群體多目標(biāo)優(yōu)化問題的α度聯(lián)合有效解及最優(yōu)性條件

陸 晶， 賀 莉， 魏彥吉， 劉慶懷＊

（1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012；2.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)發(fā)展學(xué)院 基礎(chǔ)部，吉林 長(zhǎng)春 130600）

0 引 言

設(shè)有決策群體G＝｛DM1，DM2，…，DMl｝，其中DMr是第r（r＝1，2，…，l，l≥2）個(gè)決策者?？紤]群體多目標(biāo)優(yōu)化問題:

文獻(xiàn)［1］提出了多人多目標(biāo)決策的均衡協(xié)調(diào)解，文獻(xiàn)［2］給出了多目標(biāo)群體決策的最優(yōu)性條件，文獻(xiàn)［3］利用供選方案的有效數(shù)引進(jìn)一類基本的聯(lián)合有效解概念，并給出了解的最優(yōu)性必要條件，文獻(xiàn)［4］給出了群體多目標(biāo)決策聯(lián)合有效解類的幾個(gè)最優(yōu)性充分條件，文獻(xiàn)［5］給出求解群體多目標(biāo)凸規(guī)劃的一個(gè)交互規(guī)劃算法，文獻(xiàn)［6］提出了求解群體多指標(biāo)決策問題的偏愛度法，文獻(xiàn)［7］定義了一類帶參數(shù)的α－較多聯(lián)合有效解，同時(shí)得到了這類解的最優(yōu)性必要條件和充分條件，文獻(xiàn)［8-9］介紹了多目標(biāo)和群體多目標(biāo)理論。

由群體多目標(biāo)優(yōu)化（GMP）關(guān)于x∈X的有效數(shù)和弱有效數(shù)的定義可知，每個(gè)決策者對(duì)同一個(gè)方案所起的作用是相同的，即對(duì)同一個(gè)方案，每個(gè)決策者的偏愛是相同的。但是在現(xiàn)實(shí)世界中，每個(gè)決策者的偏愛是不可能一致的。對(duì)于同一個(gè)方案，每個(gè)決策者根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)、所接受教育的程度、對(duì)方案的了解深度、個(gè)人所研究的方向等不同，對(duì)同一個(gè)方案所起決定作用或重要性是不同的。因此，文中假設(shè)各個(gè)決策者對(duì)同一個(gè)方案的作用或重要性已排好序（第一個(gè)決策者的作用最大，第二個(gè)次之，依次下去），即按照作用的大小已經(jīng)排序。從而相當(dāng)于對(duì)于不同的決策者，都有相應(yīng)的權(quán)序。記這個(gè)權(quán)序?yàn)镠。

在這個(gè)假設(shè)條件下來定義群體多目標(biāo)優(yōu)化問題α度聯(lián)合（弱）有效解，然后給出群體多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)性必要條件。

1 基本概念

設(shè)共有l(wèi)個(gè)決策者，且這l個(gè)決策者已經(jīng)排好序。并把他們分成兩組，把決策作用大的［l／3］個(gè)人分到第一組，其余的l－［l／3］個(gè)人分到第二組。

根據(jù)上述的分組方案，下面給出權(quán)序滿意度。

定義1 設(shè)X≠Φ，x∈X，令

則稱

是群體多目標(biāo)問題（GMP）關(guān)于x的滿意度。

定義2 設(shè)X≠Φ，x∈X，令

則稱

是群體多目標(biāo)問題（GMP）關(guān)于x的弱滿意度。

1）若μH（x～）≥α，則稱x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問題（GMP）的α度聯(lián)合有效解，其解集記作EHα（fG，X）。

2）若μHw（x～）≥α，則稱x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問題（GMP）的α度聯(lián)合弱有效解，其解集記作

由定義3易知，如果X是凸集，fr:X→Rmr（r＝1，2，…，l）是嚴(yán)格凸向量函數(shù)，則有

EHα（fG，X）＝EHαw（fG，X）

定義4 設(shè)X≠Φ，x∈X

1）若μH（x～）＝1，則稱x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問題（GMP）的群體一致聯(lián)合有效解。

定義5 設(shè)X≠φ，x∈X，α～＝0.5。

1）若μH（x～）≥0.5，則稱x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問題（GMP）的可接受聯(lián)合有效解，其解集記作

2）若μHw（x～）≥0.5，則稱x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問題（GMP）的可接受聯(lián)合弱有效解，其解集記作

文中給出的群體多目標(biāo)問題（GMP）關(guān)于x的滿意度和弱滿意度的定義。這兩個(gè)定義并不是絕對(duì)的，也可以選擇其它的定義方法。

2 必要條件

下面給出問題（GMP）的α度聯(lián)合有效解和α度聯(lián)合弱有效解的Fritz-John型必要條件和Kuhn-Tucker型必要條件。

設(shè)群體多目標(biāo)決策問題（GMP）的供選方案集X＝｛x∈Rn｜g（x）≤0，h（x）＝0｝非空，其中g(shù):Rn→Rp和h:Rn→Rq在x～∈X處一階可微。記L＝2｛1，2，…，l｝是由｛1，2，…，l｝中所有子集組成的冪集，而Lt＝｛Ω∈L｜｜Ω｜＝t｝，其中｜Ω｜表示集合Ω中元素的個(gè)數(shù)。

引理1 設(shè)x～∈X，x～是t個(gè)決策者的有效解，μH（x～）是群體多目標(biāo)問題（GMP）關(guān)于x～的滿意度，群體中對(duì)方案x～滿意的個(gè)體集合為Ωt∈Lt，那么如果?α∈［0，1］，滿足μH（x～）≥α，則有

證明 因?yàn)?/p>

即

所以

因此有

由于t是自然數(shù)，所以得到

定理1 （Fritz-John型必要條件）

設(shè)X≠Φ，fr:X→Rmr（mr≥2）（r＝1，2，…，l），g:Rn→Rp和h:Rn→Rq在x～∈X處一階可微。若，則存在

以及

使得

對(duì)任意的r∈Ωt有x～∈Ew（fr，X）。因此，由多目標(biāo)優(yōu)化的Fritz-John型必要條件知，存在ω～r∈Rmr＋（r∈Ωt），λ～∈Rp＋，μ～∈Rq使得

對(duì)式（2）關(guān)于r求和，得

令

即得式（1）。

定理2 （Kuhn-Tucker型必要條件）

設(shè)X≠φ，fr:X→Rmr（mr≥2）（r＝1，2，…，l），g:Rn→Rp和h:Rn→Rq在x～∈X處一階可微。若，X 在x～處滿足 Kuhn-Tucker約束規(guī)格，則存在

以及

使得

又因?yàn)閄 在x～處滿足Kuhn-Tucker約束規(guī)格，于是存在

使得對(duì)任意的r∈Ωt有x～∈Ew（fr，X）。因此，由Kuhn-Tucker型必要條件:存在

使得

對(duì)式（4）r求和得

令

即得式（3）。

3 結(jié) 語(yǔ)

給出了群體多目標(biāo)優(yōu)化問題的權(quán)序α度群體有效解和弱有效解的定義，同時(shí)還給出了解的最優(yōu)性必要條件（Fritz-John型必要條件和Kuhn-Tucker型必要條件），并給出了證明。進(jìn)一步還將給出解的最優(yōu)性充分條件與算法等。

［1］ 祝世京，溫鵬，陳延.多人多目標(biāo)決策的均衡協(xié)調(diào)解［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，1993，8（1）:9-15.

［2］ 林銼云.多目標(biāo)群體決策的最優(yōu)性條件［J］.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，19（1）:43-50.

［3］ 胡毓達(dá).群體多目標(biāo)決策的聯(lián)合有效解類及其最優(yōu)性條件［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，1999（6）:642-645.

［4］ 胡毓達(dá)，于麗英.群體多目標(biāo)決策聯(lián)合有效解類的幾個(gè)最優(yōu)性充分條件［J］.運(yùn)籌學(xué)報(bào)，2000，4（4）:32-36.

［5］ 王曉敏.求解群體多目標(biāo)凸規(guī)劃的一個(gè)交互規(guī)劃算法［J］.運(yùn)籌學(xué)雜志，1996，15（1）:37-46.

［6］ 胡毓達(dá)，田川.求解群體多指標(biāo)決策問題的偏愛度法［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1996，16（3）:52-56.

［7］ 楊雷，王中興，于麗英.群體多目標(biāo)決策α－較多聯(lián)合有效解類的最優(yōu)性條件［J］.貴州大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，17（2）:69-81.

［8］ 胡毓達(dá).多目標(biāo)規(guī)劃有效性理論［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1994.

［9］ Lewis H S，Butler T W.Aninteractive framework for multipersen，multiobjective decision［J］.Decisin Sciences，1993，24（1）:1-22.

［10］ Huang C L，Lin M J.Group decision making under multiple criteria［M］.Berlin:Springer-Verlag，1987.