基于排隊(duì)論的地面防空系統(tǒng)服務(wù)概率研究

朱雪平，李東偉，王敬華

(防空兵學(xué)院，河南 鄭州 450052)

在研究地面防空系統(tǒng)作戰(zhàn)效能、地面防空作戰(zhàn)部署方案優(yōu)化和地面防空作戰(zhàn)資源需求等問題時(shí)，都必然涉及地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率問題。若采用解析算法計(jì)算地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率，排隊(duì)理論是人們通常選擇的方法。排隊(duì)理論(Queuing Theory)也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是運(yùn)籌學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是研究服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)效率和服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)化的有效工具。20世紀(jì)初，丹麥數(shù)學(xué)家、電氣工程師A.K.Erlang把概率論方法應(yīng)用于解決電話交換機(jī)呼叫問題，從而開創(chuàng)了這門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科。20世紀(jì)30年代中期，W.Feller引進(jìn)了生滅過程，排隊(duì)論作為一門重要的學(xué)科才被數(shù)學(xué)界承認(rèn)。20世紀(jì)50年代初，D.G.Kendall對(duì)排隊(duì)論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，應(yīng)用嵌入馬爾可夫(A.Markov)鏈方法研究排隊(duì)論，使排隊(duì)論得到了進(jìn)一步的發(fā)展。

運(yùn)用排隊(duì)理論計(jì)算地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率時(shí)，受抽象為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化過程及計(jì)算模型自身的制約，可能使地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率計(jì)算結(jié)果大于實(shí)際結(jié)果。因此，將給防空兵指揮員和指揮機(jī)關(guān)一個(gè)過于樂觀的預(yù)期，影響指揮決策的準(zhǔn)確性。因此，本文就采用排隊(duì)理論解算防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率的誤差問題進(jìn)行討論。

1 地面防空系統(tǒng)服務(wù)(可射擊)概率問題的一般描述

地面防空系統(tǒng)服務(wù)(可射擊)概率，指一次戰(zhàn)斗中地面防空系統(tǒng)平均射擊的空襲兵器數(shù)量與來襲空襲兵器總數(shù)的比值。地面防空系統(tǒng)服務(wù)(可射擊)概率是評(píng)估地面防空系統(tǒng)作戰(zhàn)效能的重要指標(biāo)，系統(tǒng)服務(wù)(可射擊)概率的取值直接制約地面防空系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能，其值取決于空襲兵器的進(jìn)襲強(qiáng)度、進(jìn)襲條件和地面防空武器系統(tǒng)的戰(zhàn)術(shù)等。

若應(yīng)用排隊(duì)論求解地面防空系統(tǒng)服務(wù)(可射擊)概率，必須將地面防空系統(tǒng)抽象為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。通常假定地面防空系統(tǒng)由同一型號(hào)防空武器系統(tǒng)構(gòu)成，組成拒絕等待系統(tǒng)(低空近程防空武器系統(tǒng))或有限等待系統(tǒng)(中高空中遠(yuǎn)程防空武器系統(tǒng))，抗擊以某種規(guī)律進(jìn)入的空襲兵器的攻擊。

2 排隊(duì)論模型計(jì)算服務(wù)概率的誤差分析

2.1 非對(duì)抗性誤差

排隊(duì)論模型為非對(duì)抗性模型。因此，運(yùn)用排隊(duì)理論解決地面防空系統(tǒng)服務(wù)概率有其先天不足的源由。

地空對(duì)抗是激烈的對(duì)抗活動(dòng)，空襲方為達(dá)成空襲作戰(zhàn)目標(biāo)，必須首先對(duì)地面防空系統(tǒng)實(shí)施壓制。按照美軍的空襲作戰(zhàn)要?jiǎng)t［1］:在空襲作戰(zhàn)編隊(duì)中約有25%～40%的力量用于壓制對(duì)方的地面防空力量。根據(jù)空軍某研究所張學(xué)成總工搜集統(tǒng)計(jì)提供的資料［2］:在抗美援朝戰(zhàn)爭(zhēng)中，我志愿軍所屬高炮部隊(duì)日戰(zhàn)損率最高時(shí)達(dá)1.8%，整體戰(zhàn)損率為7%，被攻擊戰(zhàn)損率為13%;在援越抗美戰(zhàn)爭(zhēng)中，我高炮部隊(duì)的整體戰(zhàn)損率為4%，被攻擊戰(zhàn)損率為17%。第四次中東戰(zhàn)爭(zhēng)中，以色列參戰(zhàn)防空力量的整體戰(zhàn)損率為20%，日戰(zhàn)損率為1.1%;埃及參戰(zhàn)防空力量的整體戰(zhàn)損率為44%，日戰(zhàn)損率為2.4%;敘利亞參戰(zhàn)防空力量的整體戰(zhàn)損率為25%，日戰(zhàn)損率為1.4%。根據(jù)以上資料可知，在一次戰(zhàn)役(戰(zhàn)斗)中，地面防空系統(tǒng)被空襲兵器攻擊的戰(zhàn)損率大于10%。因此，構(gòu)成地面防空系統(tǒng)的射擊單元(服務(wù)臺(tái)數(shù))數(shù)量隨戰(zhàn)斗進(jìn)程不斷減少，而非固定不變的。

通過以上分析，可知:由于排隊(duì)論模型的非對(duì)抗性，將導(dǎo)致構(gòu)成地面防空系統(tǒng)的射擊單元(服務(wù)臺(tái)數(shù))產(chǎn)生大于10%的誤差，引起所計(jì)算的地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率產(chǎn)生誤差。

2.2 忽略空襲兵器空間分布的誤差

排隊(duì)論模型以假定空襲兵器流在時(shí)間上的分布為基礎(chǔ)展開討論。判定地面防空系統(tǒng)對(duì)空襲兵器的服務(wù)(實(shí)施射擊)條件是:空襲兵器的間隔時(shí)間大于地面防空系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間。排隊(duì)論模型不考慮空襲兵器的空間分布(進(jìn)襲條件)對(duì)地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率的影響，如空襲兵器進(jìn)襲高度和進(jìn)襲的航路投影捷徑等。實(shí)際上地面防空系統(tǒng)對(duì)空襲兵器的可射擊與否與空襲兵器的進(jìn)襲高度和航路投影捷徑密切相關(guān)。

1)空襲兵器進(jìn)襲高度的影響

地面防空系統(tǒng)由于受其可射擊高度的制約，并不能對(duì)進(jìn)入系統(tǒng)的全部空襲兵器實(shí)施射擊。通常情況下，空襲方根據(jù)戰(zhàn)術(shù)要求，空襲兵器將從不同高度實(shí)施攻擊。蔣為民在《俄羅斯防空體系研究》一書中認(rèn)為［3］:空襲兵器從高空實(shí)施攻擊的可能性約為10%，從中空實(shí)施攻擊的可能性約為20%，從低空超低空實(shí)施攻擊的可能性約為70%。美軍認(rèn)為［2］:地面防空系統(tǒng)的全部武器，應(yīng)能對(duì)低空超低空實(shí)施攻擊的空襲兵器進(jìn)行射擊，其中25%的防空武器應(yīng)能對(duì)中高空實(shí)施攻擊的空襲兵器進(jìn)行射擊。從另一個(gè)側(cè)面表明了從中高空實(shí)施攻擊的空襲兵器約占空襲兵器重量的25%。也說明了美俄兩個(gè)軍事強(qiáng)國對(duì)空襲兵器在高度上分布的觀點(diǎn)是基本一致的。因此，如果地面防空系統(tǒng)由低空/超低空防空武器構(gòu)成，則對(duì)于進(jìn)入防空系統(tǒng)的空襲兵器應(yīng)該有25%～30%是不能實(shí)施抗擊的。在極端的情況下，由于空襲兵器進(jìn)襲高度的影響，將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生25%～30%的誤差。

2)空襲兵器進(jìn)襲航路投影捷徑的影響

地面防空武器系統(tǒng)受武器系統(tǒng)有效射程和必需的射擊時(shí)間的制約，有一個(gè)有效攔截半徑。比如ADKXX防空武器系統(tǒng)，其有效攔截半徑為6km。如果空襲兵器進(jìn)襲的航路投影捷徑大于6km，則該防空武器系統(tǒng)不能對(duì)空襲兵器實(shí)施有效抗擊，即不構(gòu)成可射擊條件。排隊(duì)論模型并不能考慮空襲兵器進(jìn)襲的航路投影捷徑對(duì)地面防空系統(tǒng)可射擊概率的影響，認(rèn)為:只要系統(tǒng)內(nèi)的空襲兵器在時(shí)間上滿足可射擊要求，即可計(jì)入可射擊范疇。因此，航路投影捷徑也將導(dǎo)致計(jì)算的地面防空系統(tǒng)可射擊概率值大于實(shí)際結(jié)果。

空襲兵器進(jìn)襲航路投影捷徑對(duì)地面防空系統(tǒng)可射擊概率的影響，取決于地面防空系統(tǒng)的戰(zhàn)斗部署、防空武器系統(tǒng)的有效攔截半徑和空襲兵器的進(jìn)襲方式等?？找u兵器進(jìn)襲高度和進(jìn)襲航路投影捷徑的制約，都將導(dǎo)致應(yīng)用排隊(duì)論模型計(jì)算的地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率偏大。

2.3 求取穩(wěn)態(tài)解的誤差

排隊(duì)論模型通過建立柯爾莫哥洛夫微分方程組求解地面防空系統(tǒng)服務(wù)(可射擊)概率。由于求解柯爾莫哥洛夫微分方程組的瞬時(shí)解比較困難，因此，將柯爾莫哥洛夫微分方程組變換為代數(shù)方程組后實(shí)現(xiàn)數(shù)值解。即排隊(duì)論模型最后給出的數(shù)值解是地面防空系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)條件下的結(jié)果。至于地面防空系統(tǒng)何時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，國內(nèi)在這方面的研究成果較少。俄羅斯朱可夫防空軍事指揮學(xué)院(現(xiàn)名為俄羅斯空天防御軍事學(xué)院)編著的《防空作戰(zhàn)模擬與效能評(píng)估》［4］一書中指出:在單通道隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中，瞬態(tài)過程在經(jīng)過2～4倍的平均服務(wù)時(shí)間會(huì)減弱，之后系統(tǒng)內(nèi)出現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)。隨著系統(tǒng)中通道數(shù)的增加，瞬態(tài)過程會(huì)縮短，即系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)會(huì)提前出現(xiàn)。因此，在實(shí)際計(jì)算中通常認(rèn)為:當(dāng)系統(tǒng)的持續(xù)時(shí)間超過3倍平均服務(wù)時(shí)間，可以利用穩(wěn)定狀態(tài)的計(jì)算模型計(jì)算地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率。但由于防空作戰(zhàn)的特殊性和戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)間的短促性，其實(shí)很難使地面防空系統(tǒng)達(dá)到真正的穩(wěn)定狀態(tài)。從而導(dǎo)致計(jì)算誤差。

3 排隊(duì)論模型與作戰(zhàn)仿真方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析

3.1 條件設(shè)置

防空兵群由3個(gè)xx高炮營(yíng)編成(服務(wù)臺(tái)數(shù)m=9)，掩護(hù)x炮兵群戰(zhàn)役實(shí)施過程中的對(duì)空安全，3個(gè)營(yíng)間隔xxkm成等邊三角形配置，基本火力單位對(duì)一個(gè)目標(biāo)的平均服務(wù)時(shí)間t為45s。假定作戰(zhàn)對(duì)象以戰(zhàn)斗轟炸機(jī)實(shí)施攻擊，空襲兵器進(jìn)襲強(qiáng)度λ為x批/min，進(jìn)襲方向服從主攻方向上的截尾正態(tài)分布，進(jìn)襲速度在(200，400)區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，進(jìn)襲高度是服從瑞利分布的隨機(jī)變量，其分布密度計(jì)算模型為

其中，μ依賴于戰(zhàn)斗轟炸機(jī)所處的進(jìn)入、攻擊、退出狀態(tài)，參照戰(zhàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)資料取值為2000m;航路投影捷徑dj是服從負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量，其分布密度計(jì)算模型為

其中，d0依賴于高炮的類型，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)資料取值為1500m;作戰(zhàn)時(shí)間30min。

3.2 計(jì)算結(jié)果

xx高炮為小口徑高炮，故按拒絕等待系統(tǒng)處理，可射擊概率計(jì)算模型為

作戰(zhàn)仿真采用防空兵指揮學(xué)院研發(fā)的防空兵作戰(zhàn)指揮輔助決策系統(tǒng)提供的防空作戰(zhàn)仿真軟件計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 防空兵群可射擊概率計(jì)算結(jié)果

3.3 結(jié)果分析

從計(jì)算結(jié)果看，依據(jù)排隊(duì)理論計(jì)算結(jié)果和作戰(zhàn)仿真計(jì)算結(jié)果差別非常大。排隊(duì)理論計(jì)算結(jié)果，由于空襲強(qiáng)度數(shù)值小于服務(wù)臺(tái)數(shù)目，所以可射擊概率均在90%以上，而作戰(zhàn)仿真計(jì)算結(jié)果僅為30%左右。究其原因有4個(gè):1)系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)概率約在90%左右，沒有發(fā)現(xiàn)的目標(biāo)系統(tǒng)不能實(shí)施服務(wù)而產(chǎn)生誤差;2)防空兵群由小高炮武器系統(tǒng)構(gòu)成，進(jìn)襲目標(biāo)高度大于XXXXm的比例約等于30%，防空兵群不能實(shí)施抗擊而產(chǎn)生誤差;3)防空兵群采用前三角部署樣式，空襲兵器主攻方向上只有一個(gè)營(yíng)(三個(gè)服務(wù)臺(tái))，其它兩個(gè)營(yíng)(六個(gè)服務(wù)臺(tái))在主攻方向兩側(cè)，根據(jù)模型計(jì)算，目標(biāo)航路投影捷徑大于武器系統(tǒng)有效抗擊航路投影捷徑的約為35%，由于防空兵群不能實(shí)施有效抗擊而產(chǎn)生誤差;4)防空兵武器系統(tǒng)的戰(zhàn)損率影響了防空兵群的可射擊概率。誤差分析結(jié)果見表2。

4 結(jié)束語

地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率問題，是分析地面防空系統(tǒng)作戰(zhàn)效能、地面防空作戰(zhàn)部署方案優(yōu)化和地面防空作戰(zhàn)資源需求等相關(guān)問題時(shí)，必須涉及和解決的一個(gè)重要參數(shù)。采用解析法計(jì)算時(shí)，由于排隊(duì)論模型的局限性，將導(dǎo)致計(jì)算的地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率產(chǎn)生較大誤差。為此，應(yīng)根據(jù)地面防空系統(tǒng)的主要特征，對(duì)模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行合理修正，否則不利于防空兵指揮員和指揮機(jī)關(guān)正確定下戰(zhàn)斗決心。在可能的情況下，應(yīng)采用作戰(zhàn)仿真的方法求取地面防空系統(tǒng)的服務(wù)(可射擊)概率。

表2 防空兵群可射擊概率計(jì)算結(jié)果誤差要素分析

［1］本書編寫組.航空兵戰(zhàn)術(shù)［M］.北京:空軍指揮學(xué)院，1992.

［2］張學(xué)成.地面防空效能與戰(zhàn)損［M］.北京:空軍裝備研究院，1994.

［3］蔣為民.俄羅斯防空體系建設(shè)研究［M］.北京:國防大學(xué)出版社，2002.

［4］來斌，牛存良，熊友齊，等.防空作戰(zhàn)模擬與效能評(píng)估［M］.北京:軍事科學(xué)出版社，2005.

［5］倪忠仁.地面防空作戰(zhàn)模擬［M］.北京:解放軍出版社，2001.

［6］湯少芳，郭有全.防空兵力部署中的排隊(duì)論分析［J］.彈道學(xué)報(bào)，2006，18(3):94-96.