旋轉(zhuǎn)曲面的度量重構(gòu)＊

章權(quán)兵，孫 慶，王 磊，程 鴻

（安徽大學(xué)計算智能與信號處理教育部重點實驗室，安徽 合肥230039）

1 引言

計算機(jī)視覺的基本任務(wù)是根據(jù)若干幅世界景物的圖像求得對真實景物世界結(jié)構(gòu)的理解。因此，三維重構(gòu)，即由圖像恢復(fù)場景的三維信息就成了計算機(jī)視覺研究的重點和熱點問題之一。三維重構(gòu)問題是一個逆問題，從圖像恢復(fù)場景的三維形狀是一項非常復(fù)雜的任務(wù)，因為場景幾何和攝像機(jī)幾何都不清楚，而成像過程又丟失了大量信息，導(dǎo)致圖像中可用的信息很有限。為了能夠得到確定的解，通常需要兩幅或多幅圖像。例如，在立體視覺中需要通過改變攝像機(jī)與場景的相對位置在不同視點下對同一場景分別拍攝兩幅圖像。然而，如果具有某些先驗知識，如場景中的結(jié)構(gòu)信息或者物體具有某種特殊形狀等，也可由單幅未標(biāo)定的圖像進(jìn)行重構(gòu)，旋轉(zhuǎn)曲面的重構(gòu)就是其中重要的一類。

旋轉(zhuǎn)曲面是指由一條平面曲線繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，該平面曲線叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線為旋轉(zhuǎn)曲面的對稱軸，過母線上任意一點作與對稱軸垂直的截面叫旋轉(zhuǎn)曲面的橫截面。在日常生活中經(jīng)?？梢砸姷奖砻婢哂行D(zhuǎn)曲面形狀的物體，如茶杯和古董花瓶等，所以對其研究具有很重要的現(xiàn)實意義。

2003年，Utcke和Zisserman［1］首次提出了單幅未標(biāo)定旋轉(zhuǎn)曲面的射影重構(gòu)。隨后，Wong等人［2］和Colombo等人［3］分別提出了單幅未標(biāo)定旋轉(zhuǎn)曲面的度量重構(gòu)。Wong等人根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面的輪廓實現(xiàn)了度量重構(gòu)，但其在假設(shè)攝像機(jī)是零扭曲和主點位于圖像中心的前提下，只能從單幅圖像中計算出攝像機(jī)的焦距，重構(gòu)結(jié)果存在單參數(shù)的二義性。Colombo等人［4～6］提出了利用射影不變量實現(xiàn)未標(biāo)定旋轉(zhuǎn)曲面的度量重構(gòu)，但其在重構(gòu)過程中，同時考慮了紋理的獲取，所以重構(gòu)過程過于復(fù)雜。Wu等人［7］提出了旋轉(zhuǎn)曲面的特殊情況即圓錐體的度量重構(gòu)，方法簡單，但其應(yīng)用具有一定的局限性。

本文對Colombo等人的重構(gòu)方法作了改進(jìn)，對于其中的結(jié)構(gòu)恢復(fù)提出了一種新的算法：根據(jù)平面透射求出圖像中視在輪廓線上每點對應(yīng)的橢圓（旋轉(zhuǎn)曲面垂直于對稱軸的橫截面的像），然后利用二次曲線的性質(zhì)，結(jié)合標(biāo)定出的攝像機(jī)矩陣，確定該橢圓對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面橫截面（垂直于對稱軸，下同）在三維空間中的位置和尺寸，從而恢復(fù)整個旋轉(zhuǎn)曲面。該方法重構(gòu)過程更簡單，并能夠保持旋轉(zhuǎn)曲面的整體三維結(jié)構(gòu)。

2 基本問題

本文的攝像機(jī)模型采用常見的針孔模型：在齊次坐標(biāo)表示下，任一個空間點Xi與對應(yīng)的圖像點xi之間滿足［8］：

其中，Xi和xi均為齊次坐標(biāo)，K是攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)矩陣，R是3×3旋轉(zhuǎn)矩陣，t是三維平移向量。一般假定攝像機(jī)的扭曲因子為零且像素是正方形的，因此有：

三維重構(gòu)就是由圖像點坐標(biāo)xi來恢復(fù)三維點Xi和攝像機(jī)參數(shù)。這是一個病態(tài)逆問題，通常需要多幅圖像來求解，并且在沒有其它信息的情況下，重構(gòu)結(jié)果會相差一個射影變換，從而會有無數(shù)組解。然而，如果具有某些先驗知識，如場景中的結(jié)構(gòu)信息或者物體具有某種特殊形狀等，也可以由單幅未標(biāo)定的圖像進(jìn)行三維度量重構(gòu)，即重構(gòu)結(jié)果相差一個相似變換。

本文主要針對具有旋轉(zhuǎn)曲面結(jié)構(gòu)的物體進(jìn)行研究，利用其特殊結(jié)構(gòu)，考慮由單幅未標(biāo)定的圖像進(jìn)行三維度量重構(gòu)的問題。重構(gòu)主要分兩步：攝像機(jī)標(biāo)定和結(jié)構(gòu)恢復(fù)。攝像機(jī)標(biāo)定利用文獻(xiàn)［4］中基于旋轉(zhuǎn)曲面不變量的方法，關(guān)于結(jié)構(gòu)恢復(fù)本文給出了更簡單的算法。

3 攝像機(jī)標(biāo)定

攝像機(jī)標(biāo)定是實現(xiàn)三維度量重構(gòu)的關(guān)鍵步驟之一。目前，攝像機(jī)標(biāo)定方法的研究主要集中于利用場景中的約束條件，如直線、平面之間的平行和正交關(guān)系等。本文先利用文獻(xiàn)［4］中基于旋轉(zhuǎn)曲面不變量的方法求出無窮遠(yuǎn)直線的像l∞和旋轉(zhuǎn)曲面對稱軸的像ls，并標(biāo)定出攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)矩陣K。然后按照下面的方法確定攝像機(jī)的外參數(shù)。

旋轉(zhuǎn)曲面垂直于對稱軸的任一橫截面為一個圓，我們考慮最下面（或最上面）的圓C?？梢愿鶕?jù)圖像擬合出圓C的像c（實際為一橢圓），進(jìn)而可利用無窮遠(yuǎn)直線的像l∞由公式o＝c－1l∞確定出c的中心o的坐標(biāo)，此即圓C的圓心O的像坐標(biāo)。

以圓C的圓心O作為世界坐標(biāo)系的原點，以攝像機(jī)中心與對稱軸所確定的平面的法線方向為Y軸方向，攝像機(jī)中心與無窮遠(yuǎn)直線的像l∞所確定的平面的法線方向為Z軸方向，與Y軸和Z軸正交的方向為X軸方向建立世界坐標(biāo)系。

不妨假設(shè)在該世界坐標(biāo)系下，攝像機(jī)矩陣為P＝K （R，t）＝K （r1r2r3t），因此圓心O （0，0，0，1 ）T的像為o＝K （r1r2r3t ）（0，0，0，1 ）T＝Kt，從而可得攝像機(jī)的平移向量為：

這里所求的平移向量t與實際值可能會相差一個全局比例因子。

一條圖像直線l確定一個過攝像機(jī)中心的平面，在攝像機(jī)坐標(biāo)系下，該平面的法線方向是n＝KTl，所以得到Y(jié)軸的方向為：

同理，Z軸方向的方向為：

由于R是正交矩陣，所以r1＝r2×r3。然后對r1、r2、r3歸一化得：

這就得到了攝像機(jī)旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量t，再結(jié)合內(nèi)參數(shù)矩陣K即可確定攝像機(jī)矩陣P。

4 結(jié)構(gòu)恢復(fù)

旋轉(zhuǎn)曲面是由一條平面曲線（母線）繞一條對稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，因此為了確定旋轉(zhuǎn)曲面的三維結(jié)構(gòu)，僅需確定旋轉(zhuǎn)曲面的母線和對稱軸即可，離散后就是對旋轉(zhuǎn)曲面的母線上任一點X，確定其在所設(shè)定的世界坐標(biāo)系下的高度及其到對稱軸的距離。為此，我們對圖像視在輪廓線β（光滑曲面的極值邊界線在像平面的投影）上任一點x，先確定其對應(yīng)橫截面的像，再利用已獲得的攝像機(jī)矩陣確定對應(yīng)橫截面的三維坐標(biāo)，從而獲得點x對應(yīng)的空間點X的高度及其到對稱軸的距離。

4.1 橫截面的像

為了確定圖像視在輪廓線上任一點x對應(yīng)的橫截面的像c，需要先確定一個橫截面的像作為參考。對于一般的旋轉(zhuǎn)曲面，可以通過邊緣檢測再擬合橢圓的方法從圖像中直接得到，這里設(shè)為c1（如圖1所示）。

Figure 1 Projective property of the image of revolution surface圖1 旋轉(zhuǎn)曲面像的射影性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)曲面有一個非常重要的性質(zhì)［8］：對于任意兩個橫截面（圓）的像c1和c，總存在一個平面透射，使得：

其中，l∞為無窮遠(yuǎn)直線的像，對應(yīng)平面透射G的軸（由不動點組成的直線），vx是平面透射G的頂點且位于對稱軸的像ls上（該直線上的不動點），E是3×3單位矩陣，μ被稱為特征不變量，它是不同特征值與重復(fù)特征值的比率。

攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)標(biāo)定中已經(jīng)給出無窮遠(yuǎn)直線的像l∞，因此要求c與c1之間的平面透射G，關(guān)鍵是要確定平面透射G的頂點vx和特征不變量μ。為此，先過點x做一條直線l1與l∞相交于qx，再過qx做橢圓c1的切線l2，假設(shè)切點是x1，然后過x和x1做一條直線與ls相交于vx，與l∞相交于ux（如圖1所示），則vx即為平面透射G的頂點，vx、ux、x和x1的交比即為平面透射G的特征不變量μ。

根據(jù)上述方法，對圖像的視在輪廓線上任意一點x，只要有一個參考橫截面的像c1，就可確定x所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面橫截面的像c的平面透射G，從而得到對應(yīng)x的橫截面的像為c＝G－Tc1G－1。

4.2 橫截面恢復(fù)

在確定了攝像機(jī)矩陣P和視在輪廓線上任一點x對應(yīng)的橫截面的像c之后，只要求出旋轉(zhuǎn)曲面對應(yīng)的橫截面（邊界）C的高度h和半徑r，就可實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)曲面的度量重構(gòu)。

在攝像機(jī)矩陣P作用下，二次曲線c反向投影成錐面［8］：

該錐面是一種退化的二次曲面，在齊次坐標(biāo)下可用一個4×4對稱矩陣表示，設(shè)其矩陣形式為：

與錐面Q對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面的橫截面C即為Q與Z＝h平面的交線（實際上是圓），它滿足：

圓C的圓心坐標(biāo)是OC＝ （0，0，h，1 ）T，其對應(yīng)的像為oC＝c－1l∞，因此有：

由于oC、K、r3、t均為已知，因此由（11）式即可獲得橫截面C的高度h。將其代入式（10）便可確定圓C的方程及其半徑r。

4.3 算法小結(jié)

由單幅未標(biāo)定的旋轉(zhuǎn)曲面的圖像重構(gòu)旋轉(zhuǎn)曲面的三維結(jié)構(gòu)的具體步驟如下：

（1）從旋轉(zhuǎn)曲面的圖像中擬合出兩個橢圓c1、c2（旋轉(zhuǎn)曲面橫截面的像），同時將旋轉(zhuǎn)曲面的視在輪廓線離散化得到其上若干個點xi（i＝1，…，n）；

（2）利用橢圓c1、c2的交點求出旋轉(zhuǎn)曲面在像平面上的不變量，再利用這些不變量對攝像機(jī)進(jìn)行標(biāo)定（按第3節(jié)方法求出攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)K及外參數(shù)R和t）；

（3）選擇擬合的橢圓c1作為參考橢圓，并結(jié)合得到的不變量，按4.1節(jié)方法確定過視在輪廓線上的點xi（i＝1，…，n） 的橢圓ci（旋轉(zhuǎn)曲面橫截面的像）；

（4）對每個橢圓ci，按4.2節(jié)方法確定與其對應(yīng)的圓Ci（旋轉(zhuǎn)曲面的橫截面）的高度和半徑，從而得到整個旋轉(zhuǎn)曲面的三維結(jié)構(gòu)。

5 實驗

為了驗證所給算法理論的正確性，分別用模擬與真實場景進(jìn)行了實驗驗證。

5.1 模擬實驗

首先模擬產(chǎn)生攝像機(jī)矩陣和旋轉(zhuǎn)曲面，將其投影到一幅圖像上，并對圖像點人為地加上已知方差的零均值的高斯噪聲，然后利用所給重構(gòu)算法恢復(fù)出旋轉(zhuǎn)曲面。再將恢復(fù)結(jié)果反投影到對應(yīng)的圖像上，與原來的圖像點坐標(biāo)相比，求出重投影誤差。對不同水平的高斯噪聲分別運行100次，重投影誤差的均值如圖2所示。

Figure 2 Error analysis圖2 誤差分析

5.2 真實圖像實驗

圖3 是實際拍攝的一幅大小為375×500像素的未標(biāo)定的花瓶原圖像，及擬合出的兩個橢圓c1和c2及視在輪廓線（‘＋’）。

Figure 3 Fitted ellipse and points on apparent contour line圖3 擬合的橢圓及提取的視在輪廓線上的點

首先，用這兩個橢圓c1、c2求出旋轉(zhuǎn)曲面在像平面上的不變量，并利用這些不變量對攝像機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，得到攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)和外參數(shù)分別為：

其次，以c1為參考橢圓，由平面透射求出過視在輪廓線上點xi（i＝1，…，n） 的旋轉(zhuǎn)曲面橫截面的像ci，結(jié)果如圖4所示。

Figure 4 Image of cross section of the revolution surface圖4 旋轉(zhuǎn)曲面橫截面的像

最后再由ci重構(gòu)得到與之對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面的橫截面Ci，從而獲得整個旋轉(zhuǎn)體的三維結(jié)構(gòu)。圖5顯示不同視點下重構(gòu)的三維點云，圖6顯示不同視點下的三維曲面模型及貼上紋理后的效果。圖7給出另一旋轉(zhuǎn)體的重構(gòu)結(jié)果，左起依次為原始圖像、重構(gòu)的三維點云、重構(gòu)的曲面模型及貼上紋理后的效果。

6 結(jié)束語

本文改進(jìn)了Colombo等人提出的單幅未標(biāo)定的旋轉(zhuǎn)曲面三維度量重構(gòu)的算法。在其算法中，利用不變量重構(gòu)出旋轉(zhuǎn)曲面表面的三維點，但由于誤差的存在，使本來應(yīng)該位于同一橫截面上的點不在同一橫截面上。本文所提算法利用二次曲線的性質(zhì)，直接重構(gòu)出旋轉(zhuǎn)曲面的橫截面，算法簡單并且更好地保持了旋轉(zhuǎn)曲面的整體結(jié)構(gòu)。模擬和真實圖像實驗結(jié)果驗證了算法的正確性和有效性。

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