主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)魯棒控制的研究

季鵬凱，沈 斌，陳 慧，章 桐

(1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200092;2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海 200092;3.同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心，上海 201804)

前言

主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是可靠性與靈活性的有效結(jié)合，為汽車轉(zhuǎn)向性能的提升提供了更大的發(fā)展空間。主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是在保持轉(zhuǎn)向系統(tǒng)機(jī)械連接的基礎(chǔ)上集成了變傳動(dòng)比機(jī)構(gòu)而引入一個(gè)疊加轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)角到轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中，通過此疊加的轉(zhuǎn)向角可以對(duì)轉(zhuǎn)向過程進(jìn)行主動(dòng)干預(yù)，同時(shí)在主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制系統(tǒng)失效時(shí)還可通過機(jī)械連接實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向功能。主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制策略是實(shí)現(xiàn)其性能的基礎(chǔ)之一，現(xiàn)代最優(yōu)魯棒控制技術(shù)在主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的應(yīng)用獲得了廣泛研究［1-3］，它考慮了車輛模型的各種不確定性、外界的各種干擾和傳感器噪聲等因素，來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能。主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)對(duì)整車動(dòng)力學(xué)特性將產(chǎn)生一定的影響，會(huì)減小整車的轉(zhuǎn)向剛性，并產(chǎn)生柔性轉(zhuǎn)向。針對(duì)模型參數(shù)不確定性，按H∞標(biāo)準(zhǔn)算法設(shè)計(jì)的控制器往往過于保守，而采用μ綜合的方法可降低控制器的保守性，更容易獲得相對(duì)精確的控制器。本文中將主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)與2自由度整車模型集成，對(duì)模型參數(shù)不確定性進(jìn)行了分析，采用了H∞標(biāo)準(zhǔn)算法、環(huán)路成形和μ綜合的方法分別設(shè)計(jì)了最優(yōu)魯棒控制器。針對(duì)此3種控制器分別進(jìn)行了μ分析和非線性仿真分析，并進(jìn)行比較。

1 系統(tǒng)模型分析

1.1 整車模型

在近似恒定車速的平面運(yùn)動(dòng)情況下，2自由度整車模型可很好地體現(xiàn)整車在轉(zhuǎn)向過程中的動(dòng)力學(xué)特性。平面運(yùn)動(dòng)的2自由度整車模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。忽略轉(zhuǎn)向系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性、懸掛動(dòng)力學(xué)特性、空氣阻力和前輪轉(zhuǎn)角Ackerman幾何約束等的影響，車輛恒速行駛，汽車只做平面運(yùn)動(dòng)，整車可以簡(jiǎn)化成2自由度的非線性模型，即y軸方向的移動(dòng)和繞z軸的橫擺運(yùn)動(dòng)。

整車模型［1，3］可表達(dá)為

輪胎側(cè)偏角［3-4］可表示為

式中:γ為橫擺率，β為整車側(cè)偏角，m為整車質(zhì)量，I為整車z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，lf和lr分別為質(zhì)心距前、后軸的距離，v為質(zhì)心車速，fw為側(cè)風(fēng)干擾，δs為前輪轉(zhuǎn)角，αi和fyi(i=f，r分別表示前輪和后輪)分別為輪胎側(cè)偏角和橫向力。前、后輪胎的側(cè)向力采用Pacejka的“魔術(shù)公式”計(jì)算［4］:

式中 bi，ci，di和 ei(i=f，r)分別為剛性因子、形狀因子、峰值因子和曲率因子，其參數(shù)決定于輪胎特性、路面狀況和車輛操縱狀態(tài)等因素。設(shè)路面摩擦因數(shù)為1，輪胎模型的各參數(shù)的數(shù)值如表1。

表1 輪胎模型參數(shù)

在小側(cè)偏角假設(shè)的情況下進(jìn)行如下的線性近似處理:

式中Kf和Kr分別為前、后輪的側(cè)偏剛度。則可以得出忽略側(cè)風(fēng)干擾的線性2自由度整車模型為

1.2 主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型

主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。圖中，Th、δc和 Jc分別為轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)向盤位置和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Tm1、δm1和 Jm1分別為主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制電機(jī)轉(zhuǎn)子的輸出轉(zhuǎn)矩、位置和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ts、δs和 Js分別為轉(zhuǎn)向機(jī)和輪胎等集中質(zhì)量轉(zhuǎn)換到前輪主軸銷的轉(zhuǎn)矩、位置和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Bc和 kc為管柱的阻尼和剛度系數(shù)，Bm1和km1為主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制電機(jī)的阻尼和剛度系數(shù)，δp為小齒輪的位置，im為主動(dòng)轉(zhuǎn)向電機(jī)轉(zhuǎn)子到小齒輪的傳動(dòng)比，ic為轉(zhuǎn)向盤到小齒輪的傳動(dòng)比，is為小齒輪到輪胎主軸銷的傳動(dòng)比，ζ為輪胎拖距。

忽略各轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與阻尼的影響，根據(jù)主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可以列出如下方程組［5］:

從而得出轉(zhuǎn)向車輪轉(zhuǎn)角 δs與 δc，δm1，β 和 γ 的關(guān)系式:

1.3 引入主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)、模型參數(shù)不確定性和側(cè)向干擾的整車模型

轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)整車動(dòng)力學(xué)特性會(huì)產(chǎn)生較大的影響，所以主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的模型應(yīng)該集成到整車模型中，同時(shí)考慮側(cè)風(fēng)等側(cè)向力的干擾，定義:x=［β，γ］T，υ =［δc，fw，δm1］，則

因?yàn)棣芽偸切∮?，由上述方程中可以看出，主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的引入使得前輪側(cè)偏剛度變得偏小，使整車動(dòng)力學(xué)特性更加偏向不足轉(zhuǎn)向特性，適當(dāng)?shù)牟蛔戕D(zhuǎn)向可提高轉(zhuǎn)向過程的安全性，但過度的不足轉(zhuǎn)向特性會(huì)使車輛駕駛變得困難，增加駕駛者微調(diào)節(jié)的負(fù)擔(dān)。

考慮到汽車速度信號(hào)可以通過傳感器和觀測(cè)器精確獲得，所以本文中僅考慮前、后輪胎的側(cè)偏剛度的不確定性和整車轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定性，同時(shí)注意到ρ和Kf總是同時(shí)出現(xiàn)，設(shè)定不確定性參數(shù)如下:

其中，p1，p2和 p3反映了各參數(shù) ρKf，Kr和 I與名義參數(shù)和偏離的百分比。定義輔助信號(hào):

其中:Δ =diag(δ1，δ2，δ3)

可以得到如下具有不確定性的整車模型:

其中:u=δm1;ω =［δc，fw］T;yu=γ

2 魯棒控制器的設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)廣義模型分析與加權(quán)函數(shù)設(shè)計(jì)

主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制系統(tǒng)的開環(huán)結(jié)構(gòu)如圖3所示。圖中:yd為期望的橫擺速率;yn為帶有量測(cè)干擾(Noise)的整車模型橫擺速率響應(yīng);yu為整車模型的響應(yīng)輸出;ey和eu分別代表對(duì)性能和控制量的評(píng)價(jià)指標(biāo);Gr為參考模型;Gv為整車模型;Wp、Wu和Wn分別為性能加權(quán)函數(shù)、控制量加權(quán)函數(shù)和量測(cè)噪聲加權(quán)函數(shù)。

Gr定義為一階傳遞函數(shù)［2］:

式中isd為期望轉(zhuǎn)向傳動(dòng)比。

魯棒控制器的設(shè)計(jì)在一定程度上取決于各加權(quán)函數(shù)的選擇。Wp和Wu體現(xiàn)各變量的頻率特性和指標(biāo)間的相對(duì)重要性。Wp-1約束了閉環(huán)系統(tǒng)靈敏度函數(shù)的頻響幅值范圍，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)與理想模型的跟蹤誤差范圍和外界干擾對(duì)系統(tǒng)輸出的影響程度進(jìn)行了限制，一般要求在低頻范圍內(nèi)獲得較高的跟隨精度，在高頻部分考慮高頻量測(cè)干擾等的影響而降低跟隨精度的限制。Wu用于限制控制作用的最大輸出量，確保高頻時(shí)的控制能量消耗低和低頻時(shí)的控制精度高。Wn定義為高通濾波器，用于模擬傳感器的噪聲頻域模型，并體現(xiàn)傳感器在不同頻率時(shí)的量測(cè)精確程度。各加權(quán)函數(shù)定義如下:

將轉(zhuǎn)向盤的輸入看做是擾動(dòng)，將開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)表示為Gop，集成魯棒控制器 C和不確定性模塊的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)表示為圖4。

2.2 控制器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)目標(biāo)是求解有理控制器C使增廣被控對(duì)象Gop內(nèi)部穩(wěn)定，且輸入w到輸出z的傳遞函數(shù)‖LFTL(LFTU(Gop，Δ)，C)‖∞＜1，LFTL和 LFTU分別表示下分式變換和上分式變換。考慮結(jié)構(gòu)不確定性，為了同時(shí)獲得魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能，采用μ綜合方法進(jìn)行魯棒控制器設(shè)計(jì)［6］。μ綜合方法是基于結(jié)構(gòu)奇異值的迭代算法，分別交替保持D和K不變，逐次迭代求解，每次計(jì)算使式(16)的左側(cè)減小。

式中DΔ為一對(duì)角陣集合，其中的任意元素D滿足D·Δ=Δ·D，DΔ可定義為

迭代過程中首先預(yù)設(shè)對(duì)角常數(shù)縮放矩陣D的初值(例如單位矩陣)，然后固定D通過求解標(biāo)準(zhǔn)H∞最優(yōu)問題求解C:

然后固定所求得的C，在選定的頻率范圍內(nèi)通過求解凸最優(yōu)問題，即求解D:

并通過曲線擬合D(jω)獲得D(s)，此D(s)可用于下次求解C的迭代中，重復(fù)上述過程反復(fù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到終止條件達(dá)到，來求得魯棒控制器。

車輛參數(shù)見表2，基于表2中的參數(shù)，采用μ綜合方法經(jīng)過9次D-K迭代計(jì)算可以獲得一個(gè)23階控制器Cmu，最大結(jié)構(gòu)奇異值為0.97。

基于相同的權(quán)函數(shù)，采用標(biāo)準(zhǔn)H∞算法，即通過求解Riccati方程的設(shè)計(jì)方法可獲得一個(gè)7階魯棒控制器Cinf，其H∞范數(shù)為0.33。

另外還可以采用H∞環(huán)路成形的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行魯棒控制器設(shè)計(jì)［1］，H∞環(huán)路成形方法不采用上述的加權(quán)函數(shù)，而是采用前、后補(bǔ)償器，即W1和W2，分別設(shè)為

表2 車輛參數(shù)

可獲得一個(gè)最大穩(wěn)定邊界為0.4的4階魯棒控制器 Clsp。

控制器的階次代表控制器動(dòng)力學(xué)模型的內(nèi)部狀態(tài)數(shù)量，控制器的輸出可看作是各狀態(tài)的加權(quán)和，所以控制器的階次越高越容易實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜對(duì)象的控制，越容易獲得高的綜合性能指標(biāo)，但高階次控制器同時(shí)也會(huì)帶來實(shí)施的困難、高成本和可靠性降低等不利因素。在確?？刂菩Ч那疤嵯潞雎阅Ｐ偷拇我糠挚蓪?shí)現(xiàn)對(duì)控制器動(dòng)力學(xué)模型的降階。

2.3 控制器降階處理

μ綜合分析方法獲得的控制器Cmu的階次一般較高，為便于實(shí)際工程應(yīng)用，須對(duì)獲得的控制器進(jìn)行降階處理［7］。將控制器模型平衡處理后，采用Hankel范數(shù)近似方法實(shí)現(xiàn)降階處理，獲得10階的降階控制器Cmrd如下:

2.4 控制器對(duì)比分析

各控制器的頻響曲線如圖5所示。由圖可見:全階(23階)控制器與降階(10階)控制器的bode圖直到104rad/s的頻率范圍，兩者的曲線都很接近，表明由各控制器實(shí)現(xiàn)的閉環(huán)系統(tǒng)將具有相近的性能;Clsp的低頻增益最大，Cmrd與Cinf的低頻相位響應(yīng)相近，而Clsp的低頻相位滯后最大。

圖6為結(jié)構(gòu)奇異值(μ)分析結(jié)果。由圖可見:雖然在給定的參數(shù)范圍內(nèi)，3個(gè)控制器都可以保證常規(guī)穩(wěn)定性和性能指標(biāo)，但Cinf不能完全確保魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能，Clsp可確保魯棒穩(wěn)定性但不能確保魯棒性能，Cmrd的魯棒性能指標(biāo)在低頻部分不很理想，但在此頻段的整體范圍內(nèi)可同時(shí)確保魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能。

3 非線性仿真

計(jì)算機(jī)系統(tǒng)仿真實(shí)施框圖如圖7所示，其中P為非線性整車模型。仿真時(shí)間均為5s。仿真中增加了最大橫擺率限制功能，設(shè)置參數(shù) Yawlmt為0.35rad/s，以便當(dāng)參考模型輸出的橫擺率超出車輛穩(wěn)定限值時(shí)對(duì)汽車轉(zhuǎn)向進(jìn)行限制，實(shí)現(xiàn)主動(dòng)安全，Yawlmt可以看做是對(duì)Gr模型的擴(kuò)展。

雙移線仿真結(jié)果如圖8所示，因?yàn)?個(gè)控制器的響應(yīng)性能比較相近，所以圖中僅給出采用控制器Cmrd的結(jié)果曲線。由圖可見:非線性整車模型橫擺率響應(yīng)很好地跟隨參考模型Gr的期望響應(yīng)輸出，從而可以控制轉(zhuǎn)向系統(tǒng)對(duì)整車動(dòng)力學(xué)特性的影響，并可以獲得期望的整車動(dòng)力學(xué)特性和期望的轉(zhuǎn)向傳動(dòng)比。例如隨速動(dòng)態(tài)調(diào)整isd，在高速時(shí)提高轉(zhuǎn)向傳動(dòng)比來提高駕駛穩(wěn)定性，在低速時(shí)降低轉(zhuǎn)向傳動(dòng)比來提高操縱靈活性。

側(cè)風(fēng)干擾仿真結(jié)果如圖9所示，假設(shè)在1～2s時(shí)間區(qū)間突然受到4kN的側(cè)風(fēng)干擾，并假設(shè)駕駛?cè)藛T沒有對(duì)此干擾進(jìn)行響應(yīng)，并分別采用3種控制器進(jìn)行仿真。由圖可見:各魯棒控制器都能有效抑制橫擺率的波動(dòng)，使整車基本保持原行駛航向;控制器Cmrd的穩(wěn)態(tài)誤差最大，超調(diào)量最小，另兩個(gè)控制器的表現(xiàn)則相反，這與圖6的魯棒性能曲線表現(xiàn)相一致。

轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角階躍輸入仿真結(jié)果如圖10所示，假設(shè)轉(zhuǎn)向盤在0.5s時(shí)階躍輸入1.5rad轉(zhuǎn)角，并分別采用3種控制器進(jìn)行仿真。由圖可見:采用3個(gè)控制器的各主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)都可自動(dòng)彌補(bǔ)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的柔性轉(zhuǎn)向，提高轉(zhuǎn)向靈敏度，也可在橫擺率最大限值的情況下，抑制轉(zhuǎn)向靈敏度，提高整車穩(wěn)定性和主動(dòng)安全性;控制器Cinf表現(xiàn)出較快的響應(yīng)速度，超調(diào)量最大和穩(wěn)態(tài)精度略差，控制器Clsp和Cmrd具有較好的穩(wěn)態(tài)精度，3種控制器對(duì)橫擺率的控制或抑制，和行駛軌跡的影響具有相近的效果。由圖10(c)可見:對(duì)最大橫擺率的限制使行駛軌跡產(chǎn)生一定偏離，所以最大橫擺率限值的設(shè)定應(yīng)在合理范圍內(nèi)，以降低對(duì)汽車目標(biāo)行駛軌跡的影響。

4 結(jié)論

在2自由度線性整車模型的基礎(chǔ)上集成了主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型，并考慮了前、后輪側(cè)偏剛度和整車轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定性，建立了線性和非線性整車系統(tǒng)模型。通過標(biāo)準(zhǔn)求解Riccati方程、環(huán)路成形和μ綜合等方法分別設(shè)計(jì)了最(或次)優(yōu)魯棒控制器，對(duì)Cmu進(jìn)行了降階處理，對(duì)各控制器進(jìn)行了魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能分析。基于非線性整車模型采用3種魯棒控制器進(jìn)行了系統(tǒng)仿真。μ分析結(jié)果表明，Cinf不能完全確保魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能，Clsp可確保魯棒穩(wěn)定性但不能確保魯棒性能，雖然Cmrd的魯棒性能指標(biāo)在低頻部分不很理想，但在此頻段的整體范圍內(nèi)可同時(shí)確保魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能。尤其考慮結(jié)構(gòu)不確定性，Cmrd更容易獲得較小的保守性和整體較高的控制精度。非線性仿真結(jié)果表明，3種魯棒控制器都能較好抑制模型參數(shù)不確定性、側(cè)向干擾和量測(cè)噪聲干擾，并能降低主動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)對(duì)整車動(dòng)力學(xué)特性的影響，獲得期望的轉(zhuǎn)向傳動(dòng)比，有利于提高整車的靈活性、穩(wěn)定性和主動(dòng)安全性。

［1］ Mammar S，Koenig D.Vehicle Handling Improvement by Active Steering［J］.Vehicle System Dynamics，2002，3(38).

［2］ Yin Guodong，Chen Nan，Li Pu.Improving Handling Stability Performance of Four-Wheel Steering Vehicle via μ-Synthesis Robust Control［J］.Vehicular Technology，IEEE Transactions，2007，56(5):2432-2439.

［3］ Bilin Aksun Güven?，Tilman Bünte，Dirk Odenthal，et al.Robust Two Degree-of-Freedom Vehicle Steering Controller Design［J］.IEEE Transactions on Systems Technology，2004，12(4):627-636.

［4］ Pacejka H B，Bakker E，Lidner L.A New Tire Model with an Application in Vehicle Dynamics Studies［C］.SAE Paper 890087.

［5］ Shen Bin，Ji Pengkai.The Analysis and Modeling of Active Front Steering System［C］.CCIE-Proc.:IEEE Int.Conf.Computing，Control and.Eng.Wuhan，China，2011.

［6］ Doyle，J，Packard A，Zhou K.Review of LFTS，LMIs，and μ［C］.Proceedings of the 30th IEEE CDC，Brighton:1227-1260，1991.

［7］ Samar R，Postlethwaite I，Gu D-W.Model Reduction with Balanced Realizations［J］.International Journal of Control，1995，62:33-64.