離散數(shù)學(xué)命題符號化的三種方法

郭 蕓，王朝暉

(蘇州大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006)

離散數(shù)學(xué)命題符號化的三種方法

郭 蕓，王朝暉

(蘇州大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006)

命題符號化是離散數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，看似簡單，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中卻常常犯錯，甚至經(jīng)典教材配套用書也存在一些錯誤.針對這一教學(xué)難題，分析出錯的原因，并結(jié)合教學(xué)實際，提出了解決命題符號化問題的三種方法：真值表法、類比法和平衡主謂法.

離散數(shù)學(xué)；數(shù)理邏輯；命題符號化

離散數(shù)學(xué)是計算機科學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論之一，同時也是培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維、提高學(xué)生素質(zhì)的核心課程.在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中，解題方法起著特殊而重要的作用.通過解題方法的訓(xùn)練，理論聯(lián)系實際，可以培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題的能力.

根據(jù)多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，對具體題目的簡單批改和糾正效果并不明顯，因為這樣做只是讓學(xué)生“知其然”，未能從本質(zhì)上認識錯誤，在遇到變化過的題目時學(xué)生還會困惑.只有從本質(zhì)上剖析錯誤原因，找出避免錯誤的技巧和方法，讓學(xué)生“知其所以然”，才能從根本上幫助學(xué)生杜絕錯誤的發(fā)生.在教學(xué)過程中總結(jié)了三種方法：真值表法、類比法和平衡主謂法.下面結(jié)合具體的例子來進行闡述.

1 真值表法

在命題符號化時，如果不能確定用哪個聯(lián)結(jié)詞，可以采用真值表法：首先列出所有可能的命題公式的真值表，然后比較原命題的含義與這些命題公式的真值情況，最后根據(jù)比較結(jié)果來確定聯(lián)結(jié)詞.

左孝凌等[1]編寫的《離散數(shù)學(xué)》在國內(nèi)頗具影響，許多高校將它用作本科生和研究生的教材.對于該書的第1章第3節(jié)習(xí)題(7)[1]中的命題(a)的符號化，配套的習(xí)題解答書[2]，也犯了這類錯誤：命題(a)為“假如上午不下雨，我去看電影，否則就在家里讀書或看報.”其給出的解答是“設(shè)P：上午下雨.Q：我去看電影.R：我在家里讀書.S：我在家里看報.則該命題可符號化為

另一本習(xí)題解答書[3]將該命題符號化為

而有的課件則認為應(yīng)該符號化為

以上三種解答代表了的三種不同理解.為了判斷究竟哪種解法正確，可以采用如下真值表法.

對照命題(a)的原意不難發(fā)現(xiàn)，當以下兩種情況發(fā)生時，命題(a)為假.

1) 上午沒下雨，但我沒去看電影(即P=F，Q=F)；

2) 上午下雨，但我沒在家里讀書或看報(即P=T，W=F).

情況1)對應(yīng)于表1的7、8兩列，情況2)對應(yīng)于表1的2、4兩列，在這四列中，命題公式(1)、(3)的真值為T，命題公式(2)的真值為F，所以，命題公式(2)符合要求.

表1 真值表

2 類比法

在使用條件聯(lián)結(jié)詞→符號化命題時，若不確定將哪部分作為前件、哪部分作為后件，可以采用類比法：把原命題與自己熟悉的句式作比較，先“翻譯”成熟悉的句式，再確定前后件.

條件命題P→Q表示“如果命題P成立，那么命題Q成立.”其中，P稱為前件，Q稱為后件，P是Q的充分條件，Q是P的必要條件.可以用條件命題表示的句式很多，除了“如果…，那么…”外，還有“若…，則…”，“只要…，就…”，“只有…，才…”，“因為…，所以…”，“…，僅當…”，“除非…，才…”，“除非…，否則非…”，“…，除非…”等.學(xué)生在解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)的主要錯誤是顛倒了前件和后件.

為了避免這樣的錯誤，首先把(a)“只要P，就Q”，(b)“只有P，才Q”，作為兩個典型句式重點講解，讓學(xué)生理解：在句式(a)中，P是Q的充分條件，應(yīng)符號化為P→Q；在句式(b)中，P是Q的必要條件，應(yīng)符號化為Q→P.然后要求學(xué)生在處理其它句式時，先將該句式“翻譯”成句式(a)或(b)，再進行符號化.

例如，設(shè)P：我有空.Q：我將上街.則命題“除非我有空，我才會上街.”可以“翻譯”成“只有我有空，我才會上街.”因而可以符號化為Q→P.而命題“我將上街，除非我沒空.”可以“翻譯”成“只要我有空，我就會上街.”，因而原命題可以符號化為P→Q.

事實上，上文提到的一些句式都能“翻譯”成句式(a)或(b)，其“翻譯”和符號化結(jié)果如表2所示.

3 平衡主謂法

表2 常見句式的“翻譯”和符號化結(jié)果

在對命題進行符號化時，如果遇到主語是“A和B”或“A與B”等表示多人(或物)的形式時，若不確定該命題是簡單命題還是復(fù)合命題，可以采用平衡主謂法.分析謂語的性質(zhì)，如果謂語也是多人(或物)間的關(guān)系或者需要多人(或物)共同完成的一件事情，則該命題是一個簡單命題；否則該命題就是復(fù)合命題，應(yīng)被分解成多個簡單命題并用聯(lián)結(jié)詞連接.

4 結(jié)論

對于數(shù)理邏輯這個學(xué)科分支來說，命題符號化是基礎(chǔ)也是難點，初次接觸的學(xué)生不容易完全掌握.以上提出的三種方法，希望能對學(xué)生有所幫助，給同仁有所借鑒.當然，命題符號化的題目形式千變?nèi)f化，在教學(xué)過程中還應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的靈活性以及歸納和創(chuàng)新的能力.

[1]左孝凌，李為鑑，劉永才. 離散數(shù)學(xué)[M]. 上海：上海科學(xué)技術(shù)文獻出版社，2007：1-12.

[2]左孝凌，李為鑑，劉永才. 離散數(shù)學(xué)——理論 分析 題解[M]. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻出版社，2005：19-64.

[3]于晶晶，張愛琴，彭程. 離散數(shù)學(xué)——全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解[M]. 北京：中國時代經(jīng)濟出版社，2007：12-15..

[4]何鋒. 離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的命題符號化難點討論[J]. 計算機教育，2007(S)：38-40.

[5]陳敬華，胡松林. 關(guān)于命題邏輯中兩個問題的思考[J]. 湖北師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，31(4)：103-106.

[6]唐金文. 解析命題符號化[J]. 曲靖師范學(xué)院學(xué)報，2002，21(6)：71-73.

Three Skills of Proposition Symbolization in Discrete Mathematics

GUO Yun，WANG Zhao-hui

(School of Computer Science & Technology，Soochow University，Suzhou 215006，China)

Proposition symbolization，which appears to be easy but is error-prone for students，is one of the important contents of discrete mathematics.Errors even can be found in the answer books of classic teaching materials.To solve this difficult teaching problem，the cause of errors is analyzed and three skills，namely truth table method，analogism and the method of balancing subject and predicate，are put forward according to teaching practice.

discrete mathematics；mathematical logic；proposition symbolization

G642

A

1008-5475(2013)03-0044-03

2013-05-12；

2013-06-09

蘇州市應(yīng)用基礎(chǔ)研究計劃(SYG201116)

郭 蕓(1979-)，女，江蘇蘇州人，講師，碩士，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計和人工智能研究.

(責任編輯：沈鳳英)