臨界線上的RIEMANN-ZETA函數(shù)的定量估計

范云艷

(華北水利水電學院，河南鄭州450045)

RIEMANN-ZETA函數(shù)是數(shù)學核心問題之一，也是數(shù)論的一個重要研究內(nèi)容，對其臨界值的估計曾吸引了國內(nèi)外眾多知名數(shù)學家的興趣.

1 研究背景

當Res=σ＞1時，函數(shù)定義為ζ(s)在除了s=1這個一階簡單極點外都是解析的，通過解析延拓可將式(1)推廣至整個復平面s∈C.

RIEMANN-ZETA函數(shù)在整個分析學科乃至整個數(shù)學中扮演著重要的角色.最典型的例子就是關(guān)于整數(shù)中素數(shù)的分布情況及Zeta函數(shù)ζ(s)在0≤Res≤1區(qū)域中非平凡零點的分布情況.

對所有的t≠0均成立，這里Ο(·)是絕對常量.Littlewood在廣義黎曼猜想下證明了Lindel9f猜想［4］.

文中主要討論臨界線Res=σ=1/2上ZETA函數(shù)ζ(s)的定量估計.當Res=σ ＞0，N≥1時，RIEMANN-ZETA函數(shù)ζ(s)可表述為

為了得到ζ(1/2+it)的上界估計，數(shù)學家們付出了大量的努力.Littlewood［5］是第一個給出這個估計非平凡上界的人，他證明了:對于t≥e，有

Van der Corput［6］給出了

Huxley［7］證明了

截止目前，最好的估計結(jié)果是Lindel9f猜想

在廣義黎曼猜想下Littlewood給出了Lindel9f猜想的證明.

通過運用Euler-Maclaurin求和公式的簡單形式 YuanyouF Cheng 和 Sindey W Graham［8］給出了下面的估計結(jié)果.

如果t≥0，有

如果t≥2，有

如果t≥2，N為正整數(shù)，有

由此，筆者通過應(yīng)用Euler-Maclaurin求和公式，討論函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)極值，得到了關(guān)于RIEMANN-ZETA函數(shù)在臨界線Res=σ=1/2上ζ(1/2+it)的更好的上界估計結(jié)果.

2 主要結(jié)論

引理1 根據(jù)文獻［1］，有 Euler-Maclaurin summation formula如下:

令函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b］上二階連續(xù)可微.定義函數(shù)

有

定理1 如果t≥0，有

推論1 如果0≤t≤e，有

3 定理證明

3.1 定理1證明

證明:對于Res=σ ＞1，任意的0＜x＜1，X充分大，由引理1，得

令X→∞，有

當σ ＞1，s≠1時，上式可作為ζ(s)的一個定義.

定理1證畢.

3.2 推論1證明

證明:對于0≤t≤e，由定理1，知

兩邊對f(t)求導，令f'(t)=0，可以得到f(t)的極點為t≈1.323 和t=0，且在(0，1.323)區(qū)間為減函數(shù)，在(1.323，e)區(qū)間為增函數(shù).所以 f(t)在t=0取得最大值，得到

推論1證畢.

4 結(jié) 語

［1］張順燕，張南岳.Riemann的Zeta函數(shù)簡介［J］.數(shù)學研究與評論，1984，4(3)，134 －136.

［2］ Lehmer D H.Extended computation of the Riemann zetafunction［J］.Mathematika，1956，3(2):102 －108.

［3］ Rosser J Barkley，Yohe J M，Schoenfeld Lowell.Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function(with discussion)［J］.Information Processing，1969，68(1):70 －76.

［4］ Anatolij A，Karatsuba.Basic analytic number theory［M］.New York:Springer-Verlag，1993.

［5］ Littlewood J E.Researches in the theory of the Riemann zeta function［J］.Proc London Math Soc，1992，20(3):22－28.

［6］ Graham S W，Kolesnik G.Van der Corput's method of exponentialsums［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1991.

［7］ Huxley M N.Exponential sums and the Riemann zeta function［J］.Proc.London Math Soc，1993，66(1):1 －40.

［8］ YuanyouF Cheng，Sidney W Graham.Explicit estimates for the Riemann zeta-function［J］.Rocky Mountain J Math 2004，34(4):1261 －1280.