基于Renyi熵的非線性系統(tǒng)中傳感器管理算法

崔博鑫，許蘊(yùn)山

(空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038)

0 引言

傳感器管理就是對(duì)一組傳感器進(jìn)行自動(dòng)控制的系統(tǒng)或過(guò)程。其目的是選擇恰當(dāng)?shù)膫鞲衅?、傳感器工作模式和傳感器搜索方式以?xún)?yōu)化數(shù)據(jù)融合系統(tǒng)完成指定目標(biāo)任務(wù)的性能［1］。信息的變化可用于描述目標(biāo)的檢測(cè)、跟蹤和分類(lèi)等的不確定性。在統(tǒng)計(jì)模型和運(yùn)動(dòng)模型下，Kruger等［2-4］給出了利用Shannon信息熵信息增量對(duì)傳感器資源進(jìn)行分配的算法。最近，基于Renyi熵的新理論開(kāi)始廣泛應(yīng)用［5-6］，Santamaria［7］首次把Renyi熵作為代價(jià)函數(shù)用到常數(shù)模算法中，使得收斂速度顯著提高而計(jì)算量卻增加很少。

在系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)中，大部分系統(tǒng)都具有一定的非線性問(wèn)題，Bar-Shalom［8］提出了遞推濾波算法，包括擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)、修正增益的推廣卡爾曼濾波(MGEKF)等。但EKF和MGEKF只適用于濾波誤差和預(yù)測(cè)誤差都比較小的情況，否則，收斂精度、收斂時(shí)間及穩(wěn)定性等會(huì)降低，濾波不穩(wěn)定甚至發(fā)散［9-10］。本文針對(duì)非線性系統(tǒng)中高機(jī)動(dòng)的情形，運(yùn)用無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，減少濾波誤差與預(yù)測(cè)誤差。用Renyi熵度量在濾波過(guò)程中產(chǎn)生的信息不確定性，以Renyi信息差異作為傳感器分配的代價(jià)函數(shù)，合理分配傳感器資源。

1 Renyi信息差異

1.1 Renyi熵

Shannon熵是對(duì)信源輸出信息的隨機(jī)性的度量，當(dāng)所有狀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等時(shí)，熵最大，這時(shí)系統(tǒng)的隨機(jī)程度也最高。Renyi熵進(jìn)一步擴(kuò)展了Shannon熵的概念，反映了系統(tǒng)信息的高階特性。

對(duì)一個(gè)具有概率密度函數(shù)PX(x)的連續(xù)分布的隨機(jī)變量X的α階Renyi信息熵的定義為

當(dāng)α→1時(shí)，α階的Renyi熵趨近于Shannon熵，即

當(dāng)α=2時(shí)

上式稱(chēng)為二次Renyi熵，對(duì)應(yīng)于二項(xiàng)概率分布。Kapur［11］指出這種交替定義的Renyi熵等價(jià)于基于最大化熵的Shannon熵。

1.2 Parzen窗函數(shù)

由于Renyi信息熵的計(jì)算需要對(duì)概率密度函數(shù)進(jìn)行非線性運(yùn)算，必須采用窗函數(shù)來(lái)獲得對(duì)概率密度函數(shù)的近似估計(jì)。Koenderink［12］指出連續(xù)變量的二次Renyi熵可以通過(guò)非參數(shù)法即帶核函數(shù)的Parzen窗來(lái)估計(jì)，文獻(xiàn)［13］中證明了當(dāng)二次Renyi熵度量結(jié)合使用高斯核的Parzen窗時(shí)能大大節(jié)省計(jì)算量。

假設(shè)已知隨機(jī)變量X的樣本數(shù)據(jù)集為:{xi，i=1，2，…，N}，采用Parzen窗估計(jì)X的概率密度函數(shù)PX(x)的算式為

由于系統(tǒng)為高斯分布，采用高斯核函數(shù):

1.3 Renyi信息增量

利用Parzen窗函數(shù)及高斯核函數(shù)，得到高斯分布下的Renyi熵為

將兩種Renyi熵的差值作為Renyi信息增量，用來(lái)表征信息不確定性的變化量

從上式可以看出，高斯分布下的信息不確定性的差異僅跟分布中的方差有關(guān)，Renyi熵的信息增量在一定程度上收斂于Shannon熵的信息增量。

2 無(wú)跡卡爾曼濾波

無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)是在無(wú)跡變換［14］的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，不需要對(duì)非線性狀態(tài)和量測(cè)模型進(jìn)行線性化，而是對(duì)狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)進(jìn)行近似化，近似化后的概率密度函數(shù)仍然是高斯的，但它表現(xiàn)為一系列的采樣點(diǎn)。

設(shè)如下非線性模型

式中:Xk∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài);f(·)為n維向量函數(shù);h(·)為m維向量函數(shù);Wk為n維系統(tǒng)過(guò)程噪聲;Vk為m維系統(tǒng)觀測(cè)噪聲。則無(wú)跡Kalman濾波計(jì)算過(guò)程如下。

1)初始化。

式中:Xa為系統(tǒng)的增廣狀態(tài)變量;RW和RV為過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣;E表示期望運(yùn)算。

2)U變換。

選取Sigma點(diǎn)

且

3)時(shí)間更新。

4)量測(cè)更新。

在U變換中，

式中:α為采樣點(diǎn)的散布程度，α＞0，它可以調(diào)節(jié)粒子的分布距離，降低高階矩的影響，減少預(yù)測(cè)誤差;β為先驗(yàn)分布信息，β≥0，可以提高方差的精度，控制估計(jì)狀態(tài)的峰值誤差;nx為系統(tǒng)維數(shù);k為影響分布的尺度因子，多維系統(tǒng)選擇k=3-n可以使均方誤差最小;W(m)和W(c)分別是一階統(tǒng)計(jì)特性的權(quán)系數(shù)和二階統(tǒng)計(jì)特性的權(quán)系數(shù)。

3 傳感器管理模型

3.1 代價(jià)函數(shù)

在Renyi熵的基礎(chǔ)上，Renyi信息增量反映預(yù)測(cè)誤差和濾波誤差中信息不確定性的變化量，得到代價(jià)函數(shù)

設(shè)目標(biāo)有m個(gè)，傳感器有n種，由傳感器組成的偽傳感器(即傳感器組合)共有2n-1種。考慮目標(biāo)威脅度［15］，影響因素包括目標(biāo)類(lèi)型、目標(biāo)速度、目標(biāo)高度、距掩護(hù)對(duì)象的距離、航路捷徑及電子干擾能力。結(jié)合目標(biāo)優(yōu)先級(jí)，即威脅度，將代價(jià)函數(shù)J與威脅度w結(jié)合，得到效能函數(shù)

式中:wi代表目標(biāo)i的威脅度;λ為威脅度的權(quán)系數(shù)。

3.2 傳感器對(duì)目標(biāo)的最優(yōu)分配

在一個(gè)多傳感器系統(tǒng)中，優(yōu)化的目的是使傳感器分配給目標(biāo)后所取得的效能最大，由最優(yōu)線性分配思想，得到傳感器分配方案。

約束條件為

式中:xij≥0，對(duì)所有i，j均成立;τk表示第k個(gè)傳感器所能跟蹤目標(biāo)的最大個(gè)數(shù);S(k)為包含傳感器k的所有偽傳感器構(gòu)成的集合。在線性?xún)?yōu)化中，xij為1或者0，等于1時(shí)，表示第i個(gè)傳感器被分配給第j個(gè)目標(biāo)。

4 仿真分析

威脅度為0.87。

在UKF濾波中，U變換的各項(xiàng)系數(shù)α取0.01，β取2，κ取-1，λ=-3.9997。

根據(jù)UKF中的預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差和濾波誤差協(xié)方差，用Renyi信息增量度量代價(jià)函數(shù)，結(jié)合目標(biāo)威脅度，計(jì)算效能函數(shù)，最后獲得傳感器管理分配方案。圖1表示目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡與基于Renyi熵的管理方案跟蹤軌跡，圖2表示在跟蹤過(guò)程中，3個(gè)目標(biāo)產(chǎn)生的Renyi熵信息增量。

圖1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡與Renyi熵跟蹤軌跡Fig.1 Motion track of target and Renyi entropy

圖2 3個(gè)目標(biāo)的Renyi熵信息增量Fig.2 Renyi entropy information gain of three targets

從圖1中可以看出，3個(gè)目標(biāo)經(jīng)過(guò)Renyi熵信息增量的分配方法，跟蹤效果較好。圖2中，在迭代的初期，由于目標(biāo)不確定性極大，故Renyi熵信息增量也在不斷增大，隨著迭代次數(shù)的增加，濾波、分配效果逐漸明顯，Renyi熵信息增量不斷降低。其中，目標(biāo)3由于其大機(jī)動(dòng)、變加速的特點(diǎn)，濾波誤差較大，Renyi熵信息增量也相應(yīng)提高，給予更多的傳感器資源，但在迭代后期，Renyi熵信息增量仍比其他兩種目標(biāo)大，符合實(shí)際情況，說(shuō)明本算法有效。

為了進(jìn)行對(duì)比，參照順序分配方法，得到Renyi熵分配方法與順序分配方法的誤差，圖3～圖5分別為3個(gè)目標(biāo)在兩種算法下的均方誤差。

由圖3～圖5可以看出，基于Renyi熵信息增量的傳感器分配方法能有效反映目標(biāo)跟蹤過(guò)程中的不確定性，合理分配傳感器資源，增強(qiáng)跟蹤效果。針對(duì)勻速、勻加/減速、變加速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，其均方誤差小于順序分配方法，證明該算法有效。

圖3 目標(biāo)1的均方誤差Fig.3 Mean square error of target 1

圖4 目標(biāo)2的均方誤差Fig.4 Mean square error of target 2

圖5 目標(biāo)3的均方誤差Fig.5 Mean square error of target 3

當(dāng)系統(tǒng)資源無(wú)法滿足目標(biāo)的精度要求時(shí)，會(huì)直接導(dǎo)致分配算法無(wú)解，無(wú)法形成有效的分配方案?？梢圆扇煞N方法:1)調(diào)整目標(biāo)的威脅度，即給予高威脅目標(biāo)優(yōu)先打擊，例如本例中目標(biāo)3為變加速大機(jī)動(dòng)模型，可以適當(dāng)提高威脅度，而目標(biāo)1為勻速運(yùn)動(dòng)模型，降低其威脅度;2)等比例降低目標(biāo)的精度要求，即將3個(gè)目標(biāo)的Renyi熵信息增量乘以衰減因子，使得系統(tǒng)資源滿足精度要求，從而得到有效解。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文利用Renyi熵結(jié)合Parzen窗函數(shù)，準(zhǔn)確地度量了UKF過(guò)程中信息的不確定性，以Renyi熵信息差異為代價(jià)函數(shù)，與目標(biāo)威脅度構(gòu)成了效能函數(shù)，合理地分配傳感器資源。仿真結(jié)果表明，與順序分配方法相比，Renyi熵分配方法能夠增強(qiáng)跟蹤效果，對(duì)于變加速、大機(jī)動(dòng)目標(biāo)分配更多資源，該算法合理有效。

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