基于SIMP 理論的電動汽車車身多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化

謝倫杰，張維剛，常偉波，崔 杰

(湖南大學(xué)，汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082)

前言

拓?fù)鋬?yōu)化是一種根據(jù)約束、載荷和優(yōu)化目標(biāo)而尋求材料最佳分配的優(yōu)化方法，主要應(yīng)用在產(chǎn)品開發(fā)的概念設(shè)計(jì)階段。拓?fù)鋬?yōu)化在設(shè)計(jì)初始階段即被引入，可優(yōu)化空間大，對最終產(chǎn)品的成本和性能有非常重要的影響［1］。電動汽車能有效解決能源短缺和環(huán)境污染問題，已成為汽車行業(yè)的研究熱點(diǎn)。由于驅(qū)動、儲能裝置的特殊性，傳統(tǒng)的車身結(jié)構(gòu)難以滿足電動汽車的性能要求［2］;電動汽車主要通過柔性的電線傳遞能量，其各部件的布置具有很大的靈活性，這為拓?fù)鋬?yōu)化創(chuàng)造了有利的條件。

目前電動汽車車身的拓?fù)鋬?yōu)化主要集中在單目標(biāo)的優(yōu)化分析［3-5］，但車身結(jié)構(gòu)作為承載基體，須滿足多種靜態(tài)工況和動態(tài)工況下的性能要求，是一個多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題［6］。為了同時(shí)滿足電動汽車車身多種靜態(tài)載荷工況和動態(tài)頻率特性的要求，本文中以平均柔度最小和平均頻率最大為總目標(biāo)，對電動汽車車身實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，得到較為清晰的承載結(jié)構(gòu)，避免了單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化無法同時(shí)考慮其他因素的缺點(diǎn)。

1 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型及算法

1.1 SIMP插值模型

拓?fù)鋬?yōu)化是一個“0-1”問題，即結(jié)構(gòu)件材料的“有”與“無”的問題。由于不可能把設(shè)計(jì)區(qū)域中的每個點(diǎn)都作為一個設(shè)計(jì)變量，故必須對設(shè)計(jì)區(qū)域進(jìn)行離散，但離散問題在數(shù)學(xué)上很難處理，通常將此問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)問題去研究，變密度法就是這一思路的產(chǎn)物［7］，其基本思想是人為引入一種假想的密度可變材料，優(yōu)化時(shí)以材料密度為設(shè)計(jì)變量，將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)換為材料的最優(yōu)分布問題。

文獻(xiàn)［8］中對密度法材料插值模型進(jìn)行研究，提出一種基于正交各向同性材料密度冪指數(shù)形式的帶懲罰的實(shí)體各向同性材料(solid isotropic material with punishment，SIPM)，即變密度法材料密度插值理論。優(yōu)化時(shí)以單元設(shè)計(jì)變量的大小決定單元取舍，采用懲罰因子約束抑制介于0～1之間的單元，使中間密度值盡量向0與1兩端聚集，使連續(xù)變量的拓?fù)鋬?yōu)化模型能很好地逼近0-1離散變量的優(yōu)化模型。SIMP材料插值模型假設(shè)材料的彈性張量各向同性，泊松比為與密度無關(guān)的常量，材料屬性隨著單元相對密度的變化而變化，其具體關(guān)系式［9］為

式中:E0和E(ρ)為初始和優(yōu)化后彈性模量;K0和K(ρ)為初始和優(yōu)化后剛度矩陣;P為懲罰因子，P＞1;ρ為材料密度;ρmin為材料為空的最小密度值。

1.2 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.2.1 靜態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

靜態(tài)單工況下，以結(jié)構(gòu)單元的相對密度作為設(shè)計(jì)變量，以體積分?jǐn)?shù)作為約束條件，以結(jié)構(gòu)柔度的最小化(即剛度最大化)作為目標(biāo)函數(shù)，建立基于SIMP理論的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型:

式中:ρi為結(jié)構(gòu)單元的相對密度;C為結(jié)構(gòu)的總體柔度;U為位移矩陣;P為懲罰因子;K為優(yōu)化前的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣;F為力列向量;ui為單元位移列向量;k0為結(jié)構(gòu)初始單元剛度矩陣;V為優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)總體積;V0為初始結(jié)構(gòu)總體積;α為體積分?jǐn)?shù);vi為優(yōu)化后的單元體積;ρmin為設(shè)計(jì)變量的下限，其目的是防止單元剛度矩陣奇異。

多工況情況下，不同的載荷工況將得到不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)的多工況優(yōu)化問題采用線性加權(quán)疊加法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解，但對于非凸優(yōu)化問題來說，該方法不能確保得到的所有帕累托(pareto)解為最優(yōu)解［10］，故采用折衷規(guī)劃法結(jié)合功效函數(shù)法來解決此問題。折衷規(guī)劃法的基本思想是把多個子目標(biāo)函數(shù)正規(guī)化，并給每個子目標(biāo)加權(quán)后合成一個單目標(biāo)。功效函數(shù)法是根據(jù)多目標(biāo)規(guī)劃原理，對每一項(xiàng)子目標(biāo)確定一個理想值和不允許值，以理想值為上限，不允許值為下限，再經(jīng)過加權(quán)平均進(jìn)行綜合，從而評價(jià)被研究對象的綜合狀況［11］。由折衷規(guī)劃法結(jié)合功效函數(shù)法得到靜態(tài)多工況下拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù):

式中:m為載荷工況總數(shù);wk為第k個工況的權(quán)值;P為懲罰因子(P≥2);Ck(ρ)為第k個工況的柔度目標(biāo)函數(shù)、分別為第k個工況柔度目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值。

1.2.2 動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化是為了改善結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性。如果將某一階頻率的最大化作為目標(biāo)函數(shù)，在優(yōu)化迭代過程中，由于結(jié)構(gòu)材料的刪除等修改，當(dāng)一個階次的頻率達(dá)到最大時(shí)，其他階次的頻率可能降到一個較低的值，幾階頻率之間可能相互調(diào)換次序，發(fā)生模態(tài)交換現(xiàn)象，從而引起振蕩并干擾模型求解收斂，使優(yōu)化設(shè)計(jì)的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證。為了克服這種現(xiàn)象，采用平均頻率公式［12］來定義優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，建立動態(tài)頻率拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型:

式中:Λ(ρ)為平均頻率;λj為第 j階特征頻率;λ0、s為給定的參數(shù)，用來調(diào)整目標(biāo)函數(shù);wj為第j階頻率的權(quán)值系數(shù);f為需要優(yōu)化的低階頻率的階次;M為總質(zhì)量矩陣;φj是第j階振型向量。

1.2.3 靜態(tài)-動態(tài)聯(lián)合拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

為了使優(yōu)化結(jié)果具有良好的靜態(tài)特性和動態(tài)特性，同時(shí)考慮靜態(tài)剛度目標(biāo)和動態(tài)振動頻率目標(biāo)為拓?fù)鋬?yōu)化的總目標(biāo)函數(shù)。由于兩者的數(shù)量級存在較大的差異，計(jì)算時(shí)容易忽略小數(shù)量級目標(biāo)函數(shù)在優(yōu)化中的作用，使計(jì)算結(jié)果受到數(shù)量級高的目標(biāo)函數(shù)的支配。為了平衡兩者數(shù)量級之間的差異，目標(biāo)函數(shù)先經(jīng)如下形式的歸一化定義:

式中:fi(x)為第i個目標(biāo)函數(shù);wi為第i個目標(biāo)函數(shù)的權(quán)系數(shù);x為設(shè)計(jì)變量;si為標(biāo)度因子，使每個目標(biāo)函數(shù)有相同數(shù)量級，并在優(yōu)化中占有同等地位。

建立靜態(tài)-動態(tài)聯(lián)合拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型如下:

式中:F(ρ)為靜動態(tài)聯(lián)合總目標(biāo)函數(shù);w為柔度目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重;Λmin、Λmax分別為頻率目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值，用來消除量綱。

1.3 拓?fù)鋬?yōu)化求解算法

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的求解算法主要有優(yōu)化準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法。其中數(shù)學(xué)歸納法求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題時(shí)，通常需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)和它們的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算效率較低。優(yōu)化準(zhǔn)則法是一種間接優(yōu)化方法，不直接優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，而是把數(shù)學(xué)中最優(yōu)解應(yīng)滿足的庫恩塔克(Kuhn-Tucker)條件作為最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的準(zhǔn)則來更新設(shè)計(jì)變量和拉格朗日乘子，收斂速度快，迭代次數(shù)少且與結(jié)構(gòu)大小和復(fù)雜程度無關(guān)，尤其對體積約束下的最小柔度問題的求解更為有效［13］，因此采用優(yōu)化準(zhǔn)則法求解并構(gòu)造拉格朗日(Lagrange)函數(shù):

式中:η1、η2、η3、η4為拉格朗日乘子，η1為標(biāo)量，η2、η3、η4為向量;ρ 是 ρi組成的向量;ai、bi為松馳因子。由此可得庫恩塔克條件和設(shè)計(jì)變量迭代公式:

1.4 拓?fù)鋬?yōu)化流程

利用Hypermesh軟件的Optistruct模塊進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的流程如圖1所示。

2 電動汽車車身拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 載荷工況分析

依據(jù)電動汽車的使用情況和實(shí)際載荷工況，選擇以下4種典型工況作為模型分析載荷工況。

(1)彎曲工況 彎曲工況模擬電動汽車四輪著地、勻速直線行駛?？紤]滿載情況，車上共有4名乘員，每位乘員體質(zhì)量為65kg，行李總質(zhì)量為40kg。約束左前輪全部自由度和其余3輪z方向上的平動自由度。

(2)扭轉(zhuǎn)工況 扭轉(zhuǎn)工況模擬各車輪懸空狀態(tài)，分別釋放對應(yīng)懸空車輪的全部自由度，同時(shí)在懸空一端的車軸上施加一極限轉(zhuǎn)矩(車軸負(fù)荷的一半乘以輪距)，約束懸空同軸對稱車輪除x方向平動自由度以外的全部自由度和其他兩輪的全部自由度。

(3)緊急制動工況 緊急制動工況主要考慮電動汽車以最大減速度制動時(shí)，地面制動力對車身的影響。在x方向上附加-0.8g的慣性力。約束前輪的全部自由度和后輪除x方向平動自由度外的全部自由度。

(4)急轉(zhuǎn)彎工況 主要考慮當(dāng)電動汽車以最大轉(zhuǎn)向速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，慣性力對車身的影響。在y方向附加0.4g的離心力。釋放一側(cè)車輪y方向的平動自由度，約束另一側(cè)車輪的全部自由度。

2.2 拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算

根據(jù)電動汽車的結(jié)構(gòu)布置特點(diǎn)，扣除乘員艙、行李艙、動力總成、輪胎包絡(luò)和風(fēng)窗玻璃等所占據(jù)的部分，確定剩余部分為優(yōu)化設(shè)計(jì)空間如圖2所示。在Hypermesh軟件中采用六面體單元劃分網(wǎng)格，定義材料屬性，確定載荷和邊界條件，建立拓?fù)鋬?yōu)化有限元模型。

多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的函數(shù)公式在OptiStruct軟件中不能直接調(diào)用，因此借助于軟件中的用戶自定義方程功能來實(shí)現(xiàn)。先定義靜態(tài)折衷規(guī)劃公式和動態(tài)平均頻率公式，然后把定義好的函數(shù)設(shè)為響應(yīng)，最后把該響應(yīng)作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。

在進(jìn)行單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)發(fā)現(xiàn)，以剛度作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，平均柔度達(dá)到最優(yōu)，但平均特征值卻很小;而以頻率作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，平均特征值達(dá)到最優(yōu)，但平均柔度卻很大。這表明靜態(tài)剛度和動態(tài)頻率是兩個相互矛盾的目標(biāo)函數(shù)，權(quán)重分配相差過大時(shí)難以使剛度和頻率目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，而車身結(jié)構(gòu)作為各個部件的承載基體，首先應(yīng)保證其剛度要求，出于這樣的考慮，取柔度目標(biāo)函數(shù)的權(quán)值為0.6，頻率目標(biāo)函數(shù)的權(quán)值為0.4。

以優(yōu)化設(shè)計(jì)空間內(nèi)每個單元的相對密度為設(shè)計(jì)變量，以體積分?jǐn)?shù)為約束，以自定義的靜動態(tài)聯(lián)合總函數(shù)公式為目標(biāo)函數(shù)，在OptiStruct軟件中建立拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算模型。由于約束條件對最終的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果影響較大，因此先分別選取體積分?jǐn)?shù)α為0.2和0.4的約束條件進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化試計(jì)算，假定單元相對密度在0.15以下的區(qū)域?yàn)闊o材料分布，優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

從試算結(jié)果可以看出，約束為α=0.2時(shí)，刪除材料單元過多，約束為α=0.4時(shí)，保留材料單元過多，均不是最佳的材料布局方式。選取約束為α=0.3進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算，求解拉格朗日乘子，采用優(yōu)化準(zhǔn)則算法計(jì)算迭代因子，更新設(shè)計(jì)變量。經(jīng)過30步迭代計(jì)算，沒有發(fā)生振蕩現(xiàn)象，目標(biāo)函數(shù)趨于收斂，其收斂曲線如圖4所示，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖5所示。通過對優(yōu)化結(jié)果觀察可以發(fā)現(xiàn)清晰的載荷路徑，圖6為截取前艙部分的載荷路徑。

拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算結(jié)果對車身結(jié)構(gòu)的載荷傳遞路徑和材料布局方式具有指導(dǎo)意義，但與工程實(shí)際仍有較大的距離，根據(jù)實(shí)際情況和經(jīng)驗(yàn)資料進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚蟪醪酱_定電動汽車車身結(jié)構(gòu)如圖7所示。

3 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果分析

由于所研究對象為微型電動汽車，根據(jù)廠家的設(shè)計(jì)用途，該電動汽車主要作為城市代步工具使用，最高行駛速度的設(shè)計(jì)要低于傳統(tǒng)燃油汽車，使用環(huán)境和極限工況也優(yōu)于傳統(tǒng)燃油汽車，因而其車身的設(shè)計(jì)要求也相應(yīng)地低于同類型的傳統(tǒng)燃油汽車。依據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化分析結(jié)果，建立相應(yīng)的有限元模型，對其靜動態(tài)結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行分析，驗(yàn)證優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的可行性。有限元靜態(tài)分析結(jié)果如表1所示。從表1中可以發(fā)現(xiàn)，各載荷工況的應(yīng)力最大值均在材料應(yīng)力的許可值范圍內(nèi)，其中最大應(yīng)力為141.1MPa，最大變形為7.6mm，出現(xiàn)在扭轉(zhuǎn)工況的后懸支撐與車架連接區(qū)域;其余各工況下最大應(yīng)力均小于100MPa，最大變形為2～3mm，車身結(jié)構(gòu)基本滿足靜態(tài)剛度設(shè)計(jì)要求。在下一步的詳細(xì)設(shè)計(jì)中，扭轉(zhuǎn)工況下的車身結(jié)構(gòu)剛度可以做進(jìn)一步的優(yōu)化改進(jìn)。

表1 有限元靜態(tài)分析結(jié)果

由于低頻振動比高頻振動危險(xiǎn)，前幾階振動對結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能影響較大，故模態(tài)分析中只選取前5階的模態(tài)振型進(jìn)行分析，結(jié)果如表2所示。由于電動汽車的驅(qū)動裝置采用平衡性更好的電機(jī)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的發(fā)動機(jī)，有效減少了整車的振動激勵;而路面激勵隨道路條件決定，高速公路和城市較好路面的激勵多在3Hz以下，因而只須重點(diǎn)校驗(yàn)車身結(jié)構(gòu)的低階頻率是否高于非簧載結(jié)構(gòu)的固有頻率(一般為6～15Hz)。由表中數(shù)據(jù)可以看出，前3階的振動頻率為24.4～54.5Hz，有效地避開了路面對汽車的激勵頻率范圍，且高于非簧載質(zhì)量的固有頻率，避免了共振的產(chǎn)生。從頻率分布上看，1階扭轉(zhuǎn)振型頻率為24.4Hz，1階彎曲振型頻率為36.2Hz，車身整體彎曲剛度大于扭轉(zhuǎn)剛度，兩種固有頻率明顯錯開，主要的彎扭模態(tài)沒有耦合。

表2 有限元動態(tài)分析結(jié)果

4 結(jié)論

對電動汽車車身結(jié)構(gòu)靜動態(tài)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行探討?；赟IMP材料插值理論，在對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行歸一化以消除數(shù)量級差異后，以平均柔度最小和平均頻率最大為總目標(biāo)，利用優(yōu)化準(zhǔn)則法建立設(shè)計(jì)變量的迭代方程，同時(shí)考慮約束條件對優(yōu)化結(jié)果的影響，選取不同的體積分?jǐn)?shù)對電動汽車車身結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，得到車體結(jié)構(gòu)清晰、載荷路徑明顯的優(yōu)化結(jié)果。有限元分析結(jié)果表明，采用此方法設(shè)計(jì)的車身結(jié)構(gòu)具有較好的靜動態(tài)特性，滿足設(shè)計(jì)要求。該方法為電動汽車車身各部件的下一步詳細(xì)設(shè)計(jì)和其它車型的車身開發(fā)提供思路和參考依據(jù)。

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