向量在幾何中的應(yīng)用

劉玉彬

（惠州市仲愷中學(xué)，廣東 惠州 516229）

現(xiàn)在我們通過幾道例題來看向量在平面幾何、解析幾何及立休幾何的實(shí)際應(yīng)用。

1 向量在平面幾何中的應(yīng)用

傳統(tǒng)的歐氏幾何在訓(xùn)練思維方面具有重要意義，但其解決問題的方法主要依靠經(jīng)驗(yàn)和技巧，人們對(duì)平面幾何問題既感興趣，又常常望而生畏，但運(yùn)用向量方法，可以緩解這一矛盾，較簡(jiǎn)便的加以解決。

例1 證明連結(jié)三角形的兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半。

證明：設(shè) ΔABC 的兩邊 CA,CB 的中點(diǎn)分別 M、N，那么，所以,且

2 向量在解析幾何中的應(yīng)用

向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，這就使得向量也成為解決解析幾何問題的得力工具。

例3 勾股定理的證明：即在直角三角形ABC中∠C＝90°，求證：AB2＝AC2+BC2

圖1

例4 在直角坐標(biāo)平面中,△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為 A(-1，0),B(1，0)，平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M 同時(shí)滿足以下條件：.試求：△ABC 頂點(diǎn) C 的軌跡方程；

3 向量在立休幾何中的應(yīng)用

向量可以使立體幾何問題代數(shù)化，簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算取代了復(fù)雜的幾何證明，解題的方向明確，避免作輔助線及運(yùn)用繁重的定理、公理等進(jìn)行推理的思維過程。使立體幾何問題變得思路順暢，運(yùn)算簡(jiǎn)單。

例5 如圖2，知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為 30°，AE 垂直 BD 于 E，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)。（1）求異面直線AE與BF所成的角。（2）求平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）的大小。

圖2

解：在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立如圖2的空間直角坐標(biāo)系。 所以 A（0，0，0），B（2，0，0），F(xiàn)（1，0，1），因?yàn)橹本€ BD 與平面AA1B1B 所成的角為 30°，所以∠DBA＝30°又 AB＝2，AE⊥BD，所以 AE＝，因?yàn)?/p>

（2）易知平面 AA1B 的一個(gè)法向量，設(shè)是平面 BDF 的一個(gè)法向量，由所以取， 所以

例6 如圖3，E、F分別為空間四邊形ABCD中 AB、CD的中點(diǎn)，證明AD、EF、BC平行于同一平面。證明：， 且所以可 知 ，與共面，所以 EF與A D、BC平行于同一平面。

圖3

從以上幾個(gè)方面可以看出，向量知識(shí)在解決中學(xué)幾何問題中可以發(fā)揮很大的作用。

［1］孫維章.用向量解決幾何題[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999,23(1)：56-57.

［2］李健生.應(yīng)用初等向量代數(shù)解決平面幾何問題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2000,18(2)：43-44.