基于齒形法的空間桁架結(jié)構(gòu)抗風(fēng)優(yōu)化

黃友欽，王艷萍，傅繼陽(yáng)，林俊宏，吳玖榮

(廣州大學(xué)廣東省結(jié)構(gòu)安全與健康監(jiān)測(cè)工程技術(shù)研究開發(fā)中心，廣東廣州510006)

0 引言

空間桁架結(jié)構(gòu)中構(gòu)件可靈活布置成各種空間外形來滿足建筑需要，因此在現(xiàn)代公共建筑中得到了廣泛應(yīng)用［1］.但此類結(jié)構(gòu)通常具有固有頻率低、柔性大、阻尼小等特點(diǎn)，是典型的風(fēng)敏感結(jié)構(gòu)，風(fēng)荷載常成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要控制荷載［2］.因此，有必要研究這類結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，使桿件間受力更加協(xié)調(diào)以節(jié)省材料和降低造價(jià).

然而，目前結(jié)構(gòu)抗風(fēng)優(yōu)化研究基本集中于高層建筑結(jié)構(gòu)，較少涉及大跨屋蓋.Chan等以等效靜力風(fēng)荷載下高層建筑的樓頂和層間位移響應(yīng)為約束條件，工程造價(jià)作為目標(biāo)函數(shù)，采用最優(yōu)準(zhǔn)則法對(duì)高層建筑的構(gòu)件尺寸進(jìn)行優(yōu)化［3］.Spence進(jìn)一步考慮了場(chǎng)地氣候概率信息，建立了基于可靠度的抗風(fēng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型［4］.

大跨空間結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中通常設(shè)計(jì)變量眾多，準(zhǔn)則法通常被認(rèn)為是有效方法［5］.筆者首先闡述基于滿應(yīng)力準(zhǔn)則的抗風(fēng)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論和程序?qū)崿F(xiàn)，然后介紹用于本研究的雙層柱面網(wǎng)殼及其風(fēng)荷載獲得方法，最后基于計(jì)算結(jié)果討論了截面積下限、滿應(yīng)力步長(zhǎng)等的影響.

1 抗風(fēng)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論

空間桁架結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為:

式中:A={A1，A2，…，An}表示所有n根桿件的截面積;W表示結(jié)構(gòu)重量，ρi和li分別表示桿件i的截面積;σi和［σi］分別表示桿件i的風(fēng)致應(yīng)力和容許應(yīng)力;Amin表示截面積下限值，即幾何約束下界.

滿應(yīng)力準(zhǔn)則法是指通過調(diào)整構(gòu)件的截面尺寸，使各構(gòu)件的應(yīng)力盡量達(dá)到容許應(yīng)力，此時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)承受荷載的能力被充分發(fā)揮，結(jié)構(gòu)達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)［6］.空間桁架結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)優(yōu)化可按下面步驟進(jìn)行.

(1)根據(jù)結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)方案確定截面積初值A(chǔ)，且令k=1(k表示迭代次數(shù)).

(2)計(jì)算桿件應(yīng)力比.等效靜力風(fēng)荷載下計(jì)算桿件的應(yīng)力，通過與容許應(yīng)力比較來得到應(yīng)力比，并選擇非零桿進(jìn)行優(yōu)化.

(3)走射線步.由于結(jié)構(gòu)最優(yōu)解位于主約束曲面，所以為了能夠得到最優(yōu)解，應(yīng)使迭代點(diǎn)落在主約束曲面上，因此在兩次應(yīng)力比計(jì)算之間增加射線步使所有桿件滿足約束條件［6］.

(4)判斷是否終止迭代.為了判別設(shè)計(jì)點(diǎn)是否為最優(yōu)點(diǎn)，可在每次射線步后記錄一次結(jié)構(gòu)重量，當(dāng)發(fā)現(xiàn)經(jīng)某一射線步后結(jié)構(gòu)重量大于前一次的重量時(shí)，就取前一次的設(shè)計(jì)點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn).射線步后通過下式計(jì)算結(jié)構(gòu)重量.

(5)走滿應(yīng)力步.走射線步后若計(jì)算未收斂則需要將應(yīng)力比還原至原本值，即將各桿件的應(yīng)力同時(shí)改變?chǔ)?k)max倍以得到下次迭代的截面積初值.

當(dāng)滿應(yīng)力步的步長(zhǎng)太大時(shí)，可能會(huì)錯(cuò)過真正的最優(yōu)解，而使所求解遠(yuǎn)離最優(yōu)解，因此可通過修改應(yīng)力比來縮短滿應(yīng)力步長(zhǎng)，使相鄰兩射線步的迭代點(diǎn)之間相距更近，從而提高最優(yōu)解的精度.可通過下式來縮短滿應(yīng)力步長(zhǎng).式中:λ為修改系數(shù)，其值越大表示對(duì)滿應(yīng)力步長(zhǎng)的改變?cè)叫?

(6)越界處理.當(dāng)某些桿件的截面積小于幾何約束中的截面積下限值時(shí)，可由下式進(jìn)行截面積修正.

進(jìn)行越界處理后獲得更新的桿件截面積，再回到步驟(2)進(jìn)行下一次迭代計(jì)算，直至結(jié)構(gòu)重量出現(xiàn)增加而停止迭代.

基于MATLAB數(shù)值計(jì)算平臺(tái)編制優(yōu)化計(jì)算程 序 (Wind ResistantOptimization Program，WROP)，整合了等效靜力風(fēng)荷載、風(fēng)致響應(yīng)和優(yōu)化計(jì)算等三個(gè)部分［7］.

2 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介及風(fēng)荷載

用于分析的空間桁架結(jié)構(gòu)為正放四角錐雙層柱面網(wǎng)殼，高度和跨度分別為為40 m和103 m，長(zhǎng)度為140 m，采用縱向邊緣落地支承［8］.結(jié)構(gòu)中桿件的布置如圖1所示，桿件總數(shù)為10 080，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為2 592，初始總重量為603.5 t.桿件間的連接視為鉸接，桿件截面積的最大值為1.41e-2 m2，最小值為8.51e-4 m2.桿件的彈性模量和密度分別為206 GPa和7 850 kg/m3.初始設(shè)計(jì)的桿件截面積分布如圖2所示，將初始截面積作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的初值A(chǔ)(1)，將其最小值8.51e-4 m2作為幾何約束下界Amin.

風(fēng)洞試驗(yàn)是獲得結(jié)構(gòu)上風(fēng)荷載的有效方法，該雙層柱面網(wǎng)殼的剛性模型測(cè)壓風(fēng)洞試驗(yàn)在同濟(jì)大學(xué)TJ-2風(fēng)洞中完成，每隔10°在90°～180°之間進(jìn)行7個(gè)風(fēng)向角的測(cè)試［8］.基于試驗(yàn)得到的非定常風(fēng)荷載進(jìn)行平穩(wěn)激勵(lì)隨機(jī)振動(dòng)分析可得到結(jié)構(gòu)上的等效靜力風(fēng)荷載［9］.

考慮到風(fēng)向角為150°時(shí)結(jié)構(gòu)的風(fēng)效應(yīng)較為顯著，因此選取150°風(fēng)向角下的等效靜力風(fēng)荷載=1.6進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算.圖3給出了計(jì)算該風(fēng)向等效靜力風(fēng)荷載時(shí)得到的應(yīng)力峰值桿件的應(yīng)力響應(yīng)功率譜.

圖3 150°風(fēng)向下桿件的應(yīng)力響應(yīng)功率譜Fig.3 Auto-power spectrum of stress at 150°

3 優(yōu)化結(jié)果與討論

以初始設(shè)計(jì)截面對(duì)應(yīng)的風(fēng)致應(yīng)力最大值作為所有桿件的約束容許應(yīng)力，采用編制的計(jì)算程序?qū)﹄p層柱面網(wǎng)殼進(jìn)行抗風(fēng)優(yōu)化.以下給出優(yōu)化計(jì)算結(jié)果并對(duì)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行討論.

3.1 優(yōu)化計(jì)算結(jié)果

優(yōu)化計(jì)算76次后迭代停止，圖4給出了結(jié)構(gòu)總重和最大應(yīng)力比隨迭代次數(shù)的變化.可以看出，結(jié)構(gòu)重量約降低48%，最大降幅發(fā)生在首次迭代;最大應(yīng)力比的變化較為平穩(wěn)，由1.18逐漸穩(wěn)定至收斂值.因此，通過設(shè)置射線步保證了所有桿件的應(yīng)力均小于容許應(yīng)力，即不違反強(qiáng)度約束.

3.2 截面積下限的影響

圖5給出了λ=1.0且不設(shè)幾何約束下界時(shí)第2次迭代中射線步得到的桿件應(yīng)力比和截面積.由圖可見，最大應(yīng)力比為6.21，遠(yuǎn)大于設(shè)定截面積下限時(shí)的1.18.同時(shí)，由于未設(shè)定截面積下限，滿應(yīng)力步后的最小截面積僅為3.03e-8 m2，小于規(guī)范允許值［10］.

迭代4次后結(jié)構(gòu)重量出現(xiàn)增加，因此取第4次迭代中射線步的結(jié)果作為優(yōu)化結(jié)果.表1給出了優(yōu)化過程中桿件的最大應(yīng)力比、截面積和結(jié)構(gòu)重量的變化，并與設(shè)定幾何約束下界的結(jié)果進(jìn)行比較.可以看出，不設(shè)截面積下限時(shí)，隨著迭代進(jìn)行，桿件的最小截面積遠(yuǎn)小于約束下限值(僅為1.25e-12 m2)，而最大桿件截面積(4.84e-2 m2)卻大于設(shè)定截面積下限時(shí)的結(jié)果(1.12e-2 m2)，從而得到的結(jié)構(gòu)總重反而大于設(shè)定截面積下限的結(jié)果.因此，在復(fù)雜桁架結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)優(yōu)化中，雖然射線步已將迭代點(diǎn)拉回主約束曲面，但仍有必要設(shè)定截面積下限來使各桿件間的受力更加協(xié)調(diào)，從而充分利用材料性能.

表1 前3次迭代和停止迭代時(shí)的部分計(jì)算結(jié)果Tab.1 Results of the first 3 and final iterations

3.3 滿應(yīng)力步長(zhǎng)的影響

λ=0.5時(shí)，第1次迭代中滿應(yīng)力步后的桿件應(yīng)力比和截面積如圖6所示.顯然，將滿應(yīng)力步長(zhǎng)折減后應(yīng)力比的范圍變小，提高了應(yīng)力比的最小值，從而增大了桿件截面積的最小值.

圖7給出了λ=0.5時(shí)結(jié)構(gòu)總重隨迭代次數(shù)的變化.對(duì)比圖4可見，優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)重量與未修改滿應(yīng)力步長(zhǎng)的結(jié)果接近，這是因?yàn)樵O(shè)定截面積下限時(shí)桿件的最大應(yīng)力比本身較小，故優(yōu)化結(jié)果對(duì)滿應(yīng)力步長(zhǎng)縮短并不敏感.由于第2次迭代時(shí)最大應(yīng)力比就已十分接近1.0，因此計(jì)算收斂所需迭代次數(shù)小于未修改滿應(yīng)力步長(zhǎng)的情況.

圖6 第1次迭代中滿應(yīng)力步后的應(yīng)力比和截面積Fig.6 Stress ratio and area after the full stress step in 1st iteration

圖7 結(jié)構(gòu)重量隨迭代次數(shù)的變化Fig.7 Variation in structural weight with iteration

4 結(jié)論

(1)優(yōu)化設(shè)計(jì)使網(wǎng)殼總重降低了約48%，所有桿件的應(yīng)力均小于初始設(shè)計(jì)下的最大應(yīng)力值，因此在滿足初始設(shè)計(jì)要求的前提下使結(jié)構(gòu)總重有效降低;

(2)通過設(shè)定設(shè)計(jì)變量下限避免了優(yōu)化得到的桿件截面積小于規(guī)范容許值，且使桿件間受力更加協(xié)調(diào)，充分利用材料性能;

(3)對(duì)于最大應(yīng)力比并未明顯超出可行范圍的情況，優(yōu)化結(jié)果對(duì)滿應(yīng)力步長(zhǎng)并不敏感，但通過修改滿應(yīng)力步長(zhǎng)可能使迭代次數(shù)減少.

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