基于主成分分析法的多傳感器數(shù)據(jù)融合算法研究＊

童金武，黃廷磊，龍鐵光，劉艷紅

（1.桂林電子科技大學(xué) 電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，桂林541004；2.桂林電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院；3.中南大學(xué)）

引 言

在特殊環(huán)境下，由于傳感器自身原因或受到周?chē)h(huán)境諸多不確定干擾因素的影響，單一傳感器、單一測(cè)量周期很難精確地對(duì)某一參數(shù)進(jìn)行檢測(cè)。因此，對(duì)于傳感器所檢測(cè)的值進(jìn)行后期數(shù)據(jù)融合就顯得尤為重要了。傳感器信息融合一般采用三種方式：?jiǎn)蝹鞲衅鞫鄿y(cè)量周期、多傳感器單測(cè)量周期和多個(gè)傳感器多測(cè)量周期信息融合［1］。在數(shù)據(jù)采集與信號(hào)處理系統(tǒng)中，經(jīng)常要利用多個(gè)傳感器對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行重復(fù)檢測(cè)，并運(yùn)用合理的算法融合多個(gè)傳感器的檢測(cè)信息。在一定范圍和條件下，傳感器節(jié)點(diǎn)越多，重復(fù)檢測(cè)周期越短，越能接近待檢測(cè)參數(shù)值。但是，隨著傳感器節(jié)點(diǎn)的數(shù)量增加，重復(fù)檢測(cè)的周期越短，采集到的數(shù)據(jù)量將急劇上升。數(shù)據(jù)量的增大將影響傳感器的實(shí)時(shí)性。目前多傳感器對(duì)于同一目標(biāo)在不同周期內(nèi)采集到了多組數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)在融合算法方面［3-5］，選擇不同的參數(shù)值將導(dǎo)致不同的融合結(jié)果。為此，本文運(yùn)用多元統(tǒng)計(jì)分析中的主成分分析思想，給出了一種新的數(shù)據(jù)融合方法。

1 數(shù)據(jù)融合

1.1 主成分定義、性質(zhì)

1.1.1 主成分的定義

欲從原始量中得到新的綜合變量，一種較為常見(jiàn)的方法是對(duì)原變量做線(xiàn)性變換，使新的綜合變量為原變量的線(xiàn)性組合。設(shè)p維總體x的p個(gè)隨機(jī)變量為x1，x2，x3，…，xp，它們的線(xiàn)性組合構(gòu)成一個(gè)新的綜合變量：

為了用盡可能少的綜合變量代替原變量，就要求每個(gè)綜合變量盡可能多地集中原有變量信息，這可以用綜合變量的方差來(lái)表達(dá)，即方差var（f1）越大，表示變量f1包含的信息量越多。若用D 來(lái)表示方差（下同），顯然對(duì)于任何常數(shù)C都有：

即a1乘以一個(gè)常數(shù)后可使方差D（f1）任意增大。要使方差D（f1）可以任意比較，還要求線(xiàn)性組合的系數(shù)滿(mǎn)足規(guī)范化條件：

在滿(mǎn)足此條件的同時(shí)力求使第一個(gè)綜合變量f1的方差D（f1）達(dá)到最大。若變量f1包含的信息不足以代表原有變量，則需建立第2，3，4，…，m 個(gè)綜合變量（m≤p）。它們的線(xiàn)性組合為：

對(duì)于每一個(gè)i（i＝1，2，…，m），均應(yīng)滿(mǎn)足如下規(guī)范化條件：

和互不相關(guān)的條件：

并在滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的前提下，方差D（fi）達(dá)到最大。則稱(chēng)綜合變量fi為總體x的第i主成分。

各主成分fi的方差λi＝D（fi）又稱(chēng)為它的方差貢獻(xiàn)，而λi／M×100%（其中，下同）為綜合變量fi的差貢獻(xiàn)率，前p個(gè)主成分f1，f2，f3，…，fm的方差獻(xiàn)率之和（λ1＋λ2＋…＋λp）／M×100%，為方差累計(jì)貢獻(xiàn)率。如果前面幾個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已經(jīng)很大，說(shuō)明前幾個(gè)主成分就可以在可接受的誤差范圍內(nèi)很好地描述待測(cè)量，例如方差累計(jì)貢獻(xiàn)率超過(guò)85%或超過(guò)90%，后面的主成分就可以略去。

1.1.2 主成分的性質(zhì)

從代數(shù)上看，主成分是p個(gè)變量x1，x2，x3，…，xp的一種特殊的線(xiàn)性組合，它僅依賴(lài)于總體的協(xié)方差陣，并不要求總體是正態(tài)分布的。上述定義中，當(dāng)總體的協(xié)方差陣未知時(shí)，可以用樣本的協(xié)方差矩陣或相關(guān)矩陣代替。

主成分滿(mǎn)足如下性質(zhì)：

①fi與fj（i≠j）不相關(guān)。

②f1是x的一切線(xiàn)性組合中方差達(dá)到最大的；f2是與f1不相關(guān)的一切x的線(xiàn)性組合中方差達(dá)到最大的……fi＋1是與f1，f2，…，fi不相關(guān)的一切x的線(xiàn)性組合中方差達(dá)到最大的。

③第i個(gè)主成分對(duì)應(yīng)于第i大特征根λi的單位化正交特征向量，其方差為λi。

1.2 主成分求解與融合方法［7-8］

按照定義，要確定p維總體x的主成分，相當(dāng)于在p維空間找出一組正交的單位矢量｛ai，i＝1，2，…，m｝，并能使方差達(dá)到最大。為了找出主成分，先分析方差的算式。設(shè)多維總體x的均值向量為μ，其協(xié)方差陣為Σ，由多元隨機(jī)變理的性質(zhì)，可以得到方差）為：

因?yàn)閰f(xié)方差陣Σ為p維的非負(fù)定的實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，由矩陣代數(shù)的性質(zhì)，它的p個(gè)特征值均為非負(fù)實(shí)數(shù)，設(shè)它們?yōu)棣?≥λ2≥…≥λp≥0。且存在p個(gè)相互正交的單位特征向量，設(shè)與這p個(gè)特征值相對(duì)應(yīng)的特征向量單位化，正交化后為u1，u2，…，up，可以組成一個(gè)正交陣U＝（u1，u2，…，up）。

得到協(xié)方差陣Σ的分解式：

上式在aTa＝1的條件下，λ1是的上確界，在a＝u1的條件下，故是總體的第1主成分。同理在條件aTu1＝1與aTa＝1的條件下，var（aTx）的上確界為λ2，記，則有：

即f2為總體x的第2個(gè)主成分。從而得到fi＝uTix（i＝3，4，…，p）為總體x的第i個(gè)主成分。且第i主成分的方差為D（fi）＝D（uix）＝λi，對(duì)于p維總體可以得到p個(gè)主成分。討論主成分的目的就是使原總體變量要降維，減少所使用變量的個(gè)數(shù)。事實(shí)上，零特征值所對(duì)應(yīng)的主成分，其方差也為零，這樣的主成分并沒(méi)有包含原有變量的信息，是可以丟棄的。所以，一般只保留前m（m＜p）個(gè)主成分以替代原有的p個(gè)變量。

主成分分析方法的計(jì)算步驟：

①數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理。

設(shè)有n個(gè)樣本單位，每個(gè)單位有p個(gè)指標(biāo)，則有矩陣X＝（xij）n×p，其中xij表示第i單位的第j指標(biāo)值。矩陣X表示如下：

對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，標(biāo)準(zhǔn)化處理的計(jì)算公式如下：

②計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣。

變量X＝（x1，x2，…，xp）中，兩變量間相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式是：

由于Z 中的變量已是標(biāo)準(zhǔn)化的變量，此時(shí)Z 的列變量的協(xié)方差矩陣就是相關(guān)系數(shù)矩陣。

③計(jì)算R的特征根和特征向量。

④計(jì)算主成分的方差貢獻(xiàn)率及累計(jì)方差貢獻(xiàn)率。

相關(guān)矩陣R 的特征根就等于對(duì)應(yīng)的主成分的方差，其大小反映了第i個(gè)主成分所包含原始數(shù)據(jù)全部信息的比重，也反映了各主成分貢獻(xiàn)的大小。定義第i個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率為：

累計(jì)方差貢獻(xiàn)率：

方差貢獻(xiàn)率αk越大表明第主成分綜合變量X＝（X1，X2，…，Xp）′信息的能力越強(qiáng)，也就是用Yi＝ui′X 的差異來(lái)解釋變量X＝（X1，X2，…，Xp）′的差異的能力越強(qiáng)。累計(jì)貢獻(xiàn)率越大，表明前k個(gè)主成分包含原始信息越多。

⑤選取主成分的個(gè)數(shù)。

主成分分析的目的之一是減少變量的個(gè)數(shù)，即把最初的p個(gè)變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)的幾個(gè)綜合變量，而且這幾個(gè)少數(shù)的綜合變量還要盡可能地保留原始數(shù)據(jù)的信息，從而減少分析的工作量。所以在選取主成分的個(gè)數(shù)時(shí)，一般不會(huì)選取全部p個(gè)主成分，而是取m＜p個(gè)主成分。m 取多少比較合適？一般說(shuō)來(lái)，一方面，m 盡量取得大些，以使選取的主成分能夠盡量多地包含原來(lái)變量的信息；另一方面，m又不能太大，m 越大表明主成分的個(gè)數(shù)越多，不能達(dá)到簡(jiǎn)化分析的目的。m 的取值可以兼顧變量的個(gè)數(shù)和累計(jì)貢獻(xiàn)率兩個(gè)方面，一般是以所取的m 使得累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到85%以上為宜。

2 實(shí) 驗(yàn)

采用4個(gè)DS18B20對(duì)溫箱（設(shè)定為23 ℃）進(jìn)行溫度檢測(cè)，每隔10分鐘采樣一次溫度值并記錄，得到表1中的檢測(cè)值。

表1 4個(gè)溫度傳感器測(cè)得的不同溫度值℃

通過(guò)Matlab計(jì)算得到樣本協(xié)方差矩陣S：

相關(guān)系數(shù)陣R：

相關(guān)系數(shù)陣的特征值和特征向量如表2所列，可知第三個(gè)特征值的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率可達(dá)99.83%，遠(yuǎn)大于通常情況下的設(shè)定值（85%），故可以取三個(gè)樣本主成分。求出原變量ti與主成分fi的相關(guān)系數(shù)，計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)ρ（fi，si），復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方τi，再計(jì)算各傳感器的綜合支持度Zi，如表3所列。

表2 相關(guān)系數(shù)陣的特征值和特征向量

表3 復(fù)相關(guān)系數(shù)、各傳感器綜合支持度

由數(shù)據(jù)融合公式：

得到主成分融合的數(shù)值，表4中列出了主成分融合法和平均法融合得到的誤差值的比較。

表4 主成分、平均值法不同時(shí)刻絕對(duì)誤差對(duì)比℃

由表4可知，主成分融合法的絕對(duì)誤差要小，且累計(jì)絕對(duì)誤差也小一些。其絕對(duì)誤差用Matlab的仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 主成分／平均值法絕對(duì)誤差對(duì)比

3 與已有融合方法比較

在多傳感器的系統(tǒng)中，平均法融合對(duì)于各傳感器不加區(qū)分地均等利用檢測(cè)的數(shù)據(jù)，沒(méi)有考慮到不同傳感器的權(quán)重。它適用于對(duì)于傳感器投放密度比較大，且故障傳感器（或受?chē)?yán)重干擾的傳感器）比較少的系統(tǒng)中。隨著傳感器數(shù)的增大，其絕對(duì)誤差將減小。而參考文獻(xiàn)［6］中的理論，需要指派定義不同的概率指派函數(shù)，而概率指派是比較難確定的?；诙嘀С侄?、相似度的數(shù)據(jù)融合，則需要定義貼近度函數(shù)。

基于主成分的主成分融合方法的原理是在海量傳感數(shù)據(jù)中，盡可能地保存有效數(shù)據(jù)，剃除冗余數(shù)據(jù)。得到的新的數(shù)據(jù)量比原數(shù)據(jù)量要少很多，且能在誤差范圍里盡可能地接近被檢測(cè)真值。

結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種基于主成分分析法的多傳感器數(shù)據(jù)融合算法。利用原變量之間的相關(guān)關(guān)系，用較少的新變量代替原來(lái)較多的變量，并使這些少數(shù)變量盡可能多地保留原來(lái)較多變量所反映的信息，這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)化了。

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