現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中全導(dǎo)數(shù)概念的命名辨析

陳均

蘭州理工大學(xué)理學(xué)院 蘭州 730050

現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中全導(dǎo)數(shù)概念的命名辨析

陳均

蘭州理工大學(xué)理學(xué)院 蘭州 730050

對現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中全導(dǎo)數(shù)概念在教學(xué)過程中反映出的一些問題進(jìn)行討論與分析，基于導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)概念的一致性和數(shù)學(xué)概念命名的邏輯原則要求，提出對全導(dǎo)數(shù)不予命名的建議。

高等數(shù)學(xué)；教材；全導(dǎo)數(shù)

10.3969/j.issn.1671-489X.2013.12.098

作者：陳均，講師，學(xué)士。

導(dǎo)數(shù)概念是微積分學(xué)中最重要的概念之一?，F(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中主要講述一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)等概念。全面、系統(tǒng)、準(zhǔn)確地理解并掌握導(dǎo)數(shù)概念是微積分學(xué)中最基本與最重要的教學(xué)目的之一。為了在實(shí)際教學(xué)過程中能夠順利地完成與實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目的，基于對高等教學(xué)多年的教學(xué)實(shí)踐中教與學(xué)兩方面反映出的問題的總結(jié)分析，筆者認(rèn)為現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“全導(dǎo)數(shù)”概念的命名有值得商榷之處。

數(shù)學(xué)思維的突破點(diǎn)為數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也為學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，學(xué)習(xí)者的認(rèn)知過程會“重演”它的發(fā)展經(jīng)過。因此，就數(shù)學(xué)教學(xué)過程而言，學(xué)生就會有一些問題：“全導(dǎo)數(shù)”在什么樣的情況下提出來的？如何理解“趨近于”？想要弄清楚這些問題，就要認(rèn)真研究數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，站在哲學(xué)的視角去認(rèn)識導(dǎo)數(shù)。通過這種方法不僅能夠幫助了解導(dǎo)數(shù)的概念，還能夠幫助構(gòu)建準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念。

回想導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)展歷程，從中得知導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵要早于極限的內(nèi)涵，就像積分要早于微分一樣。大多數(shù)人都知道，于古時(shí)候的窮竭法里已有積分內(nèi)涵的萌芽，然而積分的內(nèi)涵與方法差不多是和近代力學(xué)一起出現(xiàn)并發(fā)展起來的，其也經(jīng)過一段時(shí)間的醞釀。

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編的《高等數(shù)學(xué)》（第四版）中關(guān)于“全導(dǎo)數(shù)”概念的表述為：將一元函數(shù)微分學(xué)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣到多元復(fù)合函數(shù)的情形。定理：如果函數(shù)u=j(t)及v=ψ(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[j(t),ψ(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：

對于高等數(shù)學(xué)教材中導(dǎo)數(shù)概念的定義具有很多的爭議，很多人認(rèn)為微積分是將極限理論作為理論前提的，極限運(yùn)算為微積分運(yùn)算的一種方法，學(xué)生只有掌握好極限，才有可能將導(dǎo)數(shù)知識學(xué)好；然而也有一部分人認(rèn)為，極限理論的學(xué)習(xí)一直為微積分學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。

基于這種定義，明顯存在一些問題。

1）與多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念相比較，這種“全導(dǎo)數(shù)”僅僅是針對多元函數(shù)中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的一種特殊情形提出來的。就復(fù)合函數(shù)而言，復(fù)合過程比較復(fù)雜，有一元函數(shù)與多元函數(shù)、多元函數(shù)與多元函數(shù)，中間變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)以上等情形。而上述“全導(dǎo)數(shù)”定義中的復(fù)合函數(shù)只是一個(gè)自變量的函數(shù)，只不過同一層次的中間變量多于兩個(gè)，本質(zhì)上講這種復(fù)合函數(shù)仍然是一元函數(shù)。僅此原因就引出“全導(dǎo)數(shù)”概念，其理由是不充足的。

2）命名中“全”字的漢語意義中，有“全面、全部、全體”等含義，用來表述一種特殊情形下的導(dǎo)數(shù)，邏輯上直覺表現(xiàn)為“定義過寬”。這種“全導(dǎo)數(shù)”概念與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、全微分概念的邏輯關(guān)系難以界定[3]。

3）反映在實(shí)際教學(xué)過程中，對于學(xué)生理解有關(guān)導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、全微分等概念會形成障礙。

①由導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道函數(shù)變化率就是導(dǎo)數(shù)?；趯?dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，教材中一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)的定義都是建立在極限理論基礎(chǔ)之上，這些概念的一致性是顯然的，而所謂“全導(dǎo)數(shù)”概念并不具備這種一致性。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中總是自覺不自覺地把這些導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來，教師雖然可以對此做出解釋，卻陡增節(jié)外生枝之感。

②全微分概念是多元微積分學(xué)中又一重要概念，教材中重點(diǎn)討論偏導(dǎo)數(shù)與全微分之間的關(guān)系。由于所謂“全導(dǎo)數(shù)”概念的提出，教學(xué)過程中必須對其與全微分概念之間的關(guān)系加以解釋，以解學(xué)生想當(dāng)然地將全導(dǎo)數(shù)與全微分聯(lián)系之惑，否則對于順利理解全微分概念勢必形成干擾。

通常情況下，不可以用函數(shù)f(x)于x1的極限求出f(x1)。如果f(x)在x1連續(xù)，然而導(dǎo)函數(shù)卻不同，即使條件不強(qiáng)也能夠這樣做。定理：假設(shè)函數(shù)f(x)于區(qū)間[x1，x1+k]（k＞0）里連續(xù)，并且當(dāng)x＞x1時(shí)導(dǎo)數(shù)為有窮f(x)；如果f(x1+0)是存在的，那么導(dǎo)數(shù)f(x1+0)=導(dǎo)數(shù)f(x)。經(jīng)過證明發(fā)展，其具有兩方面的意義。

第一方面的意義：導(dǎo)函數(shù)于某點(diǎn)的單側(cè)極限存在，那么此點(diǎn)的同側(cè)導(dǎo)函數(shù)一定會存在；如果該左右極限均相同，極限就為此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。這表明導(dǎo)函數(shù)的極限能夠求解導(dǎo)數(shù)值。該種方法在點(diǎn)比較特殊的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)很難求出來，然而采用導(dǎo)函數(shù)單側(cè)極限來求解就比較容易。

第二方面的意義：如果某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是存在的，那么導(dǎo)函數(shù)于此點(diǎn)的左右極限均在而且相同，這也說明導(dǎo)函數(shù)不可能存在跳躍間斷點(diǎn)。也可以說，存在跳躍點(diǎn)的函數(shù)是不存在原函數(shù)的，也就是不可能為哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。這表明含有跳躍點(diǎn)的函數(shù)是不可能求出不定積分的。

綜上所述，究其原因是由于“全導(dǎo)數(shù)”概念的命名形成的。想要解決這個(gè)問題可以采用兩種方法：第一種方法是重新命名高等數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念；另一種方法就是不命名，仍叫其原來的名稱。作為教材中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的內(nèi)容，如果將導(dǎo)數(shù)命名為“復(fù)合導(dǎo)數(shù)”，不足以表達(dá)所有復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，似為有些不妥。筆者認(rèn)為，聯(lián)系高等數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際，為了突出并順利地理解掌握一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、全微分等有關(guān)概念，本著教材編寫中刪繁就簡的原則，避免小題大做，只將其作為“鏈?zhǔn)椒▌t”中的一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式即可，不必做“全導(dǎo)數(shù)”的命名。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)∶下冊[M].北京∶高等教育出版社,1996∶30.

[2]郭橋,資建民.大學(xué)邏輯導(dǎo)論[M].北京∶人民出版社,2003∶13-33.

[3]上海市教育委員會.高等數(shù)學(xué)∶多元微積分及其教學(xué)軟件[M].北京∶科學(xué)出版社,1999∶155-156.

Discussion on Naming of Concept of Total Derivative in Advanced Mathematics

Chen Jun

Several problems about teaching of the total-derivative concept in current advanced mathematics teaching materials were discussed in this paper. It is suggested that the totalderivative don’t be named considering the uniformity of derivative, partial-derivative,directional-derivative and the logic of naming for mathematics concept.

advanced mathematics; teaching material; total-derivative

G642.0

B

1671-489X(2013)12-0098-02