T形截面鋼壓桿整體穩(wěn)定計算的折算長細比法

熊曉莉

(河南工業(yè)大學土木建筑學院，河南鄭州450001)

0 引言

按照彈性穩(wěn)定理論，T形截面壓桿與其他單軸對稱截面一樣，當壓力作用在截面形心時，構件繞其對稱軸發(fā)生彎扭屈曲.而當壓力作用在截面的剪切中心時，T形截面壓桿繞其對稱軸發(fā)生彎曲屈曲或扭轉屈曲.自從上世紀六十年代開始，這一特點就逐漸廣泛地被國內(nèi)外研究人員所認識［1-4］.在 2004 年和 2007 年，陳紹蕃［1-2］提出了下述觀點:T形截面壓桿具有如下特性，即當壓力由截面形心移至剪切中心時，其繞對稱軸失穩(wěn)時的承載能力將得到提高.然而，文獻［5］進行ANSYS有限元分析后證明該結論不正確.

筆者從以下兩方面進行研究:一方面，以我國《鋼結構設計規(guī)范》(GB50017—2003)［6］的設計方法為基礎，提出計算T形截面壓桿設計承載力的新方法——折算長細比法，該方法與文獻［1］中的方法和規(guī)范中的方法均有所不同;另一方面，既然T形截面壓桿的設計承載力也能通過ANSYS有限元分析獲得，筆者將對比新方法、文獻［1］方法和規(guī)范方法的計算結果，證明新方法的合理性.

1 T形截面壓桿的屈曲臨界力

由彈性穩(wěn)定理論可知，忽略對稱軸平面內(nèi)的失穩(wěn)，如圖1所示的T形截面的兩端鉸支軸心壓桿繞其對稱軸y軸發(fā)生彎扭屈曲，其屈曲臨界力Pyz可由下式獲得［1-4］

式中:i0為截面對剪心S的極回轉半徑=+;e0為截面形心至剪心的距離;ix，iy為截面繞x軸，y軸的回轉半徑;PEy為歐拉臨界力，PEy=π2EIy/l2;Iy為截面繞 y軸的慣性矩;E為材料的彈性模量;l為桿件的計算長度;Pz為軸心壓桿的扭轉屈曲臨界力，Pz=GIt;It為截面抗扭慣性矩;G為材料的剪切模量.

由式(1)可知，Pyz與 PEy和 Pz有關，且比二者中的任何一個都小.這表明剪心偏離形心導致壓桿的臨界荷載降低.

另一方面，壓力作用于剪切中心的T形截面壓桿繞對稱軸y軸屈曲時彎曲變形與扭轉變形不再耦合［1-4］，屈曲臨界力有兩個，一個為繞對稱軸y軸屈曲時的歐拉臨界力PEy;另一個為扭轉屈曲臨界力，由下式給出:

式中:βy為單軸對稱截面的幾何特性

式中:Ix為截面繞 x軸的慣性矩;A為截面面積;x，y為截面上任一點在形心主坐標系統(tǒng)(如圖1)中的坐標.

由于e0與βy總是異號，根據(jù)式(2)和式(3)可知，Pzs總是比 Pz大，并且常比 PEy大.

如果壓力作用點在截面形心與彎心之間的區(qū)域內(nèi)，臨界荷載Pyze由下式獲得

式中:ey為荷載的偏心距.

圖2中的曲線I即為當壓力由形心移至彎心的過程中，理想T形截面壓桿的臨界力變化曲線.

2 T形截面壓桿設計計算的折算長細比法

T形截面壓桿的臨界荷載一般是針對彈性構件而言的.實際上，長細比λy=60的T形截面壓桿繞對稱軸y軸通常在彈塑性階段發(fā)生失穩(wěn)，其穩(wěn)定設計承載力能通過折算長細比方法獲得，該方法的實用計算公式是基于現(xiàn)行國家GB 50017—2003《鋼結構設計規(guī)范》［6］提出的.

根據(jù)前述的屈曲分析內(nèi)容，能獲得壓桿的屈曲臨界力Pcr.對于軸心壓桿而言，繞對稱軸屈曲時的臨界力 Pcr=Pyz.對剪心加載的壓桿而言，平面外屈曲臨界力Pcr=min(PEy，Pys)，平面內(nèi)屈曲臨界力 Pcr=PEx，其中:PEx為繞非對稱軸 x軸的歐拉臨界力.對一般的偏心加載壓桿而言，平面外屈曲臨界力Pcr=Pyze，平面內(nèi)屈曲臨界力Pcr=PEx.

可借助折算長細比的概念將彎扭屈曲問題轉化為彎曲屈曲問題，折算長細比

式中:σcr為T形截面壓桿橫截面上的屈曲應力，σcr=Pcr/Ac，Ac為偏心壓桿的等效截面面積，Ac可由下式獲得

式中:σn為壓力P作用點處截面上的一階應力.

根據(jù)現(xiàn)行鋼結構規(guī)范中軸心壓桿的正則化長細比公式，T形截面壓桿的正則化長細比公式如下

式中:fy為材料的屈服強度.

由規(guī)范中的柱子曲線(即φ-λ曲線，φ為穩(wěn)定系數(shù)，λ為長細比)可知，T形截面壓桿的柱子曲線表達式如下:

若λn≤0.215，曲線a的穩(wěn)定系數(shù)

曲線b的穩(wěn)定系數(shù)

曲線c的穩(wěn)定系數(shù)

若λn＞0.215，穩(wěn)定系數(shù)

式中:ε0為等效偏心率，其表達式如下

曲線 a，ε0=0.152λn-0.014，

曲線 b，ε0=0.300λn-0.035，

曲線c，當0.215 ＜ λn≤1.05 時，ε0=0.595λn-0.094;當 λn＞1.05 時，ε0=0.302λn+0.216.

T形截面壓桿的設計承載力

式中:f為材料屈服強度的設計值，f=fy/γR.

若不計T形截面壓桿繞非對稱軸的失穩(wěn)，壓力產(chǎn)生的彎矩作用在對稱軸平面內(nèi)的兩端鉸支T形截面壓桿的設計承載力可由上述式(5)～式(12)計算獲得.該方法對T形截面壓桿穩(wěn)定承載力的計算具有普適性，適用于軸心受壓、剪心受壓以及壓力作用于截面軸心與剪心之間的任何情況.表1中列出了T形截面鋼壓桿(鋼材屈服強度 fy=235 N/mm2，彈性模量E=206 000 N/mm2，剪切模量G=79 000 N/mm2)設計承載力的計算結果.

3 文獻［1］中T形截面壓桿的設計方法

文獻［1］中，剪心加載的T形截面壓桿設計承載力式中:φy為相應于長細比λy的穩(wěn)定系數(shù).

對軸心受壓構件而言，借助換算長細比將彎扭屈曲問題轉化為彎曲問題進行計算

式中:λz為扭轉屈曲時的換算長細比，=25.7A

軸心受壓時的設計承載力

式中:φyz為相應于長細比λyz的穩(wěn)定系數(shù).

按照式(13)，(14)和(15)，T形截面壓桿設計承載力的計算結果詳見表1.

4 規(guī)范中的T形截面壓桿設計方法

規(guī)范GB50017—2003中，軸心壓桿設計承載力可由式(14)和式(15)獲得.

對偏心壓桿而言，設計承載力可由規(guī)范中的一系列公式獲得.平面外穩(wěn)定承載力可根據(jù)下式計算

式中:Mx為荷載偏心引起的繞非對稱軸x軸的彎矩;W1x為截面最外邊緣纖維處的抗彎模量;φb為桿件純彎曲時的穩(wěn)定系數(shù)，對T形截面壓桿而

平面內(nèi)的穩(wěn)定承載力可由下式計算

式中:φx為彎矩作用平面內(nèi)的軸心受壓構件穩(wěn)定系數(shù);γx1為截面塑性發(fā)展系數(shù)，對于T形截面受壓翼緣而言，取 1.05;P’Ex為參數(shù)，P’Ex=π2EA/(1.1.

表1中列出了公式(16)，(17)和(18)的計算結果.

5 T形截面壓桿彎扭屈曲的ANSYS分析

使用通用有限元程序ANSYS建立兩端鉸支的T形截面壓桿的有限元模型，并對其進行非線性分析獲得設計承載力，鋼材的屈服強度取235 N/mm2，分析采用Von Mises屈服準則.

選取SHELL181單元，該單元為適用于線性、大轉動和大應變分析的四節(jié)點單元［7-8］.

對材料屬性的定義分為線性和非線性兩部分.線性部分是在線性靜力分析階段之前進行定義的.定義楊式彈性模量E=206 000 N/mm2，泊松比v=0.3.非線性部分在非線性階段定義，相應的應力應變關系曲線如圖3所示.

建立幾何模型.為正確模擬現(xiàn)實情況中構件兩端的鉸支約束，需要將構件兩端部單元的彈性模量E修改為較大值.

定義邊界條件，施加荷載，設定分析類型，選擇靜力分析，激活預應力開關后求解，然后，重新進入求解器，指定分析類型為特征值屈曲分析并求解，獲得屈曲荷載和屈曲模態(tài).

圖3 應力—應變曲線Fig.3 Stress-strain curve

引入模型缺陷，如初始變形和如圖4所示初始應力，定義材料的非線性，重新加載(加載大小約為屈曲荷載的50% ～80%)，設定分析類型為靜力分析，打開大變形開關，選擇弧長法，設置收斂準則，設置子步數(shù)，求解并獲得非線性屈曲荷載.

圖4 初始應力分布Fig.4 Distribution of initial stress

為證明新方法的正確性，表1中列出了一些T形截面鋼壓桿基于ANSYS的非線性分析結果.圖2中的曲線II即為當壓力由截面形心移至剪心時的設計承載力的變化曲線.

6 折算長細比法、文獻［1］方法、規(guī)范方法與ANSYS的計算結果對比

在文獻［1］和文獻［5］中，對壓力作用在剪心、形心和形心與剪心之間的M點(CS中點)時T形截面壓桿的承載力大小進行了對比.表1中列出了對T248×199×9×14和 T298×199×10×15壓桿分別按照新方法(折算長細比法)、文獻［1］方法、規(guī)范方法、ANSYS方法的計算結果.

表1 壓力作用在不同位置時T形截面壓桿承載力計算結果對比Tab.1 Comparison of T-strut capacity subject to loading at different positions

文獻［1］中數(shù)據(jù)表明，當壓力由形心移至彎心或M點時，構件的承載力將有所提高.文獻［1］按照其中提出的計算方法，在計入截面彎角部分面積的條件下得到了T形截面鋼壓桿的穩(wěn)定承載力.為了將其與筆者提出的折算長細比法、規(guī)范方法和ANSYS的計算結果(均未計入截面彎角部分面積)進行比較，表1中所列出的文獻［1］中數(shù)據(jù)為按照其提出的計算方法，在不計入截面彎角部分面積的條件下得到的計算結果.因此，與文獻［1］中的原數(shù)據(jù)略有不同，但差別不大.

由于ANSYS模型更貼近實際情況，而新方法和規(guī)范中的計算公式均偏于安全，ANSYS的計算結果大于新方法和規(guī)范的計算結果.并且，新方法的計算結果與ANSYS的計算結果更為貼近.新方法、規(guī)范方法以及ANSYS方法中的計算結果均表明:荷載的偏心將導致壓桿承載力的下降.

由表1中的數(shù)據(jù)可知，文獻［1］中的計算方法有誤，原因是:按照式(13)計算剪心加載的T形截面壓桿的設計承載力是不合理的，該式僅適用于雙軸對稱截面和極對稱截面壓桿承載力的計算.因而，在桁架設計中，不能按照文獻［1］的建議將壓力作用線由T形截面壓桿的形心軸移至剪心軸.

雖然ANSYS的非線性分析結果更接近實際，但由于有限元模型的建立過于復雜而不便于應用.因此，基于上述4種方法的對比分析結果，建議對T形截面壓桿進行穩(wěn)定承載力計算時采用折算長細比法.

7 結論

在彈性階段，無缺陷的的T形截面壓桿繞其對稱軸屈曲時，當壓力由截面剪切中心移至形心時，其屈曲荷載將會降低.然而，在彈塑性階段，有初彎扭、初偏心及殘余應力等初始缺陷的T形截面壓桿繞其對稱軸屈曲時，當壓力由截面剪切中心移至形心時，其屈曲荷載將會提高.

介紹了4種計算T形截面壓桿設計承載力的方法，特別提出了一種新方法——折算長細比法，并將該方法與陳紹蕃提出的計算方法、規(guī)范中的計算方法以及有限元法進行對比后指出新方法合理、簡捷，值得推廣應用.

［1］CHEN Shao-fan.Buckling of T-strut subject to compressive force on its shear center［J］.Journal of Constructional Steel Research，2007，63(3):332-336.

［2］陳紹蕃.剖分T型鋼壓桿的屈曲性能和應用［J］.建筑鋼結構進展，2005，7(4):1-5.

［3］TIMOSHENKO S P，GERE J M.Theory of elastic stability［M］.New York:McGraw-Hill，1961.

［4］CHEN W F，Atsuta T.Theory of Beam Columns［M］.New York:McGraw-Hill，1977.

［5］XIONG Xiao-li，JIN Lin-bin，WANG Hui.Design capacity of T-strut subject to compressive force［J］.Advanced Material Research，2011，(163/167):550-556.

［6］中華人民共和國建設部.GB 50017—2003鋼結構設計規(guī)范［S］.北京:中國計劃出版社，2004.

［7］ANSYS Inc.ANSYSRelease 9.0Documentation［CP］.USA，2004.

［8］彭曉彤，陳紹蕃，顧強.剖分T型鋼壓桿的彎扭屈曲試驗研究［J］.建筑結構學報，2004，25(2):44-48.