基于Matrix Pencil的低頻振蕩辨識(shí)及PSS優(yōu)化配置研究

張軍財(cái) 金 濤

（福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108）

電力系統(tǒng)低頻振蕩的傳統(tǒng)分析方法是建立在小干擾穩(wěn)定分析基礎(chǔ)上的，在平衡點(diǎn)線性化處理得到近似的狀態(tài)空間方程，繼而求解系統(tǒng)矩陣的特征值?；ヂ?lián)的電力系統(tǒng)無(wú)疑是龐大而復(fù)雜，為高階系統(tǒng)，參數(shù)繁多。因而，建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型并求解高維數(shù)的系統(tǒng)矩陣無(wú)疑是非常困難的[1]?；诒孀R(shí)的振蕩模態(tài)識(shí)別方法能夠直接從系統(tǒng)輸出的受干擾軌跡的信號(hào)中提取系統(tǒng)的模態(tài)信息。

PSS抑制電力系統(tǒng)低頻振蕩是目前公認(rèn)的最為經(jīng)濟(jì)的，有效一種手段[2]。在PSS優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中除了PSS參數(shù)設(shè)計(jì)重要外，PSS的地點(diǎn)配置亦是一個(gè)重要課題[3]。在實(shí)際電力系統(tǒng)中每臺(tái)機(jī)組都安裝PSS是不現(xiàn)實(shí)的，而且過(guò)多的控制器之間也有可能產(chǎn)生耦合效果，會(huì)降低控制效果。因此，研究如何在復(fù)雜多機(jī)系統(tǒng)的低頻振蕩中PSS的優(yōu)化配置是有意義的，為合理的安裝PSS阻尼控制器提供指導(dǎo)，提高電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在多機(jī)電力系統(tǒng)的低頻振蕩中，通常認(rèn)為對(duì)其中參與振蕩主導(dǎo)模態(tài)的發(fā)電機(jī)組安裝PSS進(jìn)行控制。

在對(duì)PSS配置地點(diǎn)的問(wèn)題研究中，通常是基于特征值分析法的基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)矩陣以及控制和輸出矩陣進(jìn)行一定的變化，分解出主導(dǎo)振蕩模態(tài)在各輸出量上可觀性向量和控制量上的可控性向量。此類(lèi)方法有最早的右特征向量法[4]，以及后來(lái)發(fā)展而來(lái)的參與因子法等[5-6]。然而特征值分析是需對(duì)電力系統(tǒng)進(jìn)行建模前提下進(jìn)行的，這必須要有所研究的電力系統(tǒng)的完備的參數(shù)以及復(fù)雜而處理、計(jì)算，顯然不太現(xiàn)實(shí)。文獻(xiàn)[7]提出用傳遞函數(shù)留數(shù)進(jìn)行PSS和SVC的選址方法，無(wú)需對(duì)電力系統(tǒng)建模，能定量評(píng)價(jià)系統(tǒng)狀態(tài)變量的可控性和可觀性指標(biāo)。

在給定的已知干擾信號(hào)情況下，本文研究了基于Matrix Pencil算法的建立系統(tǒng)低階近似傳遞函數(shù)，并對(duì)建立的系統(tǒng)低階近似傳遞函數(shù)輸出與仿真系統(tǒng)輸出對(duì)比驗(yàn)證該方法的有效性。并在此基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)基于SVD分解分析系統(tǒng)各輸出和輸入量對(duì)電力系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模態(tài)的影響，找出對(duì)主導(dǎo)振蕩模態(tài)能觀性顯著的輸出狀態(tài)量，和對(duì)主導(dǎo)振蕩模態(tài)能控性顯著的輸入量，從而找出最適合的PSS安裝機(jī)組，對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行仿真試驗(yàn)驗(yàn)證其有效性。

1 基于Matrix Pencil的傳遞函數(shù)辨識(shí)

對(duì)于一個(gè)單輸入單輸出的線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸入輸出滿足如下關(guān)系：Y( s)為輸出，G( s)為傳遞函數(shù)，I( s)為輸入。

因?yàn)槭蔷€性時(shí)不變系統(tǒng)，傳遞函數(shù)G( s)可寫(xiě)成含特征值和對(duì)應(yīng)留數(shù)的形式，如下：

式中，jλ為系統(tǒng)特征值，Rj對(duì)應(yīng)的留數(shù)。

對(duì)于輸入I( s)，可給予如下特定特征的信號(hào)，由一系列延遲信號(hào)相加而成，表示如下：

式中，D0=0，λn+1輸入信號(hào)特征值，Dk為延遲信號(hào)時(shí)間常數(shù)，ck延遲信號(hào)的幅值。

則輸出Y( s)根據(jù)是式（1），求得為

按部分式展開(kāi)得：

其中：

對(duì)Y( s)進(jìn)行拉普拉斯變換，

在t≥Dk時(shí)，輸出信號(hào)y( t)可以簡(jiǎn)化為下式：

對(duì)輸出信號(hào)，可以利用Matrix Pencil算法對(duì)獲得的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行低頻振蕩辨識(shí)分析，求得各振蕩模態(tài)的振蕩頻率、阻尼系數(shù)、振蕩幅值和相對(duì)相位等有關(guān)信息。

將辨識(shí)得到的輸出信號(hào)與式（8）對(duì)比，得

因此，傳遞函數(shù)留數(shù)Rj則據(jù)下式可求：

在本文中對(duì)于輸入信號(hào)I( s)，令 λn+1=0，c1=-c0，ck=0 （ k = 2 ,3,…） 。所以輸入信號(hào)簡(jiǎn)化為I(s)=

2 奇異值分解分析PSS優(yōu)化配置

n×n的多輸入多狀態(tài)變量輸出之間的傳遞函數(shù)有如式（12）成立

對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行奇異值分解如下：

U(s)=[U1( s), … ,Un(s )]為G(s)奇異值分解后左奇異值向量，V(s)=[ V1( s) ,… ,Vn( s )]為右奇異值向量，且滿足

Λ(s) = diag (Λ1(s ),… ,Λn(s ))為G(s)奇異值分解得到的奇異值矩陣。

如此，左右奇異值向量則構(gòu)成n維狀態(tài)輸出空間與n維輸入空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，Λ(s)則是輸入向量和輸出狀態(tài)在各自的酋空間中的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值之間的增益。

在低頻振蕩中，只考慮低頻振蕩主導(dǎo)振蕩模態(tài)i，其振蕩頻率 w ，將s=jw帶入G(s)得G(jw)，得到的G(jw)即為主導(dǎo)振蕩模態(tài)的矩陣。對(duì)G(jw)進(jìn)行奇異值分解如下：

式中，Λ(jw)是由G(jw)的奇異值構(gòu)成

且滿足有關(guān)系：

U(jw)和VT(jw)則為對(duì)應(yīng)于G(jw)的左、右奇異值向量。

若abs(σ1(j w))? abs(σ2(j w))

則有：

U1(j w)反映了輸出狀態(tài)量x對(duì)模態(tài)i的能觀性，反映了輸入量對(duì)模態(tài)i的能控性。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

3.1 求辨識(shí)傳遞函數(shù)

對(duì)于如圖1所示的4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)，對(duì)機(jī)組1的勵(lì)磁參考電壓在1s時(shí)刻施加幅值為0.05，持續(xù)時(shí)間為0.1s的方波脈沖干擾，則輸入信號(hào)拉普拉斯變換為I( s)=。用Matrix Pencil方法分別對(duì)干擾消失后的 4機(jī)轉(zhuǎn)速變化曲線擬合求取y(τ)。求出的信號(hào)極點(diǎn)如圖2所示，從此圖可以看出有一對(duì)極點(diǎn)在復(fù)數(shù)圖的右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖1 4機(jī)2區(qū)域電力系統(tǒng)

圖2 信號(hào)極點(diǎn)分布圖

根據(jù)前文中的方法求取低階近似辨識(shí)傳遞函數(shù)，取4階近似。分別以G11、G12、G13、G14表示以機(jī) 1的勵(lì)磁參考擾動(dòng)電壓為輸入，4臺(tái)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速變化為輸出建立的傳遞函數(shù)。表1給出了辨識(shí)傳遞函數(shù)的參數(shù)，Num、 Den分別為傳遞函數(shù)分子、分母。

表1 機(jī)1的勵(lì)磁參考擾動(dòng)電壓為輸入，4機(jī)的轉(zhuǎn)速變化為輸出的傳遞函數(shù)

將求得的辨識(shí)傳遞函數(shù)給以的輸入和系統(tǒng)對(duì)于4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)的機(jī)組1的勵(lì)磁參考電壓給以的輸入一樣：在 1s時(shí)刻受到幅值為 0.05，持續(xù)為 0.1s的方波脈沖干擾信號(hào)輸入，然后對(duì)比輸出如圖3所示。從圖3可以看出，降階辨識(shí)傳遞函數(shù)的輸出與4機(jī) 2區(qū)域系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速變化輸出基本一致。在開(kāi)始受到干擾的時(shí)刻出時(shí)段，輸出誤差比較大，原因是辨識(shí)傳遞函數(shù)是降階的擬合，忽略掉了不是弱阻尼的振蕩模式，在干擾后一段時(shí)間（4～5s后），擬合度越來(lái)越好，原因是弱阻尼振蕩模式衰減較快，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間衰減到很小。

圖3 辨識(shí)傳遞函數(shù)輸出與4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)輸出比較

用同樣的方法，分別以機(jī)2、3、4的勵(lì)磁參考擾動(dòng)電壓為輸入，4機(jī)組的轉(zhuǎn)速變化為輸出求取低階近似辨識(shí)傳遞函數(shù)，建立4×4的多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3.2 SVD分解分析PSS配置

用 Matrix Pencil分析輸出干擾軌跡得到振蕩主導(dǎo)模態(tài)的角頻率w=2×pi×0.65rad/s。圖4是4×4低階近似辨識(shí)傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線特性曲線，從圖4也可以看出系統(tǒng)的在角頻率w=4.095rad/s附近最大。

圖4 4×4傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線

基于SVD分解主導(dǎo)振蕩模態(tài)的矩陣G(jw)可得到Λ(jw)、、分別如下：

Λ( jw)=diag(1.1555, 0.1198,0.0947,0.0170)

左奇異向量

右奇異向量

對(duì)應(yīng)于最大奇異值，從左右奇異值向量分別取絕對(duì)值后的第一列，可以看出，機(jī)3的主導(dǎo)模態(tài)的能觀性最好，機(jī)2的主導(dǎo)模態(tài)的能觀性最差；機(jī)4的主導(dǎo)模態(tài)的能控性最好，機(jī)1的主導(dǎo)模態(tài)的能控性最差。本文的 PSS的反饋信號(hào)采用各自的機(jī)組轉(zhuǎn)速變換信號(hào)，因此將左右奇異向量點(diǎn)乘取絕對(duì)值，并除以向量中最大的值，得[0.5936,0.4254,0.9626,1]。從該向量可以看出配置PSS效果好的機(jī)組是機(jī)3、4，效果差的是機(jī)1、2。

對(duì)上述分析結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。分別在機(jī)1、2、3、4上單獨(dú)裝設(shè)以各自的轉(zhuǎn)速變化為輸入的PSS控制器。PSS采用IEEE標(biāo)準(zhǔn)的單通道PSS模型，結(jié)構(gòu)框圖如圖5所示，包含放大環(huán)節(jié)、隔直環(huán)節(jié)、兩個(gè)相位補(bǔ)償環(huán)節(jié)和限幅環(huán)節(jié)四個(gè)環(huán)節(jié)。本文實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)PSS參數(shù)采用留數(shù)法設(shè)計(jì)，得到的各機(jī)PSS參數(shù)見(jiàn)表2。

圖5 IEEE單通道PSS模型

表2 4機(jī)PSS的參數(shù)表

實(shí)驗(yàn)條件則仍在機(jī)1上施加小脈沖干擾，1s時(shí)刻受到幅度為0.05，持續(xù)時(shí)間為0.1s勵(lì)磁電壓干擾信號(hào)，觀察其各自抑制振蕩效果。圖6是顯示的是聯(lián)絡(luò)線上功率振蕩曲線圖。從圖6中的PSS效果可以看到，在機(jī)4上裝設(shè)PSS效果最好，其次是機(jī)3，機(jī)1、2效果不好，不能很好地抑制區(qū)域間振蕩。說(shuō)明基于 SVD分解法的能夠定量地分析多機(jī)系統(tǒng)中各機(jī)組參與振蕩主導(dǎo)模態(tài)的程度，并據(jù)此配置 PSS是實(shí)現(xiàn)低頻振蕩抑制是合理的。

圖6 不同PSS配置點(diǎn)下的聯(lián)絡(luò)線上功率振蕩曲線

電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行一般要求系統(tǒng)阻尼比不小于0.05，大約5個(gè)周波振蕩要衰減至很小。考慮到機(jī)3、4參與區(qū)間振蕩模式程度深，于是在機(jī)3、4裝PSS并設(shè)計(jì)好參數(shù)。仿真運(yùn)行比較無(wú)PSS、全部裝PSS，機(jī)3、4裝PSS聯(lián)絡(luò)線功率振蕩曲線如圖7所示。從圖可知在機(jī)3、4上裝可以抑制低頻振蕩，滿足穩(wěn)定運(yùn)行的要求。

圖7 不同PSS配置點(diǎn)下的聯(lián)絡(luò)線上功率振蕩曲線

4 結(jié)論

本文通過(guò)基于Matrix Pencil方法的傳遞函數(shù)辨識(shí)，并對(duì)建立的系統(tǒng)低階近似傳遞函數(shù)，并與4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)輸出對(duì)比，結(jié)果驗(yàn)證該方法能準(zhǔn)確地得到系統(tǒng)低階近似傳遞函數(shù)模型；并在此基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)基于SVD分解方法分析了多機(jī)系統(tǒng)PSS優(yōu)化配置，并實(shí)驗(yàn)仿真分析結(jié)果說(shuō)明基于SVD分解方法的多機(jī)系統(tǒng)PSS優(yōu)化配置是可行有效的。

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