用徑向基函數(shù)Galerkin法解一維穩(wěn)定流問題

付 鑫，余震果

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029)

用徑向基函數(shù)Galerkin法解一維穩(wěn)定流問題

付 鑫，余震果

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029)

將徑向基函數(shù)引入Galerkin法構(gòu)成了RBF Galerkin法，該方法近似函數(shù)建立在隨機(jī)分布節(jié)點(diǎn)上，無需借助網(wǎng)格，克服了傳統(tǒng)方法對網(wǎng)格的依賴。將其應(yīng)用于一維地下水穩(wěn)定流問題，推導(dǎo)計算的基本原理，編制相應(yīng)的計算程序，將計算結(jié)果與精確解進(jìn)行比較，結(jié)果表明該方法實(shí)用性強(qiáng)，計算精度高。

徑向基函數(shù);Galerkin法;一維穩(wěn)定流

目前，有限元法和有限差分法已成為地下水領(lǐng)域解決工程問題的主要方法，但它們都需要進(jìn)行初始網(wǎng)格剖分和重構(gòu)，對網(wǎng)格依賴性強(qiáng)，網(wǎng)格好壞直接影響求解結(jié)果。而RBF Galerkin法可以很好地克服這類問題。該方法只需要背景網(wǎng)格，網(wǎng)格只用于數(shù)值積分的計算。因此在處理地下水流問題時與其他方法相比，具有計算精度高、穩(wěn)定性好且易于實(shí)施等優(yōu)點(diǎn)。本文用RBF Galerkin法解一維地下水穩(wěn)定流問題，推導(dǎo)了計算的基本原理，用MATIAB程序?qū)崿F(xiàn)該算法，并將計算結(jié)果與精確解進(jìn)行比較。

1 用徑向基函數(shù)Galerkin法解一維穩(wěn)定流問題

(其中:N表示節(jié)點(diǎn)總數(shù)，ci為待定系數(shù))。

考慮如下一維地下水穩(wěn)定流問題

其中:H為地下水水頭，f為源匯項(xiàng)。

取 χ ={x1，x2，…xN} 取，用N個節(jié)點(diǎn)xj(j=1，2，…N) 把求解區(qū)域 I離散，其中 x1，x2，…xN－2為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，xN－1，xN為邊界節(jié)點(diǎn)，將水頭值函數(shù)H(x)的近似解(x)用試探函數(shù)

表示，其中N為節(jié)點(diǎn)總數(shù)，cj為待定系數(shù)，φj(x)為以各節(jié)點(diǎn)xj為中心的徑向基函數(shù)。

把(4)、(5)兩式代入(2)式，整理得

將(6)、(7)兩式聯(lián)立寫成矩陣方程

通過式(8)解出 C即 cj，將其代入式(4)，得到近似解(x)。

2 承壓含水層穩(wěn)定流問題

將研究區(qū)域［0，100］進(jìn)行10等分，即N=11。用MATLAB編制相應(yīng)程序，選取Gaussian徑向基函數(shù)為近似函數(shù)，通過試驗(yàn)獲得最佳參數(shù)ep，得到了比較精確的結(jié)果，圖2為精確解與近似解的對比。

圖1

圖2

3 非承壓含水層穩(wěn)定流問題

如圖3所示，一均質(zhì)、等向非承壓含水層，滲流區(qū)的上邊界為斷面線Ⅰ，已知水頭h1=10 m，下邊界為斷面線Ⅱ，已知水頭h2=7 m，滲透系數(shù)K=0.864 m/d，L=100 m，并且在區(qū)域內(nèi)滿足

圖4為非承壓含水層中地下水向河、渠穩(wěn)定流動時精確解與近似解的對比。

圖3

圖4

4 有垂直補(bǔ)給非承壓含水層穩(wěn)定流問題

如圖5所示，一具有水平不透水底層，且有降雨補(bǔ)給ε=0.004 m/d的非承壓含水層，上邊界為斷面線Ⅰ，已知水頭h1=10 m，下邊界為斷面線Ⅱ，已知水頭h2=7 m，滲透系數(shù)K=0.864 m/d，L=100 m，并且在區(qū)域內(nèi)滿足

圖5

圖6

5 結(jié)語

本文的方法及應(yīng)用顯示了由徑向基函數(shù)與無網(wǎng)格伽遼金法相結(jié)合構(gòu)成的徑向基函數(shù)Galerkin法的適用性與合理性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果令人滿意，表明該方法是一種計算精度高且有效的求解方法，在工程中具有廣闊的應(yīng)用前景。今后的進(jìn)一步工作將著眼于徑向基函數(shù)Galerkin法的推廣應(yīng)用，使其適用于地形復(fù)雜的二維地下水流問題。

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Application of RBF Galerkin Method in One－Dimensional Steady Flow Simulation Model

Fu Xin，Yu Zhenguo
(School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian116029，Liaoning)

As a combination of radial basis function and Galerkin，RBF Galerkin method can be used without internet by building its approximation function on a series of notes.By using RBF Galerkin method，the paper deduces formula and computation program of one－dimensional steady flow simulation model.Comparison of result got from the new method and exact solution indicates that RBF Galerkin method is widely applicable and considerably accurate.

RBF，Galerkin method and one－dimensional steady flow

P641.12

A

1004－1184(2013)05－0029－03

2013-05-13

付鑫(1989-)，女，遼寧阜新人，在讀碩士研究生，主攻方向:偏微分?jǐn)?shù)值解法研究。