強(qiáng)混合刪失數(shù)據(jù)密度函數(shù)估計的r階相合性＊

劉 艷，吳群英，葉彩園

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西桂林 541006）

強(qiáng)混合刪失數(shù)據(jù)密度函數(shù)估計的r階相合性＊

劉 艷，吳群英，葉彩園

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西桂林 541006）

在α－混合序列下，研究了基于刪失數(shù)據(jù)的密度函數(shù)f（x）核估計的r（r＞2）階相合性，并給出了失效率函數(shù)λ（x）的估計，且證明了其r（r＞2）階相合性.

α－混合；刪失數(shù)據(jù)；核估計；r階相合性

1 相關(guān)定義

在統(tǒng)計分析中，經(jīng)常存在需要對給定事件發(fā)生的時間進(jìn)行估計和預(yù)測.在記錄數(shù)據(jù)時，由于觀測時間的局限，觀察對象在進(jìn)入或退出試驗的隨機(jī)性，以及對生存數(shù)據(jù)試驗的設(shè)計，都可能使人們記錄不到事件發(fā)生的具體時間，而只能記錄到事件發(fā)生在某一段時間內(nèi)，這樣的數(shù)據(jù)稱之為刪失數(shù)據(jù)［1］，如果事件發(fā)生的時間大于某個時間點，稱為右刪失數(shù)據(jù)，反之稱為左刪失數(shù)據(jù).

對α－混合序列的大樣本性質(zhì)已有很多文獻(xiàn)作了研究，如劉君［3］研究了α－弱相依序列加權(quán)和的幾乎處處中心極限定理，楊善朝［4］研究了α－混合序列和的強(qiáng)大數(shù)律及其應(yīng)用，許冰［5］研究了α－混合序列的完全收斂性等.對刪失數(shù)據(jù)的研究近些年也得到了廣泛的關(guān)注，如徐芹［6］在｛Xi，i≥1｝和｛Yi，i≥1｝分別是獨立隨機(jī)變量時，研究了刪失數(shù)據(jù)下線性回歸模型的參數(shù)估計；薛留根［7］研究了刪失數(shù)據(jù)下核密度估計的誤差分布的強(qiáng)逼近等.筆者研究了在｛Xi，i≥1｝是同分布α－混合序列，｛Yi，i≥1｝是獨立同分布序列，且｛Xi，i≥1｝與｛Yi，i≥1｝相互獨立時，fn（x）和λn（x）的r階相合性.文中出現(xiàn)的c均表示與n無關(guān)的常數(shù).

2 引理及定理

引理1［8］設(shè)｛Xn，n≥1｝是一列α－混合隨機(jī)變量，混合系數(shù)是α（n），｛Yn，n≥1｝是一列獨立同分布隨機(jī)變量，｛Xn，n≥1｝與｛Yn，n≥1｝之間是獨立的，則序列｛（Xn，Yn），n≥1｝是α－混合的，且混合系數(shù)是4α（n），特別地，Zn＝min｛Xn，Yn｝（n≥1）也是α－混合的.

引理2［9］X1，X2，...，Xn是一列α－混合序列，設(shè)r＞2，EXi＝0，存在μ＞0，λ＞r（r＋μ）／2μ，且α（n）＝O（n－λ），E｜Xi｜r＋μ＜∞，則對任意的ε＞0，存在常數(shù)c，有

定理1 設(shè)｛Xi，i≥1｝是同分布α－混合隨機(jī)變量，｛Yi，i≥1｝是獨立同分布隨機(jī)變量，Xi獨立于Yi，若滿足條件（?。┖停áⅲ?，且f（x）在R上一致連續(xù)，分布函數(shù)G（x）連續(xù)，當(dāng)

則對任意r＞2，有E｜fn（x）－f（x）｜r→0.

定理2 設(shè)定理1的條件滿足，且分布函數(shù)F（x）和H（x）連續(xù)，則對任意r＞2，有E｜λn（x）－λ（x）｜r→0.

結(jié)合引理3，有如下推論：

推論1 定理1條件滿足，則對任意的0＜r＊≤2，有E｜fn（x）－f（x）｜r＊→0.

推論2 設(shè)定理1條件滿足，則對任意的0＜r＊≤2，有E｜λn（x）－λ（x）｜r＊→0.

3 定理的證明

定理1證明 由Cr不等式，顯然有

根據(jù)引理1可知Wi也是α－混合序列，對比（3）式的證明過程，且由H（x），G（x）和f（x）的連續(xù)性，以及基本條件（ⅱ），同理可得

類似于（10）式的證明，同理可證

綜合（12），（13）式，定理2得證.

推論的證明可由引理3直接得證.

［1］ 吳 蕾.刪失數(shù)據(jù)下的時間序列模型參數(shù)估計及預(yù)測［D］.上海：華東師范大學(xué)，2011.

［2］ ROSENBLATT M.A Central Limit Theorem and a Strong Mixing Condition［J］.Proc.Nat.Acad.Sc.U.S.A.，1956，42：43－47.

［3］ 劉 君.α－弱相依序列加權(quán)和的幾乎處處中心極限定理［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2011，49（1）：79－81.

［4］ 楊善朝.α－混合序列和的強(qiáng)大數(shù)律及其應(yīng)用［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1996，11（4）：443－450.

［5］ 許 冰.α－混合序列的完全收斂性［J］.科學(xué)通報，1997，42（8）：813－817.

［6］ 徐 芹.刪失數(shù)據(jù)下線性回歸模型的參數(shù)估計［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（6）：60－64.

［7］ 薛留根.刪失數(shù)據(jù)下密度核估計的誤差分布的強(qiáng)逼近［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，20（4）：80－84.

［8］ CAI Zong－wu.Asymptotic Properties of Kaplan－Meier Estimator for Censored Dependent Data［J］.Statistics ＆Probability Letters，1998，37：381－389.

［9］ YANG S C.Maximal Moment Inequality for Partial Sums of Strong Mixing Sequences and Application［J］.Acta.Math.Sinica：English Series，2007，23：1 013－1 024.

［10］ 吳群英.混合序列的概率極限理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2006：22.

（責(zé)任編輯 向陽潔）

r－th Consistency of the Density Function for Strong Mixing Censored Data

LIU Yan，WU Qun－ying，YE Cai－yuan
（College of Science，Guilin University of Technology，Guilin 541006，Guangxi China）

This paper discusses the r－th（r＞d）consistency of the kernel estimation for a density function f（x）based on censored data fromα－mixing sequence.For practical purposes，the estimation of the hazard functionλ（x）is given，and the r－th consistency is proved.

α－mixing sequence；censored data；kernel estimation；r－th consistency

O211.67

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.04.005

1007－2985（2013）04－0019－04

2013－03－13

國家自然科學(xué)基金資助項目（11061012）；廣西省高校人才小高地建設(shè)創(chuàng)新團(tuán)隊資助計劃（桂教人（2011）47號）；廣西省研究生教育創(chuàng)新計劃項目（2011105960202M32）；廣西省自然科學(xué)基金資助項目（2012GXNSFAA053010）

劉 艷（1988－），女，山西長治人，桂林理工大學(xué)理學(xué)院碩士，主要從事概率統(tǒng)計研究

吳群英（1961－），女，廣西桂林人，桂林理工大學(xué)理學(xué)院教授，博士，主要從事概率統(tǒng)計研究，E－mail wqy666＠glut.edu.cn.