雙曲型偏微分方程的變分迭代解法

黃得建，李艷青

(瓊州學(xué)院理工學(xué)院，海南 三亞 572022)

0 引言

二階雙曲型偏微分方程通常有如下形式:

變分迭代算法是何吉歡在廣義拉氏乘子法［1］的基礎(chǔ)上提出來并進行改進［3］，［2，4］中作者成功的將此法應(yīng)用到一些模糊方程問題，［5］中作者將這種方法應(yīng)用于生物反應(yīng)模型，［6，7］分別給出了這種方法的理論依據(jù).下面應(yīng)用［3］中改進的變分迭代算法來找一類雙曲型偏微分方程的精確解.

1 雙曲型偏微分方程及解法分析

考慮下面的二階偏微分方程:

其中a，b，c，f 都是關(guān)于(x，y，p)的函數(shù)，其中p=(u，ux，uy).若對任意的(x，y)，都有b2-ac＞0 成立，則式(1)是一個雙曲型方程.

考慮雙曲型偏微分方程(1)及定解條件:

或

假定式(1)中的系數(shù)與ux，yy和u 無關(guān).若定解條件為式(2)，則由變分迭代算法，可在y 一方向上構(gòu)造解的校正泛函如下:

其中c≠0.應(yīng)用變分迭代算法，可近似識別:λ1=η-y

假定初始近似解為

由［3］中改進的變分迭代算法，可以得到式(1)解的迭代公式如下:

同理，若定解條件為式(3)，由變分迭代算法，可在方向上構(gòu)造解的校正泛函:

其中a≠0.應(yīng)用變分迭代算法，可近似識別:λ2=ξ-x

假定初始近似解為

可以得到式(1)解的迭代公式如下:

2 應(yīng)用

變分迭代算法可以準(zhǔn)確的得到上述線性雙曲型偏微分方程的精確解，以下用幾個例子來說明.

例1 考慮如下方程［8］:

定解條件為:

式(6)可改寫為:

由變分迭代算法，可以構(gòu)造y 一方向上解的校正泛函如下:

應(yīng)用變分迭代算法，可近似識別:λ=η-y

假定初始近似解為:u0(x，y)=f(x)+g(x)y=3x2，

由式(4)，可以得到解的迭代公式如下:

將u0(x，y)=f(x)+g(x)y=3x2代入上式，得

如表1，健康志愿者的rCBF比值范圍為（1.013±0.079），ASL圖左右對稱，未見明顯的異常灌注區(qū)；患者中TIA發(fā)作患者有15例，大面積梗塞患者11例，小面積梗塞患者14例，rCBF比值范圍為（0.764±0.117），兩組數(shù)據(jù)對比組間差異具有統(tǒng)計學(xué)意義（P＜0.05）。

此為式(6)在滿足定解條件u(x，0)=3x2，uy(x，0)=0 時的精確解.

例2 考慮如下方程［8］:

定解條件為:

式(7)可改寫為:

由變分迭代算法，可以構(gòu)造方向上解的校正泛函如下:

應(yīng)用變分迭代算法，可近似識別:

假定初始近似解為:u0(x，y)=f(y)+g(y)x=0，

將u0(x，y)=f(y)+g(y)x=0 代入上式，可得:

此為式(7)滿足定解條件u(0，y)=0，ux(0，y)=0 時的精確解.

例3 考慮如下方程［8］:

定解條件為:

由變分迭代算法，可以構(gòu)造方向上解的校正泛函如下:

應(yīng)用變分迭代算法，可近似識別:λ=ξ-x

假定初始近似解為:

由式(5)，可以得到解的迭代公式如下:

將u0(x，y)=f(y)+g(y)x=y+x 代入上式，可得:u1(x，y)=x+y

此為式(8)滿足定解條件u(0，y)=y，ux(0，y)=1 時的精確解.

3 結(jié)論

把改進的變分迭代算法成功地運用到一類雙曲型偏微分方程的求解，過程既簡單又直觀，并且收斂速度很快，計算量小、精確度高，又可以很方便的編程.

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