旋流器分級結果見表2所示。

表2 第二組數據

2．2 數據擬合方法

以式（4）為模型，采用非線性擬合方法［7］求得偏差平方和最小時的各個參數值，偏差平方和Q為：

式中：N表示試驗數據個數；Et、Ec表示某粒級底流分配率的實驗值和計算值。Q越小，表明擬合精度越高，數學模型對分級曲線的描述越可靠。

3 擬合結果與討論

Lynch模型、Plitt模型是校正分級曲線數學模型，當描述實際分級曲線時，根據式（1）可寫成：

同樣的，廣義Logistic分布模型可寫成：

由于底流中多少都帶有一定的水，Rf不可能為負，因此在用式（5）和（6）擬合時，限定k3≥0。

分別用（5）、（6）、（7）式對表1和表2中的分級數據進行擬合，結果見表3和表4所示。

表3 第一組數據擬合結果

表4 第二組數據擬合結果

表3和表4中，Lynch模型和Plitt模型的k1代表校正分級粒度，三參數廣義Logistic分布k1代表實際分級粒度。從表3可知，三個模型中，Plitt模型的偏差平方和Q最大，三參數廣義Logistic分布的次之，Lynch模型的最小。從表4可知，Lynch模型和Plitt模型的k3均為0，說明兩個模型均無法運用數值方法引入分流比Rf，若人工引入Rf，只會使擬合誤差更大。三參數廣義Logistic分布的數學模型對表2數據擬合精度最高，Plitt模型次之，Lynch模型最差，說明Plitt模型和Lynch模型不適應表2中的數據。

三參數廣義Logistic分布對表1中數據的擬合精度略低于Lynch模型而高于Plitt模型，對表2中3組數據的擬合精度明顯高于Lynch模型和Plitt模型，說明三參數廣義Logistic分布是一個適應性良好的分級曲線數學模型。

以粒度為橫坐標，各粒級的底流分配率為縱坐標，繪制三個模型對第一組數據的擬合曲線見圖2所示。繪制三參數廣義Logistic分布的數學模型對第二組數據的擬合曲線見圖3所示。

圖2 第一組數據擬合曲線

圖3 第二組數據擬合曲線

從圖2中可以看出，除起始端稍有不同外，Lynch模型和Plitt模型擬合的分級曲線幾乎重合，廣義Logistic分布擬合的分級曲線上端向左偏斜，三個模型都能很好地擬合常見的分級數據。

從圖3中可以直觀地看出，隨著溢流管插入深度的增加，分級曲線向右平移，并逐漸變緩。結合表4分析可得，隨著溢流管插入深度的增加，分級粒度增大，分級精度降低，曲線右偏程度加大。

4 結論

1）將廣義正態(tài)分布的變量形式引入Logistic分布，在傳統的位置參數和分散參數的基礎上引入了偏斜參數，構建了三參數的廣義Logistic分布，使廣義Logistic分布可以描述非對稱分布。

2）廣義Logistic分布模型對旋流器實際分級數據的擬合精度高于Plitt模型，多數情況下也高于Lynch模型，說明廣義Logistic分布模型是一個適應性良好和參數意義明確的分級曲線數學模型。

3）模型有待更多分級數據的檢驗。下一步擬引入峰度參數，使模型能夠適應不同的數據類型，在選煤分級曲線數學模型的研究中得到推廣和應用。

［1］ 謝恒星，李松仁．分級機理與分級模型的研究［J］．武漢化工學院學報，1993，15（3）：48－53．

［2］ Lynch A J．破礦和磨礦回路［M］．祝振鑫，胡長柏，譯．北京：原子能出版社，1983．

［3］ 胡為柏，李松仁．數學模型在礦物工程中的應用［M］．湖南：科學技術出版社，1983．

［4］ 龐學詩．水力旋流器工藝計算［M］．北京：中國石化出版社，1997．

［5］ 王淀佐，盧壽慈，陳清如，等．礦物加工學［M］．江蘇：中國礦業(yè)大學出版社，2003．

［6］ Hosking J R M，Waills J R．Regional frequency analysis［M］．New York：Cambridge University Press，1997．

［7］ 樊民強．選煤數學模型與數據處理［M］．北京：煤炭工業(yè)出版社，2005．

［8］ 樊民強，張榮曾．分配曲線特性參數及由其構成的數學模型［J］．煤炭學報，1998，23（2）：202－207．

［9］ Wills B A，Napier－Munn T J．Wills’Mineral Processing Technology［M］．Oxford：Elsevier Lid，2006．