隨機共振信號恢復研究

張 攀，王太勇，井路陽，張 瑩

(天津大學 裝備設計與制造技術天津市重點實驗室，天津 300072)

0 引言

自1981年Benzi[1]等人研究古氣象冰川問題時提出隨機共振（SR）概念以來，有關隨機共振理論、實驗和模型的研究[2]已成為二十多年來非線性科學研究的一個熱點。在信號處理領域，隨機共振可用來提取有效信號的特征頻率，因此在微弱信息的檢測、放大、傳輸等方面具有獨特的優(yōu)勢。但同時，由于系統(tǒng)對周期信號的響應輸出畸變?yōu)楹哳l成分的矩形（或梯形）波，給非方波周期信號的后續(xù)處理帶來了諸多不便。

文獻[3]實現了對雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)波形失真輸出的恢復。但由于其驅動信號僅限為正弦信號，因此對于非正弦信號(特別是非周期信號)驅動的隨機共振系統(tǒng)的恢復具有一定的局限性。能否對于工程實際處理中普遍遇到的被噪聲污染的采樣信號進行有效的恢復，是本文的出發(fā)點和主旨所在。

本文以含噪信號為處理對象，提出了基于信號分類的隨機共振恢復方法，既對類正弦信號和類脈沖信號，分別選擇級聯雙穩(wěn)隨機共振和單穩(wěn)隨機共振提取被噪聲污染的信息，然后求取參數可調或者參數固定的恢復系統(tǒng)對隨機共振輸出的響應，從而實現工程中對含噪信號的特征提取。

1 系統(tǒng)化的隨機共振恢復方法

隨機共振現象反映了噪聲和信號在非線性條件下表現出來的協同效應。事實證明，在雙穩(wěn)系統(tǒng)的阱內隨機共振[4]中，噪聲也會對系統(tǒng)行為產生積極的影響[5]。從這種意義上說，雙穩(wěn)系統(tǒng)是否處于隨機共振狀態(tài)，并不是以發(fā)生阱間躍遷為標志，而是看噪聲是否對系統(tǒng)輸出產生了有利的影響，這種影響既發(fā)生在阱間，也發(fā)生在阱內。因此，本文中我們稱雙穩(wěn)系統(tǒng)中沒有發(fā)生阱間躍遷的情況為單穩(wěn)隨機共振，有阱間躍遷發(fā)生時稱為雙穩(wěn)隨機共振。

文獻[3]中對于正弦信號驅動下的雙穩(wěn)系統(tǒng)采用了級聯雙穩(wěn)隨機系統(tǒng)和參數調節(jié)的恢復系統(tǒng)。由于恢復方法的選擇與信號特性相關，對于工程實際處理中普遍遇到的被噪聲污染的采樣信號,本文提出了基于信號分類的隨機共振恢復方法。首先對待處理信號進行初步的分析。如果信號中包含有限幾個周期成分，并且這幾個成分集中于某一頻段，其時域波形表現為較平滑的曲線，不含階躍成分，我們定義這類信號為類正弦信號，采用級聯雙穩(wěn)隨機共振和參數調節(jié)的恢復系統(tǒng)對有效的時域波形進行恢復。如果信號包含較多或者無限多的周期成分，覆蓋很寬的頻域范圍，其時域波形中含有脈沖的信號形式，我們定義這類信號為類脈沖信號，采用單穩(wěn)隨機共振和參數固定的恢復系統(tǒng)實現波形的恢復。操作流程如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)化的隨機共振恢復方法

需要說明的是，該分類方法對于信號是否是周期信號沒有限制。下面我們將就兩種方法的分別進行討論。

2 類正弦信號的恢復方法

在外界驅動力 s(t)和由雙穩(wěn)系統(tǒng)勢函數U(x) = - 1 /2a x2+ 1 /4bx4決定的能量勢場的作用下，過阻尼的布朗粒子其運動滿足朗之萬方程：

變量上方的“?”表示對時間t求導。典型的隨機共振模型中，驅動信號 s (t) = A s in(2π f0t)， n (t)是強度為D的高斯白噪聲。

在絕熱近似條件下[2]，粒子在 U (x)中的運動軌跡近似滿足：

可見，粒子的運動軌跡 ()xt不再嚴格遵循 ()st的時間歷程，對此，文獻[3]給出恢復公式：

對于類正弦信號的恢復我們可以采用文獻[3]中提出了級聯雙穩(wěn)隨機共振[6]與參數調節(jié)的恢復系統(tǒng)，但其對于恢復系統(tǒng)參數的調節(jié)并沒有做具體的研究。本文將在其基礎上首先研究利用級聯雙穩(wěn)隨機共振和參數調節(jié)的恢復系統(tǒng)中參數的選取問題。具體操作為[7]：

1）將含噪信號 s(t) + n (t)送入級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)，調節(jié)系統(tǒng)參數a、b和二次采樣頻率fsr，使得雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出達到隨機共振狀態(tài)。其中，兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)參數相同，輸出分別為 x(t)和 y (t)。

在信號處理中，經過A/D轉換，連續(xù)的時間歷程 ()xt和 ()yt被離散為序列：

其中，N為采樣點數。

于是，條件(5)變?yōu)閷θ我獾?1iN≤≤-滿足：

帶入上式，仍然成立。注意到方程(7)中分母不能為零，根據文獻[3]的分析，要求 xi以及 yi的取值不包括雙穩(wěn)系統(tǒng)的拐點。在絕熱近似條件下，粒子經過系統(tǒng)拐點時會發(fā)生極快的躍遷，所以我們在計算樣本均值時應該去掉阱間躍遷的部分，即分別計算系統(tǒng)輸出在正、負勢阱中的樣本均值。由于躍遷運動是對稱的，兩個勢阱中樣本均值的絕對值相等，分別定義為。于是，最優(yōu)的恢復參數滿足

我們仍取文獻[3]中的參數：正弦信號頻率f0= 0 .01Hz，幅值 A = 0 .3，噪聲強度 D = 0 .28，系統(tǒng)參數 a = b = 1 ，采樣頻率 fs= 5 Hz，考察的點數為200～1200。根據文獻[3]，在這組參數下可以使系統(tǒng)輸出產生隨機共振。通過計算，得到= 0 .787，= 1 .325。根據級聯雙穩(wěn)隨機共振的理論[8]，無論是第一級輸出 x(t)還是第二級輸出y(t)，都受到殘余噪聲的影響，因此樣本均值和也帶有一定的隨機性?？疾旆匠?9)，調節(jié)常數項a~比調節(jié)二次項系數容易避開這一隨機性的影響。所以通常我們固定= 1，而只討論恢復系統(tǒng)線性項系數。

文獻3中描述的正是在這組參數取值下的恢復波形，可以有效的實現信號的恢復。

因此，我們可以提出“類正弦信號”的恢復方法，具體恢復過程如圖2所示。

圖2 “類正弦信號”的恢復方法

3 類脈沖信號的恢復方法

對于振動測試常見到周期或者非周期沖擊信號，時間ε越小，對應的頻譜范圍越廣。這種特性決定了一旦信號中含有脈沖形式，就很容易被噪聲干擾。圖3中的時間歷程含有三個高度為1的脈沖，脈沖位置隨機。

添加強度 0.1D= 的白噪聲后，我們得到了圖4(a)所示的混合信號，顯然，我們無法從時域波形中提取到任何關于脈沖的信息，從頻譜看，有效的信息也被噪聲湮沒，如圖4(b)所示。

圖3 隨機脈沖序列的時域波形

圖4 含噪脈沖序列的時域波形與頻譜

考慮到雙穩(wěn)系統(tǒng)可以改變信號譜圖的能量分布，使得響應信號的頻譜呈現羅倫茲分布的特性，而恢復系統(tǒng)在一定程度上可以恢復被放大或縮小的幅值，我們采用隨機共振的信號恢復方法對圖4(a)中的含噪信號進行處理，取雙穩(wěn)系統(tǒng)參數，二次采樣頻率 fsr= 1 2Hz ，我們得到圖5(a)中的隨機共振輸出。

由圖5(a)可以看出，在上述參數下，系統(tǒng)行為受單阱調制，輸出始終為正，此時系統(tǒng)處于單穩(wěn)隨機共振狀態(tài)。這里，我們有意避開雙穩(wěn)共振狀態(tài)，是由于一方面噪聲強度比較小，單穩(wěn)隨機共振也可以使系統(tǒng)輸出達到一個較為理想的狀態(tài)；同時從時域看，對于非周期的脈沖序列，我們很難衡量何時為最佳的雙穩(wěn)共振狀態(tài)，以指導參數的調節(jié)方向。

為了恢復得到脈沖的準確位置和大小，我們采用參數固定的恢復系統(tǒng)，即直接利用恢復公式(3)。選擇恢復參數a a=~ 和b b=~ ，得到圖5(b)所示的結果，可以發(fā)現脈沖的位置和高度都得到了較為精確的提取。考慮到重復性可作為判定實驗結果是否有效的標準之一，我們提出了類脈沖信號的恢復方法，如圖6所示。

圖5 含噪脈沖序列的隨機共振波形恢復

圖6 “類脈沖信號”的恢復方法

4 實驗驗證

4.1 仿真實驗一

對于單自由度振動系統(tǒng)，加上阻尼裝置后，圖7所示，其質點位移 ()xt可表示為：

上式稱為有阻尼的自由振動方程，將其作為我們的目標信號。該信號是一個瞬變非周期信號，它不是一個等幅的簡諧振動，其幅值按指數衰減。由于測試設備、環(huán)境等帶來的干擾，采集到的信號含有大量的噪聲。

圖7 單自由度振動系統(tǒng)

圖8 振動衰減信號的恢復結果

對于含噪待處理信號圖8(a)，我們采用類正弦信號的恢復方法，選擇參數系統(tǒng)為 a = b = 1 以及二次采樣頻率 fsr= 4 Hz[9]，得到級聯雙穩(wěn)輸出。求解樣本均值，代回到方程（9）中，得到恢復參數組合 a~ = 1.68和 b~ = 1。對于圖8(b)的恢復結果，經過合理的線性插值、擬合[10]等后處理，最終得到圖8(c)所示的時域波形?？梢郧宄乜闯鲈夹盘柕臅r域特征，判定可知恢復結果與目標信號即振動衰減信號相符，并可以計算所測結構的特征參數。

4.2 實驗二

圖9記錄的是金屬切削過程的振動信號，工程背景參見文獻[6]。通過對實驗背景的初步判斷，我們知道，當刀具切削到棒料工件的硬點時，將產生周期性的脈沖沖擊，其頻率為機床主軸轉頻，這里將待識別的目標信號歸入類脈沖信號，采用圖6中的恢復方法進行處理。

圖9 文獻[6]中的切削振動信號

圖10 不同二次采樣頻率下的雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出與恢復結果

由此可以看出，對于本實驗中的周期性脈沖信號，類脈沖信號的恢復方法都可以得到較為理想的處理結果。由于單穩(wěn)共振狀態(tài)的參數調節(jié)范圍遠遠大于雙穩(wěn)共振狀態(tài)的調節(jié)范圍，并且只需要改變二次采樣頻率的大小以獲取重復性的時域信息，極大的降低了調節(jié)參數的數量和難度，因此與級聯雙穩(wěn)隨機共振相比，類脈沖信號的隨機共振恢復方法具有更大的實用價值。

5 結論

本文把工程實際中普遍遇到的含噪信號分為“類正弦信號”和“類脈沖信號”，針對兩類信號給出了不同的恢復方法，這兩種方法的區(qū)別在于是否達到雙穩(wěn)共振狀態(tài)，以及恢復系統(tǒng)參數是否固定。實驗證明，基于信號分類的隨機共振恢復方法，可實現工程中對含噪信號的特征提取。與二次采樣和參數調節(jié)隨機共振方法結合，亦可擴展到大頻率范圍內，對于噪聲強度也具有一定的適應性。由于該法具有隨機共振在信號處理中異于常規(guī)方法的優(yōu)勢，并且對信號周期性沒有要求，因此有望在信號的時域處理中得到更加廣泛的應用。對于類脈沖信號，建立二次采樣頻率srf和最佳恢復效果的關系，是下一步工作需要解決的問題。

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