基于自適應卡爾曼濾波的光纖陀螺噪聲系數(shù)估計方法

李 昂 ， 李 安 ，2， 覃方君 ， 胡柏青

（1.海軍工程大學 電氣工程學院，湖北 武漢 430033；2.海軍工程大學 科研部，湖北 武漢 430033）

光纖陀螺是一種利用薩格奈克效應進行測角的慣性元件，因具有全固態(tài)、耐沖擊、測量范圍大等優(yōu)點，近年來逐漸成為國內(nèi)外學者的研究重點[1]。由于受光、電路元器件加工制造等多種因素影響，光纖陀螺白噪聲比一般轉子式機械陀螺要大得多[2-4]。一般地，人們采用角速度隨機游走（Angle Random Walk，簡稱ARW）來定量表征光纖陀螺輸出信號中白噪聲強度。目前采用 Allan方差法求取ARW系數(shù)是國內(nèi)外的標準方法，如美國IEEE （Std 952?-1997，R2008）和我國國軍標（GJB 2426A-2004）均推薦使用Allan方差求取ARW系數(shù)大小[5-7]。Allan方差是20世紀60年代由David W.Allan為研究振蕩穩(wěn)定性建立起來的時域分析方法，這種方法的特點是能夠比較容易的對各種誤差源統(tǒng)計特性進行細致的表征和辨識。由于Allan方差是一種非實時、離線、事后處理方法，需要存儲大量測試數(shù)據(jù)（一般需保存數(shù)小時甚至十幾小時數(shù)據(jù)），耗費大量處理時間[8-9]。本文作者研究發(fā)現(xiàn)，采用我們前期研究的自適應卡爾曼濾波技術方法[10]，可以方便地實現(xiàn)光纖陀螺ARW系數(shù)的在線、實時估計，從而避免存儲大量歷史數(shù)據(jù)，減小數(shù)據(jù)處理時間。

1 濾波模型的建立

由于量化噪聲在提高數(shù)據(jù)采樣率后會顯著降低，速度斜坡噪聲本質(zhì)上是一種確定性誤差，且僅在較低頻段才出現(xiàn)。一般情況下兩者均可以忽略。為了建模方便，現(xiàn)在僅考慮角度隨機游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機游走3種主要噪聲的數(shù)學模型。 依據(jù) IEEE Std 952?-1997（R2008）[5]，根據(jù)線性系統(tǒng)理論，角度隨機游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機游走3種噪聲可以采用以下模型描述：

式（1）對應的微分方程為：

式中 uarω、ubs、urrω分別為相互獨立的高斯白噪聲， 其均值為0，方差為1。根據(jù)微分方程組，其對應的離散化形式狀態(tài)空間方程為：

式中ΔT為離散化步長，z（k）表示k時刻陀螺儀噪聲的觀測輸出。

由式（3）可知，只要采用自適應濾波算法，將系統(tǒng)噪聲以及觀測噪聲估計統(tǒng)計特性出來，即可將角度隨機游走N、零偏不穩(wěn)定性B、角速率隨機游走系數(shù)K全部估計出來。這僅是一種十分理想的結果，實際研究發(fā)現(xiàn)不能實現(xiàn)3種系數(shù)的準確估計。零偏不穩(wěn)定性B必定受到β的影響。零偏不穩(wěn)定性噪聲和角速率隨機游走噪聲都處于低頻噪聲，頻段比較接近，因此B與K是耦合在一起的，導致了B與K無法準確估計。因此文中僅立足于角度隨機游走N的估計。

2 基于自適應Kalman算法的ARW系數(shù)的估計

為了表述簡便起見，將濾波模型式（3）中狀態(tài)方程和觀測方程分別寫成以下形式：

其中 Xk是 k 時刻系統(tǒng)狀態(tài)量；F（k+1，k）是系統(tǒng)一步狀態(tài)轉移矩陣；wk為系統(tǒng)噪聲，其協(xié)方差陣為Qk；Hk+1是系統(tǒng)觀測矩陣；Zk+1是k+1時刻系統(tǒng)量測值；vk+1為觀測噪聲，其協(xié)方差陣為Rk+1。

以新息形式表示的離散型線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波的一般算法為[10-11]：

濾波增益：Kk+1=P（k+1，k）HTk+1CIV-1k+1（6）

狀態(tài)估計：

其中IVk+1為k+1時刻新息狀態(tài)，CIVk+1為其方差：

為了解決離散線性系統(tǒng)卡爾曼濾波算法中噪聲統(tǒng)計特性（Q、R）的不確定性問題，可以利用新息序列實現(xiàn)Q、R的自適應估計。在系統(tǒng)噪聲和量測噪聲服從不相關的高斯分布，且新息序列具有遍歷性時，可以證明，式（10）是新息方差最大似然的最優(yōu)估計：

其中，N是新息序列滑動窗口的寬度，j0=k-N+1。

2.1 基于新息的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差陣Q的自適應估計

因為在濾波穩(wěn)定時，均方誤差陣P趨近于0，因此有如下以近似關系：

將式（6）代入 Kk+1CIVk+1可得：

因此，基于新息的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差陣Q的自適應估計可表示為：

2.2 基于新息的量測噪聲協(xié)方差陣的自適應估計

由式（9）變形即可直接獲得基于新息的量測噪聲協(xié)方差陣的自適應估計：

由式（3），角度隨機游走N可由下式確定：

3 試驗數(shù)據(jù)驗證分析

表1 Allan方差與本文方法系數(shù)估計對比（仿真試驗，單位：）Tab.1 Allan variance with the proposed method coefficient estimates contrast（simulation test， °/h/

表1 Allan方差與本文方法系數(shù)估計對比（仿真試驗，單位：）Tab.1 Allan variance with the proposed method coefficient estimates contrast（simulation test， °/h/

序號 理論值 Allan擬合值 本文方法均值 方差1 1.800 0 1.811 2 1.798 0 0.036 3 2 0.300 0 0.300 1 0.299 2 0.006 5 3 0.065 0 0.064 0 0.0647 5 0.001 5

由表1和圖1圖2可知，在設置的不同條件仿真試驗中，Allan方差方法和本文提出的在線估計方法均能較準確地估計出光纖陀螺的噪聲系數(shù)，Allan方差方法求得系數(shù)相對于仿真條件的最大相對誤差為1.54%，本文在線方法估計均值相對于仿真條件的最大相對誤差為0.27%。文中方法精度與經(jīng)典Allan方差方法精度基本一致。

圖2 本文方法與Allan方差系數(shù)估計結果（仿真試驗，N=0.300 0°/h/Fig.2 Proposed method and the Allan variance coefficient estimates（simulation test， N=0.300 0°/h/）

4 結束語

運用Allan方差法求取光纖陀螺ARW系數(shù)是目前國內(nèi)外的標準方法。根據(jù)Allan方差方法原理，只能實現(xiàn)采集數(shù)據(jù)的離線、事后處理。測試過程中需要存儲大量數(shù)小時甚至十幾小時的陀螺輸出數(shù)據(jù)，耗費大量時間。本文在角度隨機游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機游走3種主要噪聲的數(shù)學特性分析基礎上，建立了光纖陀螺現(xiàn)代狀態(tài)空間噪聲模型，提出采用自適應卡爾曼濾波技術方法，實現(xiàn)光纖陀螺ARW系數(shù)的在線、實時估計，并進行了數(shù)字試驗。結果表明本文方法精度略優(yōu)于Allan方差方法。

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