半空間夾雜物對彈性波散射的有限元法求解

邵爭平 李大廣

(1.新疆地質(zhì)工程勘察院，新疆烏魯木齊 830000;2.天津農(nóng)學(xué)院，天津 300000)

0 引言

近些年來，隨著國民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，新一代核電站、機(jī)場、高速鐵路、大跨度空間結(jié)構(gòu)等大型重要工程項(xiàng)目不斷涌現(xiàn)。由于我國多數(shù)地區(qū)位于6度以上地震設(shè)防區(qū)域，大型土木工程結(jié)構(gòu)的抗震安全性引起了學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注。而結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的關(guān)鍵是確定合理的地震動輸入。研究地下彈性夾雜對彈性波的散射對于場地地震動參數(shù)的合理確定具有重要意義。為了滿足理論和工程上的需要，多年來人們在這方面做了大量的研究，取得了許多有價值的成果。綜合文獻(xiàn)來看其研究方法主要有兩種，一種是解析法［1-4］，另外一種是數(shù)值法，包括有限元法、有限差分法、混合方法等。

本文擬采用波動有限元方法［4］，結(jié)合粘彈性人工邊界，求解彈性半空間中夾雜物對入射P波的散射。通過參數(shù)分析，研究均勻半空間中彈性夾雜對彈性波散射的基本規(guī)律。

1 計算模型

圖1為半空間中任意彈性夾雜對彈性波散射的整體計算模型?？紤]實(shí)際問題的復(fù)雜性，采用動力有限單元法對該問題進(jìn)行求解研究。為便于分析整體反應(yīng)本質(zhì)規(guī)律，把握問題的關(guān)鍵因素，暫限于二維分析。假設(shè)平面波從半空間入射，彈性夾雜截面沿z軸方向不變，整體反應(yīng)處于平面應(yīng)變狀態(tài)。首先進(jìn)行均勻半空間自由場分析，然后進(jìn)行波場分離，對散射場(外行波)引入粘彈性人工邊界，通過對動力平衡方程的離散求解得到總波場。夾雜物和半空間介質(zhì)的有限單元離散如圖1所示，考慮到夾雜周圍波場比較復(fù)雜和應(yīng)力集中，對該區(qū)域進(jìn)行了單元細(xì)化。

圖1 半空間中彈性夾雜有限元離散圖

2 計算方法

整體運(yùn)動方程的有限元格式為:

其中，［M］，［C］，［K］分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;{¨u}，{˙u}，{u}分別為節(jié)點(diǎn)的加速度、速度和位移向量，體系上施加的外力為P(t)。

在任何給定的時間t，這些方程被認(rèn)為一系列考慮了慣性力和阻尼的靜態(tài)方程。用步長積分的方法計算出整個時間段的地震反應(yīng)。

逐步積分法基于增量動平衡方程，其推導(dǎo)過程如下。

結(jié)構(gòu)體系在時間t時的動平衡方程為:

在時間t+Δt時的動平衡方程為:

假設(shè)子步內(nèi)加速度線性變化，由式(3)減去式(2)即得增量動平衡方程:

在增量動力平衡方程中，假定［K］t和［C］t在時間間隔(t，t+Δt)中為常量，［M］不隨時間變化。

3 算例與分析

針對半空間中夾雜物對平面P波的散射問題，下面通過數(shù)值計算，進(jìn)行參數(shù)分析。平面P波的豎向入射角度(與y軸夾角)為θα。假定入射波隨時間為簡諧變化。首先定義無量綱頻率:η=2a/λβ。該參數(shù)表示夾雜物直徑同剪切波波長的比值。圖2給出了不同頻率、不同角度P波入射情況下，夾雜物上方地表位移幅值。參數(shù)取值:夾雜物埋深d/a=1.5，夾雜物內(nèi)外剪切模量比值μ2/μ1=1/6，密度比 ρ2/ρ1=2/3，泊松比均取為 1/3。入射波角度分別取:θα=0°，30°，60°，入射波頻率分別取 η =1.0，1.5 和 2.0?？梢钥闯?，隨著入射角度變化，地表位移反應(yīng)特征差異很大。而豎向位移峰值一般出現(xiàn)在波垂直入射情況。θα=60°情況，水平位移幅值較大。隨著入射角度增大，當(dāng)接近水平入射時，地表位移反應(yīng)很小，夾雜物對平面波的散射效應(yīng)也很微弱。隨著入射波頻率增大，地表位移振蕩更為劇烈，散射作用也更為明顯。

圖2 不同頻率平面P波入射下地表位移幅值（軟夾雜）

圖3 不同頻率平面P波入射下地表位移幅值（硬夾雜）

圖3 針對硬夾雜物情況，給出了不同頻率、角度P波入射情況下，夾雜物附近地表位移幅值。參數(shù)取值:夾雜物埋深d/a=1.5，夾雜物內(nèi)外剪切模量比值 μ2/μ1=6/1，密度比 ρ2/ρ1=3/2，泊松比均取為1/3。如圖3所示，硬夾雜對平面波的散射同軟夾雜情況有顯著的差異，一般在夾雜正上方位移幅值較小。但需要注意的是在夾雜直徑區(qū)域之外，由于散射波的影響，會出現(xiàn)位移放大效應(yīng)。另外，還可以看出，隨著入射波頻率增大，夾雜正上方位移振蕩較平緩，而夾雜區(qū)域外部，則振蕩較為劇烈。

4 結(jié)語

結(jié)合粘彈性人工邊界，利用波動有限單元法，求解了彈性半空間中彈性夾雜對彈性波的二維散射。本文主要分析了夾雜物對附近地面運(yùn)動的影響，分析入射波頻率和角度等因素對附近地面運(yùn)動的影響。研究表明:半空間中彈性夾雜對彈性波的散射同全空間情況存在很大差別。彈性夾雜對附近位移幅值有著顯著的影響，但影響規(guī)律隨著介質(zhì)軟硬程度發(fā)生較大變化。軟夾雜上方的位移放大比較明顯;隨入射角度變化，地表位移反應(yīng)特征差異很大。P波入射時，豎向位移峰值一般出現(xiàn)在垂直入射情況。隨著入射角度增大，當(dāng)接近水平入射時，地表位移反應(yīng)很小，夾雜物對平面波的散射效應(yīng)也很微弱。入射波頻率對位移反應(yīng)影響較大。

［1］李宏亮，劉殿魁.SH波作用下圓形夾雜與裂紋的相互作用［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2004，25(5):618-622.

［2］劉殿魁，田家勇.SH波對界面圓柱形彈性夾雜散射及動應(yīng)力集中［J］.爆炸與沖擊，1999，19(2):115-123.

［3］袁曉銘.地表下圓形夾塞區(qū)出平面散射對地面運(yùn)動的影響［J］.地球物理學(xué)報，1996，39(3):373-381.

［4］廖振鵬.工程波動理論導(dǎo)引［M］.北京:科學(xué)出版社，1999.