基于Matlab藍(lán)莓樹(shù)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)仿真研究

李志鵬，趙德金，郭艷玲

（1.東北林業(yè)大學(xué)交通學(xué)院，哈爾濱150040;2.東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150040）

天然抗氧化水果藍(lán)莓在食品、藥品和化工等方面具有巨大的市場(chǎng)潛力，種植藍(lán)莓的經(jīng)濟(jì)效益十分顯著，擴(kuò)大種植面積是一種必然趨勢(shì)。由于藍(lán)莓成熟期短，在我國(guó)完全依靠人工采摘，采摘耗資大、效率低，常因無(wú)法及時(shí)收獲造成很大的損失［1－6］。為實(shí)現(xiàn)藍(lán)莓采摘的機(jī)械化，需要研究一種高效智能的藍(lán)莓采摘機(jī)械并解決關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題。要實(shí)現(xiàn)高效、安全地采摘，振動(dòng)力大小和方向的確定是很關(guān)鍵的，需要現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)，據(jù)此建立藍(lán)莓植株三維生長(zhǎng)模型，還要在此基礎(chǔ)上分析果枝的受力模型，建立藍(lán)莓果樹(shù)的振動(dòng)模型，從而為實(shí)際采摘機(jī)的設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)［7－11］。

1 藍(lán)莓樹(shù)枝受力分析

由于藍(lán)莓樹(shù)枝的生長(zhǎng)是多角度、空間分布的，當(dāng)采摘力作用于藍(lán)莓側(cè)枝時(shí)，會(huì)在不同生長(zhǎng)方向上的藍(lán)莓側(cè)枝產(chǎn)生不同角度的采摘力，作用于每一個(gè)藍(lán)莓側(cè)枝上的采摘力均會(huì)分解得到軸向力和徑向力。如圖1所示，當(dāng)手指拍打藍(lán)莓側(cè)枝時(shí)，以藍(lán)莓側(cè)枝軸向?yàn)榉较颍⒖臻g直角坐標(biāo)系，同時(shí)對(duì)力進(jìn)行正交分解，可得作用在藍(lán)莓側(cè)枝上的力Fx、Fy、Fz。其中，垂直于藍(lán)莓側(cè)枝上的力Fy、Fz將引起藍(lán)莓側(cè)枝的徑向振動(dòng)，平行于藍(lán)莓側(cè)枝的Fx力將引起藍(lán)莓側(cè)枝的軸向振動(dòng)。

圖1 藍(lán)莓側(cè)枝受力分析圖Fig.1 Mechanical analysis of blueberry branch

此外，由于藍(lán)莓側(cè)枝的空間分布及采摘裝置末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的設(shè)置，不可能使所有藍(lán)莓側(cè)枝均受到采摘力的直接作用。沒(méi)有受到采摘力直接作用的藍(lán)莓側(cè)枝，會(huì)在其他藍(lán)莓樹(shù)枝所產(chǎn)生的軸向受迫振動(dòng)和徑向受迫振動(dòng)的影響下，在同一植株樹(shù)枝之間的相互連接約束關(guān)系條件下，相應(yīng)地產(chǎn)生軸向自由振動(dòng)和軸向受迫振動(dòng)。根據(jù)藍(lán)莓側(cè)枝上是否作用有采摘力以及采摘力的分解分類情況，將長(zhǎng)有藍(lán)莓果實(shí)的樹(shù)枝所產(chǎn)生的振動(dòng)分為:軸向自由振動(dòng)、軸向受迫振動(dòng)、徑向自由振動(dòng)和徑向受迫振動(dòng)，分類情況見(jiàn)表1。

表1 藍(lán)莓樹(shù)枝振動(dòng)分類Tab.1 Forces and vibration classifications for blueberry branch

表2 藍(lán)莓樹(shù)枝具體參數(shù)值Tab.2 Blueberry branch specific parameter value

表3 藍(lán)莓側(cè)枝激振力——位移表Tab.3 Excitation force of blueberry lateral branch-displacements

為了定量求解藍(lán)莓樹(shù)枝振動(dòng)響應(yīng)輸出，需要實(shí)測(cè)一組藍(lán)莓樹(shù)枝具體參數(shù)，并施加載荷測(cè)定變形量，表2是對(duì)品種為北陸的藍(lán)莓側(cè)枝實(shí)測(cè)得到的具體數(shù)據(jù)，表3是對(duì)藍(lán)莓側(cè)枝施加不同方向的作用力后產(chǎn)生的位移。

根據(jù)圖1所建立起來(lái)的力學(xué)模型，再依據(jù)表2和表3所提供的數(shù)據(jù)，可求解藍(lán)莓側(cè)枝在表1所歸納出振動(dòng)響應(yīng)輸出函數(shù)。

2 藍(lán)莓樹(shù)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)仿真

前面在建模時(shí)將藍(lán)莓側(cè)枝簡(jiǎn)化為密度均勻、質(zhì)量均勻變化、無(wú)阻尼連續(xù)彈性體，而在實(shí)際的振動(dòng)過(guò)程中是有阻尼的，由于阻尼的存在使得藍(lán)莓側(cè)枝無(wú)阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)發(fā)生改變，經(jīng)推導(dǎo)得藍(lán)莓側(cè)枝軸向自由振動(dòng)有阻尼振動(dòng)響應(yīng)公式為:

式中:a為藍(lán)莓側(cè)枝有阻尼振動(dòng)振型參數(shù)，a=Z為藍(lán)莓側(cè)枝縱截面的枝干延長(zhǎng)線交點(diǎn)作為Z軸原點(diǎn)，Z軸方向設(shè)置為向下，樹(shù)枝上的坐標(biāo)為z;E為藍(lán)莓側(cè)枝彈性模量;ωn為藍(lán)莓側(cè)枝軸向自由振動(dòng)固有頻率;ωdn為藍(lán)莓側(cè)枝有阻尼自由頻率。

為了分析藍(lán)莓側(cè)枝自由振動(dòng)過(guò)程中慣性力的大小，下面根據(jù)藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)公式推導(dǎo)藍(lán)莓側(cè)枝軸向自由振動(dòng)慣性力公式:

式中:Fd為藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)慣性力;m0為藍(lán)莓果實(shí)質(zhì)量;φr為偏移相位角a為藍(lán)莓側(cè)枝有阻尼振動(dòng)振型參數(shù)。

為了能夠觀察到藍(lán)莓樹(shù)枝在做軸向有阻尼自由振動(dòng)過(guò)程中振動(dòng)曲線和慣性力的動(dòng)態(tài)變化，采用MATLAB軟件對(duì)藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)公式（1）和藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)慣性力公式（2）進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析。具體如下:

假定在t=0時(shí)刻，藍(lán)莓側(cè)枝根部z2處，在10 N的初始外力作用下產(chǎn)生一定的靜變形b，由此得到:初始位移x0=b;初始速度x′0=0;由表3中實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到:當(dāng)軸向外力為10 N時(shí)，藍(lán)莓側(cè)枝的軸向靜變形量為0.013 m。由此得到:x0=b=0.013m。

由表2得到:藍(lán)莓側(cè)枝面積衰減率β=0.23×10－3m2/m，藍(lán)莓側(cè)枝彈性模量E=506 MPa，藍(lán)莓側(cè)枝末端集中質(zhì)量m=248 g，將以上數(shù)據(jù)代入藍(lán)莓側(cè)枝軸向自由振動(dòng)固有頻率公式取n=1，n=2 得:ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1。

由表2得:ξ=1.3%，將ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1，ξ=1.3%代入有阻尼自由振動(dòng)公式

將x0=0.013m，x′0=0，ξ=1.3%，ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1代入初始相位角公式

由表2得:藍(lán)莓樹(shù)枝根部坐標(biāo)z2=0.66m，藍(lán)莓樹(shù)枝末梢坐標(biāo)z2=0.66m，藍(lán)莓樹(shù)枝密度ρ0=0.78g/mm3，藍(lán)莓樹(shù)枝彈性模量E=506MPa，將g（z2）=0.013m及以上數(shù)據(jù)代入藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼振動(dòng)振型參數(shù)公式 （1），得:

圖2 藍(lán)莓側(cè)枝有阻尼自由振動(dòng)曲線Fig.2 Free vibration curve of blueberry lateral branch

圖3 藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)慣性力動(dòng)態(tài)變化曲線Fig.3 Free vibration curve of inertial force from blueberry lateral branch

為提高計(jì)算精度，取n=10，計(jì)算得:a=0.008 3。

將振型參數(shù)a=0.008 3，藍(lán)莓樹(shù)枝密度ρ0=0.78g/mm3，藍(lán)莓樹(shù)枝彈性模量E=506MPa，ξ=1.3%，ωn1=960rad－1，ωn2=1 350rad－1，ωd1=959rad－1，ωd2=1 349rad－1，φd1= φd2=1.55，φr1=φr2=0.026代入公式（1）得到，表2所測(cè)藍(lán)莓側(cè)枝在t=0時(shí)刻、10 N初始外力作用于藍(lán)莓側(cè)枝根部產(chǎn)生初始條件為:x=0=0.013m，x′0=0的實(shí)測(cè)藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)公式（1）由表2得藍(lán)莓果實(shí)質(zhì)量為:m0=3.91g，結(jié)合公式（1），由公式（2）得到表2所測(cè)藍(lán)莓側(cè)枝在t=0時(shí)刻、10 N初始外力作用于藍(lán)莓側(cè)枝根部產(chǎn)生初始條件為x0=0.013，x′0=0的實(shí)測(cè)藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)慣性力公式:

3 結(jié)束語(yǔ)

為了能夠定性分析藍(lán)莓受迫振動(dòng)的響應(yīng)過(guò)程，采用MATLAB軟件，仿真分析藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)輸出動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，如圖2所示。從圖中可以看出藍(lán)莓側(cè)枝在不同時(shí)刻、不同位置的振動(dòng)幅值大小和所產(chǎn)生的慣性力大小。由于阻尼比的存在，阻礙系統(tǒng)的振動(dòng)，隨著振動(dòng)時(shí)間的延長(zhǎng)，藍(lán)莓側(cè)枝的振幅和所產(chǎn)生的慣性力越來(lái)越小趨于0，最后停止振動(dòng)。

藍(lán)莓側(cè)枝軸向有阻尼自由振動(dòng)慣性力動(dòng)態(tài)變化曲線如圖3所示，可以看出在振動(dòng)初期瞬態(tài)所產(chǎn)生的慣性力很小，所以軸向有阻尼自由振動(dòng)很難實(shí)現(xiàn)對(duì)藍(lán)莓果實(shí)的采摘。為后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)。

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