基于壓縮感知的稀疏信道估計(jì)方法

陳 艷，王 彪

（江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212003）

0 引 言

OFDM系統(tǒng)接收端相關(guān)檢測(cè)和信道均衡往往需要精確的信道狀態(tài)信息，因此，對(duì)信道進(jìn)行估計(jì)具有重要的意義。但傳統(tǒng)的線性信道估計(jì)方法，如最小二乘法 （LS）［1］、最小均方誤差法 （MMSE）［2］等，均假設(shè)無(wú)線信道是密集多徑的，需要插入大量的導(dǎo)頻信號(hào)來(lái)獲取準(zhǔn)確的信道狀態(tài)信息，導(dǎo)致頻譜利用率低。

無(wú)線信道的固有稀疏性，使得信道估計(jì)問(wèn)題可以歸結(jié)為稀疏信號(hào)重建問(wèn)題，繼而采用壓縮感知理論 （compressive sensing，CS）［3－5］求解，該方法可以利用較少的導(dǎo)頻信號(hào)獲得與傳統(tǒng)信道估計(jì)方法相比擬的估計(jì)性能。目前關(guān)于壓縮感知應(yīng)用于稀疏信道估計(jì)的相關(guān)研究主要集中在BP算法［6］和OMP算法［7］，但由于BP算法是基于線性規(guī)劃的凸優(yōu)化問(wèn)題，計(jì)算復(fù)雜度高，難以實(shí)現(xiàn)；OMP雖然降低了計(jì)算復(fù)雜度，但每次迭代的結(jié)果可能是次最優(yōu)的，不能保證信道重建的全局最優(yōu)性。針對(duì)兩類算法存在的問(wèn)題，本文提出一種基于壓縮采樣匹配追蹤 （CoSaMP）的壓縮感知信道估計(jì)新方法，該方法同時(shí)具有BP算法穩(wěn)定的信道估計(jì)性能和OMP算法較低的計(jì)算復(fù)雜度，是OFDM系統(tǒng)稀疏信道估計(jì)的最優(yōu)選擇。

1 壓縮感知原理

為說(shuō)明CS的基本原理，假設(shè)一個(gè)長(zhǎng)度為N的實(shí)值離散信號(hào)X，可由Ψ 域的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 ｛φ1，φ2，…，φN｝線性表示，即

式中：α——N×1的加權(quán)系數(shù)列向量，Ψ——N×N的矩陣且αi＝ 〈X，φi〉＝φTiX （·T表示轉(zhuǎn)置），Ψ ＝ ［φ1，φ2，…，φN］，可見(jiàn)，X和α是同一信號(hào)在不同域的等價(jià)表示。如果α中只有K個(gè)較大的系數(shù)，其它大部分系數(shù)近似于零，且KN，則稱信號(hào)X是K稀疏的。對(duì)于K稀疏的信號(hào)X，通過(guò)一個(gè)滿足有限等距性質(zhì) （RIP）［8］的測(cè)量矩陣Φ，從中選取M （MN）個(gè)觀測(cè)值，接收端則利用這M個(gè)觀測(cè)值精確重建原始信號(hào)，利用矩陣形式描述上述過(guò)程

其中，Y——M×1的列向量，它的元素即為選取的M個(gè)觀測(cè)值，Φ——M×N的測(cè)量矩陣。信號(hào)X的重建過(guò)程就是利用Y中的M個(gè)元素，通過(guò)式 （2）重建中的N個(gè)元素，但由于NM，即未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程組的個(gè)數(shù)，該式是一個(gè)欠定方程，沒(méi)有確定解，然而由于X是K稀疏的且K＜M，則可利用信號(hào)重構(gòu)算法先求出式 （2）的最稀疏解α，然后由X＝Ψα恢復(fù)原始信號(hào)X。

信號(hào)重構(gòu)算法主要有凸優(yōu)化算法和貪婪追蹤算法。凸優(yōu)化算法的思路是將原來(lái)的欠定問(wèn)題變成凸優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)而化簡(jiǎn)為線性規(guī)劃問(wèn)題求解。典型代表為基追蹤算法（BP），這類算法穩(wěn)定性高，但運(yùn)算復(fù)雜度過(guò)高難以實(shí)現(xiàn)；另一類貪婪追蹤算法采用迭代的思想，每次迭代過(guò)程都選擇一個(gè)局部最優(yōu)解，通過(guò)多次迭代得到信號(hào)的最佳逼近，如OMP算法，具有運(yùn)算簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，但每次迭代的結(jié)果可能是次最優(yōu)的。因此，結(jié)合兩類算法的優(yōu)點(diǎn)，本文采用CoSaMP算法對(duì)OFDM系統(tǒng)的稀疏信道進(jìn)行估計(jì)。

2 OFDM系統(tǒng)模型

假設(shè)在一幀OFDM符號(hào)內(nèi)，信道沖激響應(yīng)是時(shí)不變的，則信道沖激響應(yīng)可以表示為

式中：τκ——信道延遲，ακ——第κ條路徑的幅值衰減，Ts——OFDM系統(tǒng)的采樣間隔，d——信道的多徑數(shù)。

假設(shè)OFDM系統(tǒng)子載波個(gè)數(shù)為N，信道長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則信號(hào)經(jīng)過(guò)沖激響應(yīng)h（n）得到系統(tǒng)信道傳輸模型為

式中：X＝diag （x（0），x （1），…x（N－1），x（i），i＝0，1，…N－1為OFDM符號(hào)內(nèi)的發(fā)送數(shù)據(jù)；R＝ ［r（0），r（1），…r（N－1）］T為接收信號(hào)；H＝Fh表示對(duì)信道沖激響應(yīng)h進(jìn)行N點(diǎn)DFT得到的信道頻域響應(yīng)向量，h＝ ［h（0），h（1），…h(huán)（L－1）］T，信道的稀疏特性則體現(xiàn)在L個(gè)抽頭系數(shù)中，只有d（d＜L）個(gè)抽頭系數(shù)非零；F為N×L的DFT變換矩陣

其中＝；N×1的向量Z為復(fù)加性高斯白噪聲。

設(shè)S為P×N的選擇矩陣，是從N×N的單位矩陣中選擇與導(dǎo)頻位置對(duì)應(yīng)的P行，用來(lái)提取數(shù)據(jù)流中的P個(gè)導(dǎo)頻信號(hào)。如，對(duì)于一個(gè)載波個(gè)數(shù)為8，導(dǎo)頻個(gè)數(shù)為4，且導(dǎo)頻均勻插入載波的OFDM信號(hào)，可以令

則接收端接收到的導(dǎo)頻信號(hào)可由式 （4）推得

其中，Rp＝SR為收到的導(dǎo)頻信號(hào)組成的P×1的向量，Xp＝SXS′為P×P的導(dǎo)頻信號(hào)，F(xiàn)p＝SF為P×N的DFT矩陣，Zp＝SZ為導(dǎo)頻位置對(duì)應(yīng)的噪聲組成的P×1向量。在系統(tǒng)接收端Rp，Xp，F(xiàn)p，Zp均已知，只有信道時(shí)域響應(yīng)h未知，則接收端可以采用相應(yīng)的算法恢復(fù)出h，然后由H＝Fh得到信道頻域響應(yīng)H，最終完成OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)。

3 信道估計(jì)方法

3.1 傳統(tǒng)的最小二乘 （LS）信道估計(jì)方法

在式 （6）中，當(dāng)OFDM通信系統(tǒng)的發(fā)送數(shù)據(jù)中插入的導(dǎo)頻數(shù)量大于信道長(zhǎng)度即P≥L，利用LS算法能夠得到較為合理的信道估計(jì)值，此時(shí)的LS估計(jì)值為

然而當(dāng)P＜L時(shí)，估計(jì)性能很差，LS估計(jì)值為

3.2 基于BP的稀疏信道估計(jì)方法

根據(jù)BP算法的思想，式 （6）中對(duì)h的估計(jì)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的最小化l1范數(shù)問(wèn)題，相當(dāng)于求解凸優(yōu)化問(wèn)題，即

當(dāng)采樣值Rp存在噪聲時(shí)，重建問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

式中：ε——噪聲的能量。

3.3 基于OMP的稀疏信道估計(jì)方法

在式 （6）中，令y＝Rp為觀測(cè)向量，T＝XpFp為觀測(cè)矩陣，得到壓縮感知的測(cè)量模型

OMP算法基本思想：在每一次的迭代過(guò)程，從T中選出與y最匹配的原子對(duì)信道h進(jìn)行稀疏逼近，對(duì)已選擇原子集合進(jìn)行正交化處理后再進(jìn)行投影，求出信號(hào)的殘余分量，同時(shí)在觀測(cè)矩陣T中除去該列向量，然后用相同的方法分解殘余分量。經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代，h可以由這些已選原子線性表示。文獻(xiàn) ［9］給出了OMP的具體實(shí)現(xiàn)算法。

該算法的原子選擇機(jī)制缺少回溯的思想，原子一旦加入到原子集合中，將一直保存在這個(gè)集合中，不會(huì)再被刪除，無(wú)法保證信道重建的全局最優(yōu)性，因?yàn)樵谀炒蔚鷿M足貪婪條件的原子并不能保證在之后的迭代過(guò)程中仍能滿足，所有的原子都應(yīng)該做到自由添加和移除。

3.4 基于CoSaMP的稀疏信道估計(jì)方法

CoSaMP算法［10］實(shí)質(zhì)上也是一種貪婪算法，易于實(shí)現(xiàn)，并且原子選擇機(jī)制引入了回溯思想，所有原子都可以自由添加和移除；同時(shí)又結(jié)合了凸優(yōu)化的特性，具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性。已知測(cè)量矩陣T＝XpFp，測(cè)量向量y＝RP，信道稀疏度k，稀疏信道估計(jì)模型如式 （11），采用Co－SaMP算法進(jìn)行信道估計(jì)具體步驟如下

步驟1 算法初始化，迭代次數(shù)i＝1，殘差r0＝y(tǒng)，系數(shù)向量h0＝0；

步驟2 對(duì)于第i次迭代，找出矩陣T中與殘差ri相關(guān)值最大的2k列，即滿足u＝T＊ri，Ωp＝supp （u2k），其中Ωp為T中所選2k列的索引集；

步驟3 合并索引集Ωi＝supp （hi－1）∪Ωp；步驟4 用LS算法在集合Ωi中進(jìn)行信道估計(jì)

其中，T＋＝ （T＊T）－1，T＋為T的偽逆矩陣；

步驟5 在式 （12）得出的信道估計(jì)量中保留最大的k個(gè)元素 （即主要抽頭系數(shù)）將其它抽頭系數(shù)都置為零，得到第i次迭代的信道響應(yīng)估計(jì)量＾hi；

步驟6 更新信道估計(jì)誤差，即殘差向量ri＝y(tǒng)－T＾hi；

步驟7 重復(fù)步驟2～步驟6，直到滿足停止準(zhǔn)則，輸出稀疏信道估計(jì)結(jié)果。

4 仿真結(jié)果與性能分析

為比較基于壓縮感知的CoSaMP算法、OMP算法、BP算法及傳統(tǒng)的LS算法信道估計(jì)性能，本文進(jìn)行了以下仿真。仿真參數(shù)為：信道長(zhǎng)度L＝60，非零抽頭數(shù)k＝6，OFDM子載波個(gè)數(shù)N＝256，用戶數(shù)據(jù)采用16QAM映射方式，導(dǎo)頻隨機(jī)插入發(fā)送數(shù)據(jù)中，插入位置由選擇矩陣S確定。本文主要考慮了以下幾組仿真：

（1）LS算法與CoSaMP算法在不同導(dǎo)頻數(shù)量時(shí)信道估計(jì)性能的比較。

圖1給出了CoSaMP算法與LS算法的信道估計(jì)性能比較，其中圖1 （a）為歸一化均方誤差 （mean squared error，MSE）隨信噪比 （SNR）的變化曲線，MSE定義如下

圖1 CoSaMP算法與LS算法信道估計(jì)性能比較

從圖1（a）可以發(fā)現(xiàn)，LS算法在導(dǎo)頻數(shù)P＝32時(shí)，信道估計(jì)誤差很大，整個(gè)算法處于失效狀態(tài)，系統(tǒng)產(chǎn)生大量誤碼，這是因?yàn)長(zhǎng)S算法要求插入的導(dǎo)頻數(shù)不小于信道的未知系數(shù)，即要求P≥L＝60。所以當(dāng)P＝160時(shí)，此時(shí)導(dǎo)頻插入個(gè)數(shù)大于信道的未知系數(shù)L，估計(jì)性能得到很大的改善。在信噪比低于10dB時(shí)，導(dǎo)頻數(shù)P＝160的LS算法與P＝32的CoSaMP算法信道估計(jì)性能相似，但當(dāng)SNR＞10dB時(shí)，CoSaMP算法P＝32時(shí)的MSE則要優(yōu)于導(dǎo)頻數(shù)P＝160的LS算法。換句話說(shuō)，CoSaMP算法僅需要32個(gè)導(dǎo)頻就能達(dá)到LS信道估計(jì)算法在導(dǎo)頻數(shù)P＝160取得的信道估計(jì)性能，導(dǎo)頻數(shù)量足足減少了5倍，可大大提高系統(tǒng)的頻帶利用率，這是因?yàn)镃oSaMP充分利用了信道的稀疏性，避免了對(duì)無(wú)謂零抽頭的估計(jì)，所以只需少量的導(dǎo)頻就能獲得很好的估計(jì)性能。

圖1 （b）給出了相應(yīng) 的 誤 碼 率 （symbol error rate，BER）曲線，與MSE曲線走勢(shì)吻合。從圖中可以看出，LS算法在導(dǎo)頻數(shù)P＝32時(shí)，BER維持在0.5左右，無(wú)法滿足通信的需求。當(dāng)信噪比小于10dB時(shí)，P＝160的LS算法與CoSaMP算法的BER相當(dāng)，但隨著信噪比的增大，Co－SaMP算法的優(yōu)越性變的明顯。在信噪比大于10dB時(shí)，CoSaMP算法的信道估計(jì)性能比P＝160的LS算法更好。

（2）CoSaMP、OMP及BP這3種稀疏重構(gòu)算法在不同信噪比下的信道估計(jì)性能比較。3種算法均采用32個(gè)導(dǎo)頻。

圖2（a）為MSE隨信噪比的變化曲線。從圖中可以看出，隨著信噪比的增加，3種算法的MSE逐漸減小，Co－SaMP算法的MSE比BP小約5dB，比OMP小約2dB，估計(jì)性能最優(yōu)，BP算法最差。

圖2 BP、OMP及CoSaMP算法的信道估計(jì)性能比較

圖2（b）給出了相應(yīng)的誤碼率曲線，走勢(shì)與MSE相吻合，從圖中可以看出，BP算法估計(jì)性能最差。在低信噪比時(shí)，OMP算法與CoSaMP算法性能相似，但隨著信噪比的增加，CoSaMP算法性能的優(yōu)越性變得明顯。

（3）CoSaMP、OMP及BP這3種稀疏重構(gòu)算法在不同信噪比下的運(yùn)算時(shí)間比較。

圖3為3種不同算法在估計(jì)過(guò)程中運(yùn)算時(shí)間的比較，本文通過(guò)計(jì)算CPU時(shí)間 （以s為單位）粗略估計(jì)各算法的運(yùn)算復(fù)雜度。仿真工具為 MATLAB R2010a，仿真機(jī)配置為2.8G英特爾雙核、4G內(nèi)存、Windows 7操作系統(tǒng)。從圖中可以看出BP算法計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)高于OMP算法和Co－SaMP算法，因?yàn)樵撍惴ㄊ腔诰€性的凸優(yōu)化算法，重建速度慢，而CoSaMP算法與OMP算法都是基于迭代思想的貪婪算法，計(jì)算量小，不同的是CoSaMP算法在每一次迭代過(guò)程都要找出水聲信道最大的k個(gè)分量，而OMP算法則是通過(guò)多次迭代找出這些最大分量，所以CoSaMP算法的計(jì)算復(fù)雜度比OMP算法低。

5 結(jié)束語(yǔ)

圖3 CoSaMP、OMP及BP算法運(yùn)算時(shí)間比較

本文研究了基于CoSaMP的壓縮感知信道估計(jì)新方法，通過(guò)該算法與傳統(tǒng)LS算法及現(xiàn)有的壓縮感知信道估計(jì)方法（BP算法、OMP的仿真比較可知，CoSaMP算法能夠用更少的導(dǎo)頻信號(hào)獲得更高精度的信道計(jì)性能，提高了系統(tǒng)的頻帶利用率，在使用相同導(dǎo)頻數(shù)量條件下，具有比BP算法和OMP算法更好的信道估計(jì)性能和更低的計(jì)算復(fù)雜度。

：

［1］Gupta M K，Shrivastava S，Raghuvanshi A S，et al.Channel estimation for wavelet based OFDM system ［C］／／International Confe－rence on Devices and Communications，2011：1－4.

［2］Jie Ma，Hua Yu，Shouyin Liu.The MMSE channel estimation based on DFT for OFDM system ［C］／／International Conference on Wireless Communications，Networking and Mobile Computing，2009：1－4.

［3］SHI Guangming，LIU Danhua，GAO Dahua，et al.Advance in theory and application of compressed sensing［J］.Acta Electronica Sinica，2009，37 （5）：1070－1081 （in Chinese）. ［石光明，劉丹華，高大化，等.壓縮感知理論及其研究進(jìn)展［J］.電子學(xué)報(bào)，2009，37 （5）：1070－1081.］

［4］Edwards J.Focus on compressive sen－sing ［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2011，28 （2）：11－13.

［5］Engelbeg S.Comperssive sensing ［J］.IEEE Instrumentation＆ Measurement Magazine，2012，15 （1）：42－46.

［6］Zhou Xiaoping，F(xiàn)ang Yong， Wang Min.Compressed sensing based channel estimation for fast fading OFDM systems ［J］.IEEE Systems Engineering and Electronics，2010，21 （4）550－556.

［7］Christian R，Zhaohui Wang.Application of compressive sensing to sparse channel estimation ［J］.IEEE Communications Magazine，2010，48 （11）：164－172.

［8］Ying L，Yi Ming Zou.Linear transformations and restricted isometry property ［C］／／IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing，2009：2961－2964.

［9］Cai T T，Lie Wang.Orthogonal matching pursuit for sparse signal recovery with noise ［J］.IEEE Information Theory，2011，57 （7）：4680－4688.

［10］Tropp J A，Needell D.CoSaMP iterative signal recovery form incomplete and inaccurate samples ［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2009，26 （3）：301－321.