撓性衛(wèi)星快速機(jī)動(dòng)光滑控制

饒衛(wèi)東

1. 北京控制工程研究所,北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190

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撓性衛(wèi)星快速機(jī)動(dòng)光滑控制

饒衛(wèi)東1,2

1. 北京控制工程研究所,北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190

著力求出一種光滑的正弦序列控制，該控制律執(zhí)行撓性衛(wèi)星快速機(jī)動(dòng)任務(wù)的同時(shí)抑制振動(dòng)。推導(dǎo)得到撓性振動(dòng)的解析解，當(dāng)正弦序列加權(quán)系數(shù)滿足一定條件時(shí)，中心剛體自動(dòng)滿足靜止-靜止邊界條件，然后通過非線性規(guī)劃優(yōu)化加權(quán)系數(shù)，得到一組殘余振動(dòng)指標(biāo)次優(yōu)解。相關(guān)公式表明該優(yōu)化解能較大程度抑制撓性振動(dòng)，且相應(yīng)殘余振動(dòng)對模態(tài)參數(shù)魯棒性好。數(shù)學(xué)仿真在5階模態(tài)撓性對象上開展，結(jié)果顯示該方法有較強(qiáng)的抑振能力，對頻率誤差不敏感，且控制方法是開環(huán)的，適合作為衛(wèi)星快速機(jī)動(dòng)前饋輸入。 關(guān)鍵詞 撓性衛(wèi)星； 快速機(jī)動(dòng)； 前饋輸入； 非線性規(guī)劃

航天任務(wù)中質(zhì)量更輕意味著成本更低廉，能量消耗更少。航天器的輕型化和大型化使得大撓性問題日益突出，這使得航天器在姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)，更容易產(chǎn)生撓性振動(dòng)。而太空環(huán)境的微重力和微阻尼，又使得振動(dòng)很難衰減。很多航天任務(wù)中姿態(tài)控制都遇到了困難，比如機(jī)械臂抓取、移動(dòng)重物，敏捷衛(wèi)星姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)等。如何在這些任務(wù)中既快速又穩(wěn)定地控制撓性對象是一個(gè)重大挑戰(zhàn)。

研究人員經(jīng)過幾十年積累，充分解答了撓性衛(wèi)星的時(shí)間最優(yōu)控制。Singh等[1]給出了純粹時(shí)間最優(yōu)控制的數(shù)值解法，得到了包含4階撓性模態(tài)對象的Bang-Bang控制最優(yōu)解，結(jié)果顯示撓性衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)靜止到靜止的快速機(jī)動(dòng)，需要的時(shí)間與純剛體衛(wèi)星的相差不多。張洪華等[2]在脈沖序列控制的基礎(chǔ)上，提出了基于非約束模態(tài)方程的方波序列控制方法，并給出了使得機(jī)動(dòng)時(shí)間最小的方波規(guī)劃方法，其優(yōu)點(diǎn)是控制輸出是方波而非脈沖，因而特別適合衛(wèi)星上的噴氣推力器控制模式，也適合飛輪控制模式。

Bang-Bang控制給出快速機(jī)動(dòng)時(shí)間的下界，其他方法的機(jī)動(dòng)時(shí)間都要更長，更多的研究人員著手研究光滑的次優(yōu)控制。一部分學(xué)者直接研究Bang-Bang控制的光滑逼近，增大一點(diǎn)機(jī)動(dòng)時(shí)間得到連續(xù)平滑的控制函數(shù)，使得激發(fā)的過程撓性振動(dòng)大幅度減少。Albassam等[3]研究了一類撓性衛(wèi)星的近似時(shí)間最優(yōu)控制，考慮柔化Bang-Bang控制曲線，即考慮輸入受限并且一階導(dǎo)數(shù)受限的剛體衛(wèi)星時(shí)間最優(yōu)控制，仿真表明該柔化曲線比Bang-Bang控制激發(fā)的撓性振動(dòng)小。另一部分學(xué)者從能量最優(yōu)角度研究光滑控制，Hindle[4]等研究了撓性衛(wèi)星加權(quán)最小能量沖擊控制，得到了最優(yōu)控制解析解，作者研究了模型參數(shù)不確定性對于殘余振動(dòng)的影響，通過引入新狀態(tài)變量描述不確定性，得到了對撓性頻率有魯棒性的控制解析解。

其他研究人員還考慮了非最優(yōu)控制方法，如變結(jié)構(gòu)方法。王曉磊等[5]研究撓性衛(wèi)星在控制受限情況下，采用拋物線型滑動(dòng)模態(tài)設(shè)計(jì)一種過渡過程性能很好的變結(jié)構(gòu)控制器，并且分析了這種非線性滑動(dòng)模態(tài)的穩(wěn)定性。周連文等[6]采用等速趨近率的滑模變結(jié)構(gòu)控制策略進(jìn)行大角度機(jī)動(dòng)控制，并通過最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)彈性穩(wěn)態(tài)器，抑制由于剛體運(yùn)動(dòng)而激發(fā)的彈性振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)的同時(shí)，有效抑制彈性振動(dòng)。這些方法在干擾和不確定性影響下的表現(xiàn)比最優(yōu)控制好，但只關(guān)心了整個(gè)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性，對快速機(jī)動(dòng)過程中撓性振動(dòng)的抑制和規(guī)避分析很少。

Chen[7]等研究前饋和反饋相結(jié)合的控制方法，其中前饋輸入是光滑的正弦函數(shù)形狀，仿真表明平滑前饋控制有助于抑制撓性振動(dòng)，而反饋控制有助于應(yīng)對外界干擾。正弦函數(shù)平滑且意義明確易于設(shè)計(jì)，常用于撓性結(jié)構(gòu)參考軌跡設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[8]和[9]利用單正弦或者正弦序列設(shè)計(jì)撓性對象快速機(jī)動(dòng)任務(wù)控制器，前者能方便地分析執(zhí)行機(jī)構(gòu)的機(jī)動(dòng)能力，后者則對撓性振動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化。

本文采用正弦序列控制方法，考慮了對象控制受限和撓性振動(dòng)受限，并優(yōu)化了快速機(jī)動(dòng)后的殘余振動(dòng)。該方法滿足一定意義上的振動(dòng)指標(biāo)最小，設(shè)計(jì)簡單，且受撓性參數(shù)影響小。作為對比，同時(shí)研究了其它兩種開環(huán)控制方法，包括光滑剛體控制[3]和Bang-Bang控制。數(shù)學(xué)仿真表明：作為開環(huán)控制，本文方法在快速機(jī)動(dòng)任務(wù)中，產(chǎn)生的過程振動(dòng)和殘余振動(dòng)減少，適合工程應(yīng)用。

1 研究對象和問題描述

研究的對象為中心剛體帶撓性附件類，如圖1所示，對象僅能繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。中心剛體中的動(dòng)量輪和角度敏感器為執(zhí)行機(jī)構(gòu)和測量部件，撓性板通過剛撓連接體固定于中心剛體。假設(shè)在快速機(jī)動(dòng)時(shí)，撓性附件為歐拉-伯努利懸臂梁，在任何時(shí)候形變很小可近似線性化。

圖1 試驗(yàn)平臺(tái)示意圖

采用混合坐標(biāo)法建立撓性衛(wèi)星模型，給出動(dòng)力學(xué)方程

(1)

式中x為n+1維模態(tài)向量；u為控制輸入；y為角度輸出；M為慣量陣；K為剛度陣；G為輸入系數(shù)陣。

(2)

式中，z為非約束剛性模態(tài)；q=(q1,q2,…,qn)T為非約束撓性模態(tài)；φ0為剛體增益；φ1=(φ1,φ2,…,φn)T為模態(tài)增益陣。

進(jìn)一步，上述模型寫成狀態(tài)空間形式

(3)

非約束模態(tài)；A,B,C為系統(tǒng)陣、輸入輸出陣。

2 正弦序列優(yōu)化控制

2.1 正弦序列介紹

利用已知的一類平滑控制函數(shù)，經(jīng)過加權(quán)組合優(yōu)化得到控制解滿足“較小程度”激發(fā)撓性振動(dòng)。這類平滑控制函數(shù)如果本身性質(zhì)良好，那么得到的優(yōu)化控制解對撓性參數(shù)也不敏感。正弦函數(shù)就是這樣一類函數(shù)，其任意階導(dǎo)數(shù)有界，平滑特性非常好。

定義θf為機(jī)動(dòng)角度，tf為機(jī)動(dòng)時(shí)間，φ0為剛體增益。給定正弦系列控制輸入u(t)

(4)

其中參數(shù)滿足

那么基于方程(2)的剛體姿態(tài)響應(yīng)x0(t)為

(5)

其中，

(6)

很顯然，控制輸入式(4)的參數(shù)條件使得剛體姿態(tài)x0(t)滿足邊界條件

也就是說，在控制律式(4)的作用下，衛(wèi)星的剛體部分將實(shí)現(xiàn)靜止到靜止的姿態(tài)定向任務(wù)。為了得到激發(fā)撓性振動(dòng)較小的控制，需要對參數(shù)c1,c2,…,cm進(jìn)行優(yōu)化。一般而言，只要m不是特別大，輸入控制式(4)都很平滑。特殊的當(dāng)c1=1,c2=…=cm=0時(shí)，曲線為單正弦控制輸入，常在工程中使用。

2.2 殘余振動(dòng)的優(yōu)化

下面討論正弦序列作用下的殘余振動(dòng)。正弦序列由一組正弦函數(shù)構(gòu)成，系數(shù)之和等于1保證剛體姿態(tài)到達(dá)目標(biāo)。加權(quán)系數(shù)仍然還有自由度，利用這一點(diǎn)對殘余振動(dòng)能量優(yōu)化。對于第i階撓性模態(tài)，在控制律(4)作用下，系統(tǒng)(3)在tf時(shí)刻殘余振動(dòng)的表達(dá)式為

式中，λi只與第i階模態(tài)有關(guān)，與正弦序列無關(guān)。

殘余振動(dòng)確定項(xiàng)，與機(jī)動(dòng)時(shí)間無關(guān)。

2)ei=ωitf

殘余振動(dòng)隨機(jī)項(xiàng)，與機(jī)動(dòng)時(shí)間有關(guān)。

為降低殘余振動(dòng)隨機(jī)項(xiàng)ei大小，只有調(diào)節(jié)機(jī)動(dòng)時(shí)間tf。若此時(shí)衛(wèi)星撓性耦合很強(qiáng)，需要同時(shí)優(yōu)化多個(gè)模態(tài)殘余振動(dòng)時(shí)，tf顯然不足以優(yōu)化所有模態(tài)。另外，殘余振動(dòng)隨機(jī)項(xiàng)ei對撓性頻率ωi相當(dāng)敏感，此時(shí)優(yōu)化ei的實(shí)用性不大。圖2可以驗(yàn)證上述分析：對于快速機(jī)動(dòng)tf=15s的撓性對象，若撓性頻率ωi為3rad/s左右，則隨機(jī)項(xiàng)ei誤差±20%置信頻率區(qū)間為2.99～3.08rad/s，即ωi容許頻率誤差僅為±1.5%左右。

圖2 隨機(jī)項(xiàng)敏感曲線

圖3 確定項(xiàng)敏感曲線

為了優(yōu)化殘余振動(dòng)確定項(xiàng)fi，計(jì)算頻率ωi偏離時(shí)fi的變化

(8)

2.3 控制算法求解

由于控制輸入被限制為正弦序列，得到的將是次優(yōu)解，構(gòu)造殘余振動(dòng)指標(biāo)，并對其中的確定項(xiàng)優(yōu)化，得到下面的確定時(shí)間次優(yōu)控制

次優(yōu)指標(biāo)：

(9)

邊界條件：自動(dòng)滿足

由式(2)及控制律(4)可求撓性模態(tài)

(10)

非線性規(guī)劃

minJ(C)

s.tU(C)≤um,Q(C)≤qmn

c1+c2+…+cm=1

(11)

其中:

3 數(shù)學(xué)仿真

3.1 正弦序列優(yōu)化控制

為了驗(yàn)證方法的有效性，本節(jié)利用相關(guān)動(dòng)力學(xué)模型[10]進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。表1給出了該裝置的詳細(xì)參數(shù)，總慣量為I=20kg·m2，最大飽和力矩um=1N·m。保留了前5階撓性模態(tài)信息用于數(shù)學(xué)仿真，本文的控制方法優(yōu)化前2階主要模態(tài)。

表1 對象標(biāo)稱參數(shù)

圖4 控制輸入曲線(15s機(jī)動(dòng)90°)

仿真90°的快速機(jī)動(dòng)，本文方法的機(jī)動(dòng)時(shí)間是19s，而光滑剛體控制的機(jī)動(dòng)時(shí)間是15s。2種方法最大控制力矩相同時(shí)，本文方法的機(jī)動(dòng)時(shí)間稍長。本文2.3節(jié)中的參數(shù)取值為：Q1=Q2=I(單位陣)，正弦序列包括2個(gè)頻率分量，即m=2。圖5給出本組仿真的控制力矩曲線，2種控制方法始終都光滑連續(xù)，在初始時(shí)刻、末端時(shí)刻和開關(guān)時(shí)刻，兩種方法的曲線一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都連續(xù)有界。尤其是本文的方法在整個(gè)機(jī)動(dòng)過程都沒有切換存在，任意階導(dǎo)數(shù)有界，一致性非常好。

圖5 姿態(tài)輸出曲線(15s機(jī)動(dòng)90°)

圖6和7給出了前兩階模態(tài)的振動(dòng)情況。本文采用的控制方法整體性能很好，整個(gè)機(jī)動(dòng)過程各階撓性模態(tài)振動(dòng)都得到抑制。尤其是在最大撓性振幅處，本文采用的方法要明顯優(yōu)于光滑剛體控制。唯一不足的是，延長了機(jī)動(dòng)時(shí)間，犧牲了執(zhí)行機(jī)構(gòu)快速機(jī)動(dòng)能力。

圖6 一階模態(tài)(15s機(jī)動(dòng)90°)

圖7 二階模態(tài)(15s機(jī)動(dòng)90°)

接下來的仿真是針對非標(biāo)稱系統(tǒng)的。由于光滑剛體控制律的設(shè)計(jì)和撓性參數(shù)無關(guān)，所以該方法對撓性參數(shù)的魯棒性較好。2.2節(jié)分析了本文采用的控制方法受參數(shù)不確定性的影響，因此可以預(yù)見本文的控制方法對撓性參數(shù)的魯棒性也較好。

同3.1節(jié)的仿真(15s機(jī)動(dòng)90°)，此時(shí)撓性對象頻率偏離標(biāo)稱值20%，前兩階撓性頻率為ω1=2.3rad/s,ω2=3.9rad/s。圖8為本文控制方法的姿態(tài)曲線，從圖中可以看出，本文方法的魯棒性非常好，在撓性頻率偏差情況下，抑制殘余振動(dòng)的能力受影響很小。

圖8 本文方法控制的姿態(tài)角(頻率偏差20%)

3.2 單頻率正弦控制

工程中為了設(shè)計(jì)簡單，有時(shí)采用單頻率控制(m=1)，這樣就失去了對殘余振動(dòng)的優(yōu)化。本節(jié)的仿真我們將能看到，這種簡單控制方法抑制撓性振動(dòng)不盡如人意，但是和一般的非光滑控制相比，激發(fā)的撓性振動(dòng)還是要小很多。

圖9 控制力矩(15s機(jī)動(dòng)90°)

圖10 一階模態(tài)(15s機(jī)動(dòng)90°)

但作為光滑的控制方法，單頻率正弦控制激發(fā)的撓性振動(dòng)要遠(yuǎn)小于非光滑控制，為此本節(jié)還額外進(jìn)行了多組仿真，這其中包括了Bang-Bang控制方法的仿真。并且引入過程振動(dòng)能量這個(gè)概念，定義過程振動(dòng)能量E：

表2給出了各種方法用于姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)90°時(shí)的過程振動(dòng)能量E。單頻率正弦控制(一)和光滑剛體控制(二)的指標(biāo)E很接近，這說明方法(一)和(二)激發(fā)撓性振動(dòng)較小，是溫和、光滑的控制方法。最后還給出Bang-Bang控制(三)的過程能量E，要遠(yuǎn)大于其他兩種控制方法。

4 結(jié)論

正弦序列優(yōu)化控制設(shè)計(jì)簡單，由幾個(gè)倍頻的正弦信號(hào)組成，整個(gè)機(jī)動(dòng)過程中一致性好，激發(fā)的過程振動(dòng)并不大。更重要的是，該方法能夠通過控制加權(quán)系數(shù)，減少殘余振動(dòng)能量并且對模態(tài)信息不敏感，所以不失為一種較好的開環(huán)輸入控制。正弦序列優(yōu)化控制的缺點(diǎn)主要有2點(diǎn)：1)正弦序列個(gè)數(shù)受到對象撓性頻率的限制，在進(jìn)行殘余振動(dòng)優(yōu)化時(shí)，只能考慮少數(shù)幾個(gè)撓性模態(tài)，如果快速機(jī)動(dòng)時(shí)間很短，正弦序列個(gè)數(shù)大大受限，優(yōu)化方法幾乎就不能使用；2)為了限制殘余振動(dòng)，該方法需要更大的輸入力矩，會(huì)犧牲一定程度的快速機(jī)動(dòng)能力。

表2 機(jī)動(dòng)90°過程振動(dòng)能量

把該方法和反饋控制相結(jié)合，為應(yīng)對快速機(jī)動(dòng)時(shí)外界的干擾力矩將是下一步的工作重點(diǎn)。

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Smooth Control for Quick Maneuver of Elastic Satellites

RAO Weidong1,2

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Thisarticleconcentratesonakindofsmoothcontrolwhichconsistsofseriesofsinusoids.Themethodcarriesoutquickslewingforelasticsatellitesandmeanwhilerestrainsvibrationsuppression.Analyticsolutionsofelasticvibrationareobtainedbyderivation.Rigidbodywillberesttorestautomaticwhencoefficientsofsinusoidssatisfysomeequations,andthenoptimizationisdonetowardsthecoefficientswhichleadtoaresidualvibrationsuboptimalsolutionbynonlinearprogramming.Relevantformulashowstheoptimizedsolutionsuppressesmuchvibrationandpossessesgreatrobustnesstowardselasticparameters.Numericsimulationiscarriedoutonaplantwithfiveelasticmodes.Theresultsindicatethemethod’sstrongabilityinrestrainingresidualvibration.Themethodhereisanopen-looponewhichcanbeusedasfeedforwardcontrol.

Elasticsatellites;Quickmaneuver;Feedforwardcontrol;Nonlinearprogramming

2012-06-13

饒衛(wèi)東(1985-)，男，江西人，博士研究生，主要研究方向?yàn)閾闲孕l(wèi)星控制。

V448.22

A

1006-3242(2013)05-0069-07