隨機(jī)共振信號(hào)恢復(fù)研究

張 攀，王太勇，井路陽(yáng)，張 瑩

(天津大學(xué) 裝備設(shè)計(jì)與制造技術(shù)天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

0 引言

自1981年Benzi[1]等人研究古氣象冰川問(wèn)題時(shí)提出隨機(jī)共振（SR）概念以來(lái)，有關(guān)隨機(jī)共振理論、實(shí)驗(yàn)和模型的研究[2]已成為二十多年來(lái)非線性科學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。在信號(hào)處理領(lǐng)域，隨機(jī)共振可用來(lái)提取有效信號(hào)的特征頻率，因此在微弱信息的檢測(cè)、放大、傳輸?shù)确矫婢哂歇?dú)特的優(yōu)勢(shì)。但同時(shí)，由于系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)輸出畸變?yōu)楹哳l成分的矩形（或梯形）波，給非方波周期信號(hào)的后續(xù)處理帶來(lái)了諸多不便。

文獻(xiàn)[3]實(shí)現(xiàn)了對(duì)雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)波形失真輸出的恢復(fù)。但由于其驅(qū)動(dòng)信號(hào)僅限為正弦信號(hào)，因此對(duì)于非正弦信號(hào)(特別是非周期信號(hào))驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)共振系統(tǒng)的恢復(fù)具有一定的局限性。能否對(duì)于工程實(shí)際處理中普遍遇到的被噪聲污染的采樣信號(hào)進(jìn)行有效的恢復(fù)，是本文的出發(fā)點(diǎn)和主旨所在。

本文以含噪信號(hào)為處理對(duì)象，提出了基于信號(hào)分類(lèi)的隨機(jī)共振恢復(fù)方法，既對(duì)類(lèi)正弦信號(hào)和類(lèi)脈沖信號(hào)，分別選擇級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)隨機(jī)共振和單穩(wěn)隨機(jī)共振提取被噪聲污染的信息，然后求取參數(shù)可調(diào)或者參數(shù)固定的恢復(fù)系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)共振輸出的響應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)工程中對(duì)含噪信號(hào)的特征提取。

1 系統(tǒng)化的隨機(jī)共振恢復(fù)方法

隨機(jī)共振現(xiàn)象反映了噪聲和信號(hào)在非線性條件下表現(xiàn)出來(lái)的協(xié)同效應(yīng)。事實(shí)證明，在雙穩(wěn)系統(tǒng)的阱內(nèi)隨機(jī)共振[4]中，噪聲也會(huì)對(duì)系統(tǒng)行為產(chǎn)生積極的影響[5]。從這種意義上說(shuō)，雙穩(wěn)系統(tǒng)是否處于隨機(jī)共振狀態(tài)，并不是以發(fā)生阱間躍遷為標(biāo)志，而是看噪聲是否對(duì)系統(tǒng)輸出產(chǎn)生了有利的影響，這種影響既發(fā)生在阱間，也發(fā)生在阱內(nèi)。因此，本文中我們稱(chēng)雙穩(wěn)系統(tǒng)中沒(méi)有發(fā)生阱間躍遷的情況為單穩(wěn)隨機(jī)共振，有阱間躍遷發(fā)生時(shí)稱(chēng)為雙穩(wěn)隨機(jī)共振。

文獻(xiàn)[3]中對(duì)于正弦信號(hào)驅(qū)動(dòng)下的雙穩(wěn)系統(tǒng)采用了級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)隨機(jī)系統(tǒng)和參數(shù)調(diào)節(jié)的恢復(fù)系統(tǒng)。由于恢復(fù)方法的選擇與信號(hào)特性相關(guān)，對(duì)于工程實(shí)際處理中普遍遇到的被噪聲污染的采樣信號(hào),本文提出了基于信號(hào)分類(lèi)的隨機(jī)共振恢復(fù)方法。首先對(duì)待處理信號(hào)進(jìn)行初步的分析。如果信號(hào)中包含有限幾個(gè)周期成分，并且這幾個(gè)成分集中于某一頻段，其時(shí)域波形表現(xiàn)為較平滑的曲線，不含階躍成分，我們定義這類(lèi)信號(hào)為類(lèi)正弦信號(hào)，采用級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)隨機(jī)共振和參數(shù)調(diào)節(jié)的恢復(fù)系統(tǒng)對(duì)有效的時(shí)域波形進(jìn)行恢復(fù)。如果信號(hào)包含較多或者無(wú)限多的周期成分，覆蓋很寬的頻域范圍，其時(shí)域波形中含有脈沖的信號(hào)形式，我們定義這類(lèi)信號(hào)為類(lèi)脈沖信號(hào)，采用單穩(wěn)隨機(jī)共振和參數(shù)固定的恢復(fù)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)波形的恢復(fù)。操作流程如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)化的隨機(jī)共振恢復(fù)方法

需要說(shuō)明的是，該分類(lèi)方法對(duì)于信號(hào)是否是周期信號(hào)沒(méi)有限制。下面我們將就兩種方法的分別進(jìn)行討論。

2 類(lèi)正弦信號(hào)的恢復(fù)方法

在外界驅(qū)動(dòng)力 s(t)和由雙穩(wěn)系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)U(x) = - 1 /2a x2+ 1 /4bx4決定的能量勢(shì)場(chǎng)的作用下，過(guò)阻尼的布朗粒子其運(yùn)動(dòng)滿足朗之萬(wàn)方程：

變量上方的“?”表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)。典型的隨機(jī)共振模型中，驅(qū)動(dòng)信號(hào) s (t) = A s in(2π f0t)， n (t)是強(qiáng)度為D的高斯白噪聲。

在絕熱近似條件下[2]，粒子在 U (x)中的運(yùn)動(dòng)軌跡近似滿足：

可見(jiàn)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡 ()xt不再嚴(yán)格遵循 ()st的時(shí)間歷程，對(duì)此，文獻(xiàn)[3]給出恢復(fù)公式：

對(duì)于類(lèi)正弦信號(hào)的恢復(fù)我們可以采用文獻(xiàn)[3]中提出了級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)隨機(jī)共振[6]與參數(shù)調(diào)節(jié)的恢復(fù)系統(tǒng)，但其對(duì)于恢復(fù)系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)節(jié)并沒(méi)有做具體的研究。本文將在其基礎(chǔ)上首先研究利用級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)隨機(jī)共振和參數(shù)調(diào)節(jié)的恢復(fù)系統(tǒng)中參數(shù)的選取問(wèn)題。具體操作為[7]：

1）將含噪信號(hào) s(t) + n (t)送入級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)系統(tǒng)，調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)a、b和二次采樣頻率fsr，使得雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出達(dá)到隨機(jī)共振狀態(tài)。其中，兩級(jí)雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)相同，輸出分別為 x(t)和 y (t)。

在信號(hào)處理中，經(jīng)過(guò)A/D轉(zhuǎn)換，連續(xù)的時(shí)間歷程 ()xt和 ()yt被離散為序列：

其中，N為采樣點(diǎn)數(shù)。

于是，條件(5)變?yōu)閷?duì)任意的01iN≤≤-滿足：

帶入上式，仍然成立。注意到方程(7)中分母不能為零，根據(jù)文獻(xiàn)[3]的分析，要求 xi以及 yi的取值不包括雙穩(wěn)系統(tǒng)的拐點(diǎn)。在絕熱近似條件下，粒子經(jīng)過(guò)系統(tǒng)拐點(diǎn)時(shí)會(huì)發(fā)生極快的躍遷，所以我們?cè)谟?jì)算樣本均值時(shí)應(yīng)該去掉阱間躍遷的部分，即分別計(jì)算系統(tǒng)輸出在正、負(fù)勢(shì)阱中的樣本均值。由于躍遷運(yùn)動(dòng)是對(duì)稱(chēng)的，兩個(gè)勢(shì)阱中樣本均值的絕對(duì)值相等，分別定義為。于是，最優(yōu)的恢復(fù)參數(shù)滿足

我們?nèi)匀∥墨I(xiàn)[3]中的參數(shù)：正弦信號(hào)頻率f0= 0 .01Hz，幅值 A = 0 .3，噪聲強(qiáng)度 D = 0 .28，系統(tǒng)參數(shù) a = b = 1 ，采樣頻率 fs= 5 Hz，考察的點(diǎn)數(shù)為200～1200。根據(jù)文獻(xiàn)[3]，在這組參數(shù)下可以使系統(tǒng)輸出產(chǎn)生隨機(jī)共振。通過(guò)計(jì)算，得到= 0 .787，= 1 .325。根據(jù)級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)隨機(jī)共振的理論[8]，無(wú)論是第一級(jí)輸出 x(t)還是第二級(jí)輸出y(t)，都受到殘余噪聲的影響，因此樣本均值和也帶有一定的隨機(jī)性?？疾旆匠?9)，調(diào)節(jié)常數(shù)項(xiàng)a~比調(diào)節(jié)二次項(xiàng)系數(shù)容易避開(kāi)這一隨機(jī)性的影響。所以通常我們固定= 1，而只討論恢復(fù)系統(tǒng)線性項(xiàng)系數(shù)。

文獻(xiàn)3中描述的正是在這組參數(shù)取值下的恢復(fù)波形，可以有效的實(shí)現(xiàn)信號(hào)的恢復(fù)。

因此，我們可以提出“類(lèi)正弦信號(hào)”的恢復(fù)方法，具體恢復(fù)過(guò)程如圖2所示。

圖2 “類(lèi)正弦信號(hào)”的恢復(fù)方法

3 類(lèi)脈沖信號(hào)的恢復(fù)方法

對(duì)于振動(dòng)測(cè)試常見(jiàn)到周期或者非周期沖擊信號(hào)，時(shí)間ε越小，對(duì)應(yīng)的頻譜范圍越廣。這種特性決定了一旦信號(hào)中含有脈沖形式，就很容易被噪聲干擾。圖3中的時(shí)間歷程含有三個(gè)高度為1的脈沖，脈沖位置隨機(jī)。

添加強(qiáng)度 0.1D= 的白噪聲后，我們得到了圖4(a)所示的混合信號(hào)，顯然，我們無(wú)法從時(shí)域波形中提取到任何關(guān)于脈沖的信息，從頻譜看，有效的信息也被噪聲湮沒(méi)，如圖4(b)所示。

圖3 隨機(jī)脈沖序列的時(shí)域波形

圖4 含噪脈沖序列的時(shí)域波形與頻譜

考慮到雙穩(wěn)系統(tǒng)可以改變信號(hào)譜圖的能量分布，使得響應(yīng)信號(hào)的頻譜呈現(xiàn)羅倫茲分布的特性，而恢復(fù)系統(tǒng)在一定程度上可以恢復(fù)被放大或縮小的幅值，我們采用隨機(jī)共振的信號(hào)恢復(fù)方法對(duì)圖4(a)中的含噪信號(hào)進(jìn)行處理，取雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)，二次采樣頻率 fsr= 1 2Hz ，我們得到圖5(a)中的隨機(jī)共振輸出。

由圖5(a)可以看出，在上述參數(shù)下，系統(tǒng)行為受單阱調(diào)制，輸出始終為正，此時(shí)系統(tǒng)處于單穩(wěn)隨機(jī)共振狀態(tài)。這里，我們有意避開(kāi)雙穩(wěn)共振狀態(tài)，是由于一方面噪聲強(qiáng)度比較小，單穩(wěn)隨機(jī)共振也可以使系統(tǒng)輸出達(dá)到一個(gè)較為理想的狀態(tài)；同時(shí)從時(shí)域看，對(duì)于非周期的脈沖序列，我們很難衡量何時(shí)為最佳的雙穩(wěn)共振狀態(tài)，以指導(dǎo)參數(shù)的調(diào)節(jié)方向。

為了恢復(fù)得到脈沖的準(zhǔn)確位置和大小，我們采用參數(shù)固定的恢復(fù)系統(tǒng)，即直接利用恢復(fù)公式(3)。選擇恢復(fù)參數(shù)a a=~ 和b b=~ ，得到圖5(b)所示的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)脈沖的位置和高度都得到了較為精確的提取?？紤]到重復(fù)性可作為判定實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否有效的標(biāo)準(zhǔn)之一，我們提出了類(lèi)脈沖信號(hào)的恢復(fù)方法，如圖6所示。

圖5 含噪脈沖序列的隨機(jī)共振波形恢復(fù)

圖6 “類(lèi)脈沖信號(hào)”的恢復(fù)方法

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)一

對(duì)于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，加上阻尼裝置后，圖7所示，其質(zhì)點(diǎn)位移 ()xt可表示為：

上式稱(chēng)為有阻尼的自由振動(dòng)方程，將其作為我們的目標(biāo)信號(hào)。該信號(hào)是一個(gè)瞬變非周期信號(hào)，它不是一個(gè)等幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其幅值按指數(shù)衰減。由于測(cè)試設(shè)備、環(huán)境等帶來(lái)的干擾，采集到的信號(hào)含有大量的噪聲。

圖7 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

圖8 振動(dòng)衰減信號(hào)的恢復(fù)結(jié)果

對(duì)于含噪待處理信號(hào)圖8(a)，我們采用類(lèi)正弦信號(hào)的恢復(fù)方法，選擇參數(shù)系統(tǒng)為 a = b = 1 以及二次采樣頻率 fsr= 4 Hz[9]，得到級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)輸出。求解樣本均值，代回到方程（9）中，得到恢復(fù)參數(shù)組合 a~ = 1.68和 b~ = 1。對(duì)于圖8(b)的恢復(fù)結(jié)果，經(jīng)過(guò)合理的線性插值、擬合[10]等后處理，最終得到圖8(c)所示的時(shí)域波形。可以清楚地看出原始信號(hào)的時(shí)域特征，判定可知恢復(fù)結(jié)果與目標(biāo)信號(hào)即振動(dòng)衰減信號(hào)相符，并可以計(jì)算所測(cè)結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)。

4.2 實(shí)驗(yàn)二

圖9記錄的是金屬切削過(guò)程的振動(dòng)信號(hào)，工程背景參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)背景的初步判斷，我們知道，當(dāng)?shù)毒咔邢鞯桨袅瞎ぜ挠颤c(diǎn)時(shí)，將產(chǎn)生周期性的脈沖沖擊，其頻率為機(jī)床主軸轉(zhuǎn)頻，這里將待識(shí)別的目標(biāo)信號(hào)歸入類(lèi)脈沖信號(hào)，采用圖6中的恢復(fù)方法進(jìn)行處理。

圖9 文獻(xiàn)[6]中的切削振動(dòng)信號(hào)

圖10 不同二次采樣頻率下的雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出與恢復(fù)結(jié)果

由此可以看出，對(duì)于本實(shí)驗(yàn)中的周期性脈沖信號(hào)，類(lèi)脈沖信號(hào)的恢復(fù)方法都可以得到較為理想的處理結(jié)果。由于單穩(wěn)共振狀態(tài)的參數(shù)調(diào)節(jié)范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于雙穩(wěn)共振狀態(tài)的調(diào)節(jié)范圍，并且只需要改變二次采樣頻率的大小以獲取重復(fù)性的時(shí)域信息，極大的降低了調(diào)節(jié)參數(shù)的數(shù)量和難度，因此與級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)隨機(jī)共振相比，類(lèi)脈沖信號(hào)的隨機(jī)共振恢復(fù)方法具有更大的實(shí)用價(jià)值。

5 結(jié)論

本文把工程實(shí)際中普遍遇到的含噪信號(hào)分為“類(lèi)正弦信號(hào)”和“類(lèi)脈沖信號(hào)”，針對(duì)兩類(lèi)信號(hào)給出了不同的恢復(fù)方法，這兩種方法的區(qū)別在于是否達(dá)到雙穩(wěn)共振狀態(tài)，以及恢復(fù)系統(tǒng)參數(shù)是否固定。實(shí)驗(yàn)證明，基于信號(hào)分類(lèi)的隨機(jī)共振恢復(fù)方法，可實(shí)現(xiàn)工程中對(duì)含噪信號(hào)的特征提取。與二次采樣和參數(shù)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振方法結(jié)合，亦可擴(kuò)展到大頻率范圍內(nèi)，對(duì)于噪聲強(qiáng)度也具有一定的適應(yīng)性。由于該法具有隨機(jī)共振在信號(hào)處理中異于常規(guī)方法的優(yōu)勢(shì)，并且對(duì)信號(hào)周期性沒(méi)有要求，因此有望在信號(hào)的時(shí)域處理中得到更加廣泛的應(yīng)用。對(duì)于類(lèi)脈沖信號(hào)，建立二次采樣頻率srf和最佳恢復(fù)效果的關(guān)系，是下一步工作需要解決的問(wèn)題。

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