主元分析法在MIMO 系統(tǒng)中的故障檢測與診斷研究?

曹立學(xué)

（陜西理工學(xué)院 電氣工程學(xué)院，陜西 漢中 723003）

0 引言

在連續(xù)生產(chǎn)過程系統(tǒng)中，不可避免地會出現(xiàn)局部控制回路發(fā)生故障，或某些環(huán)節(jié)失效，都會導(dǎo)致產(chǎn)品質(zhì)量下降，能耗上升，甚至?xí)箯S級控制系統(tǒng)癱瘓，發(fā)生安全事故，所以系統(tǒng)的故障檢測與診斷是系統(tǒng)安全運(yùn)行的重要一環(huán)。另外，過程控制系統(tǒng)一般都具有建模困難、過程參數(shù)眾多，并且各個(gè)參數(shù)之間存在相互關(guān)聯(lián)相互影響的現(xiàn)象，由于復(fù)雜工業(yè)過程中存在著各種隨機(jī)干擾因素，此時(shí)機(jī)理分析診斷方法則很難應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，而多元統(tǒng)計(jì)分析方法是一種不依賴于過程內(nèi)在機(jī)理的建模方法，它只需要根據(jù)過程相關(guān)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，再根據(jù)該統(tǒng)計(jì)模型完成過程的檢測與診斷。

本文應(yīng)用主元分析法（Principal Component Analysis，PCA）對多輸入多輸出（MIMO）控制系統(tǒng)中的故障進(jìn)行檢測與診斷，為系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)控制及安全運(yùn)行提供保障。

1 主元分析基本理論

主元分析法主要是通過將采集到的高維信息投影到低維子空間，并保留主要變化信息及特征，再從新數(shù)據(jù)信息中提取相應(yīng)要求的主元，來簡化數(shù)據(jù)的分析復(fù)雜程度。

設(shè)多變量數(shù)據(jù)矩陣為X∈Rm×n，每一列對應(yīng)一個(gè)參數(shù)變量，每一行對應(yīng)一個(gè)數(shù)據(jù)樣本。對Xm×n進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣為X＊，對矩陣X＊可進(jìn)行奇異值分解，分解后為m個(gè)向量的外積之和，即：

其中：ti（i＝1，2，3，…，m）稱作得分向量，也稱為 X＊的主元，用來提取采樣數(shù)據(jù)之間的相關(guān)聯(lián)信息；pi是主元的特征向量，也稱負(fù)荷向量，主要用來提取參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)信息。若假設(shè)：

則式（1）進(jìn)一步可寫為：

其中：E為誤差矩陣，是X＊后面比較小的負(fù)荷向量，用以提取隨機(jī)噪聲和模型誤差信息，一般可以略去。此時(shí)負(fù)荷向量p1代表X＊變化的最大方向，依次類推。各個(gè)得分向量之間是正交的，即對任何i和j，當(dāng)i≠j時(shí)，滿足tTitj＝0。各個(gè)負(fù)荷向量之間也是正交的，且每個(gè)負(fù)荷向量的長度都是1，即：

合理選取主元的個(gè)數(shù)非常重要。主元個(gè)數(shù)選取的多則能接近真實(shí)模型，得到的結(jié)果相對比較精確，但這樣會增加分析與判斷的復(fù)雜性，無法有效消除噪聲的影響；若主元個(gè)數(shù)選取過少，就不會充分反映原始數(shù)據(jù)信息中的主要內(nèi)容，相當(dāng)于人為增加了分析誤差。在實(shí)際應(yīng)用中，一般采用貢獻(xiàn)率累積方差百分比（Cumulative Percent Variance，CPV）法、能量百分比法或交叉檢驗(yàn)法。本文主要采用累積和百分比法進(jìn)行主元的選取。

2 統(tǒng)計(jì)過程控制圖

2．1 診斷模型的建立

CPA統(tǒng)計(jì)分析是把過程的數(shù)據(jù)向量垂直投影于兩正交的主元空間和誤差空間上，并對其相對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)信息進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，用來判斷過程的運(yùn)行情況。主要運(yùn)用多變量統(tǒng)計(jì)過程控制圖，一般有主元得分圖、Hotelling T2圖、貢獻(xiàn)圖、平方預(yù)測誤差SPE圖。

2．2 統(tǒng)計(jì)控制圖

建立CPA模型后一般用SPE圖和Hotelling T2圖進(jìn)行過程監(jiān)測。看生產(chǎn)過程的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)是否處于平方預(yù)測誤差SPE和Hotelling T2的控制限之下，若超出控制限，則表示出現(xiàn)異常狀況。

2．2．1 Hotelling T2圖

Hotelling T2圖表示的是得分向量的標(biāo)準(zhǔn)平方和，它說明了每個(gè)數(shù)據(jù)樣本在變化趨勢和幅度上偏離真實(shí)模型的程度大小。第k時(shí)刻主元模型的T2統(tǒng)計(jì)量定義為：

其中：ti（k）為得分向量ti的第k 行值為ti的估計(jì)方差。T2統(tǒng)計(jì)量的控制限可利用F分布按下式進(jìn)行計(jì)算：

其中：m為樣本個(gè)數(shù)；k為保留的主元個(gè)數(shù)；F（k，m－1，α）為置信度為α、自由度為（k，m－1）條件時(shí)的F分布的上限值。若T2＞則表明過程出現(xiàn)異常情況。

基于Hotelling T2的假設(shè)判斷只能用在主元子空間中某些變量的變化，如果存在測量的參數(shù)沒有被體現(xiàn)在主元模型中，則這個(gè)參數(shù)的故障也就不能通過Hotelling T2圖進(jìn)行檢測。

2．2．2 SPE圖

統(tǒng)計(jì)量平方預(yù)測誤差（SPE）在i時(shí)刻的值是標(biāo)量，它說明此時(shí)刻測量值對主元模型的偏離大小，表明從一個(gè)采樣樣本點(diǎn)到模型空間的距離。SPE統(tǒng)計(jì)量也被稱為Q統(tǒng)計(jì)量。主元模型對第i個(gè)樣本的平方預(yù)測誤差可寫為：

其中：ei為誤差矩陣E 的第i行；Pk＝［p1p2…pk］；I為單位陣。SPE統(tǒng)計(jì)量反映數(shù)據(jù)當(dāng)中沒有被主元模型能夠解釋的變化，若SPE太大則說明過程出現(xiàn)了異常情況。

當(dāng)檢驗(yàn)水平為α?xí)r，其SPE的控制限可根據(jù)下式來計(jì)算：

其中：θj＝為X＊協(xié)方差矩陣的特征值；h0＝1為置信度為α?xí)r的正態(tài)分布的臨界值。如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果Q＜Qα，說明此時(shí)的SPE統(tǒng)計(jì)正常。

2．2．3 主元得分圖

主元得分圖反映了主元模型內(nèi)部各個(gè)主元素跟隨時(shí)間變化的情況，其得分向量可用式ti＝X＊pi來計(jì)算。同樣主元得分向量的控制限為：

其中：ti，α為置信度為α 的得分向量。如果ti＞ti，α，則說明此時(shí)刻主元得分分析異常；否則，說明統(tǒng)計(jì)正常。

2．2．4 貢獻(xiàn)圖

當(dāng)Q統(tǒng)計(jì)量或T2統(tǒng)計(jì)量超過其控制極限時(shí)，則說明過程中可能出現(xiàn)了異常，但結(jié)果并不能從Q統(tǒng)計(jì)圖或Hotelling T2圖中找出發(fā)生的故障，必須借助貢獻(xiàn)圖來確定故障源的位置。第i個(gè)過程變量對在第k時(shí)刻的Q統(tǒng)計(jì)量的貢獻(xiàn)可表示為：

3 應(yīng)用

本文以某2I2O液位控制系統(tǒng)為例，該液位控制系統(tǒng)的流程圖如圖1所示。系統(tǒng)要求對兩個(gè)水箱的液位h1、h2進(jìn)行定值控制，1＃水箱被控變量用LT1測量，通過u1控制流量q1，2＃水箱用LT2進(jìn)行測量，通過u2控制流量q2。兩容器之間通過閥門有相互關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)系數(shù)為f0，另外，兩個(gè)水箱的自泄流分別為d1、d2。

圖1 2I2O液位控制系統(tǒng)示意圖

采用PCA的分析設(shè)計(jì)方法，分別對LT1、LT2的測量量及u1、q1、u2、q2、f0等7個(gè)變量進(jìn)行檢測。系統(tǒng)在正常運(yùn)行一些時(shí)間后可以進(jìn)行故障測試，分別取正常運(yùn)行階段和故障階段的數(shù)據(jù)并建立模型，得出相應(yīng)主元的貢獻(xiàn)率，確定主元個(gè)數(shù)為2，并分別計(jì)算統(tǒng)計(jì)指標(biāo)SPE、Hotelling T2、主元負(fù)荷向量及得分向量，確定其置信度為95%時(shí)的控制限分別為：Qα＝0．275 2（95%），＝7．762（95%）。

圖2和圖3分別給出了SPE統(tǒng)計(jì)量圖和Hotelling T2統(tǒng)計(jì)圖。由圖2和圖3可以看出：系統(tǒng)在前面時(shí)間運(yùn)行正常，而到后半階段出現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)超出控制限情況，說明該階段樣本出現(xiàn)了異常，系統(tǒng)有某部分出現(xiàn)了故障。通過對得分向量圖進(jìn)行分析比較，發(fā)現(xiàn)第1個(gè)主元得分向量沒有測量點(diǎn)偏移，而第2個(gè)主元得分向量圖中后半階段有多個(gè)測量點(diǎn)超過置信限，再通過觀察第2主元負(fù)荷向量圖發(fā)現(xiàn)第5和第6兩個(gè)變量對第2主元貢獻(xiàn)率最大，而這兩個(gè)變量又是控制第2個(gè)容器的液位大小的進(jìn)料情況，由此可判斷是第2個(gè)控制回路出現(xiàn)故障，經(jīng)查驗(yàn)是第2個(gè)調(diào)節(jié)閥出現(xiàn)故障，開度幅度超出系統(tǒng)要求。

圖2 SPE統(tǒng)計(jì)量圖

4 結(jié)論

采用主元分析（PCA）法依據(jù)多輸入多輸出系統(tǒng)的原始復(fù)雜數(shù)據(jù)信息，實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜數(shù)據(jù)信息的特征提取，并構(gòu)建了相應(yīng)過程的主元模型。主元模型丟棄了部分誤差而保留能體現(xiàn)數(shù)據(jù)變化的主要方向，通過檢驗(yàn)新的數(shù)據(jù)樣本對于主元模型的偏離程度來發(fā)現(xiàn)異常和故障。仿真結(jié)果與實(shí)際運(yùn)行表明，多變量統(tǒng)計(jì)過程能夠根據(jù)過程的變化做出判斷，從而達(dá)到檢測與診斷的目的，提高系統(tǒng)的安全可靠性。

圖3 Hotelling T2統(tǒng)計(jì)圖

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