一種改進(jìn)的質(zhì)點(diǎn)-彈簧織物建模與仿真

陳 瑛，吳明珠，胡新榮

(1．華南師范大學(xué)增城學(xué)院計(jì)算機(jī)系，廣東廣州511363;2．武漢紡織大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，湖北武漢430200)

織物建模與仿真作為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［1-2］，經(jīng)歷了3個(gè)階段:(1)采用純幾何變換模擬織物的形變［3］，需要用戶干預(yù)，模擬效果有限．(2)基于板殼理論的物理模型［4］．通過(guò)引入質(zhì)量、力、能量等物理量，將織物各部分的運(yùn)動(dòng)看成是各種力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果．TERZOPOULOS等［5-6］提出了彈性形變模型，將柔性織物的變形描述成織物內(nèi)部抵抗形變產(chǎn)生的彈簧內(nèi)力、外力和阻尼力共同作用的結(jié)果，并遵循胡克定理和牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律．(3)基于質(zhì)點(diǎn) -彈簧模型的粒子系統(tǒng)［7-8］，模擬織物內(nèi)部拉伸、剪切和彎曲等各向同性的物理特性．

在質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型中，PROVOT［8］首先發(fā)現(xiàn)了“超彈性”現(xiàn)象，但模擬織物特征不真實(shí)．采用KES系統(tǒng)檢測(cè)織物的拉伸性能［9］，產(chǎn)生相應(yīng)的Kawabata曲線，使彈性系數(shù)隨質(zhì)點(diǎn)距離的改變而變化，以解決超彈性問(wèn)題．但公式復(fù)雜，計(jì)算量大，增加了算法時(shí)間復(fù)雜度．另外，采用添加補(bǔ)償力的方法［10］，易導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定．

本文基于KES系統(tǒng)的檢測(cè)結(jié)果提出改進(jìn)的質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型，充分考慮了結(jié)構(gòu)彈簧在力學(xué)性能上的特點(diǎn)，采用分段的彈性系數(shù)．與WANG等［11］提出的“Data-Driven Elastic Models”相比，都采用了分段線性彈性模型的方法．WANG測(cè)量了大量能反映布料真實(shí)感的參數(shù)，為10種明顯不同的布料類型建立了參數(shù)數(shù)據(jù)庫(kù)，能匹配大部分布料，效果逼真，并能實(shí)現(xiàn)模擬布料的各向異性．本文根據(jù)紡織材料學(xué)參數(shù)，對(duì)彈性系數(shù)進(jìn)行線性分段，各向同性．當(dāng)應(yīng)力在織物不出現(xiàn)范性形變或結(jié)構(gòu)性破壞的范圍內(nèi)，能獲得較好的仿真效果．既限制了超彈性現(xiàn)象，也考慮了時(shí)間性能，有效解決超彈性問(wèn)題．

1 建模

質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型將織物的經(jīng)向與緯向分布成m×n的質(zhì)點(diǎn)矩陣，織物的質(zhì)量均勻分布在質(zhì)點(diǎn)上，質(zhì)點(diǎn)之間由3種模擬彈簧結(jié)構(gòu)約束(圖1)．

圖1 質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型結(jié)構(gòu)圖Figure 1 The structure ofmass-springmodel

假設(shè)中間質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為(i，j)，那么，連接質(zhì)點(diǎn)(i，j)與其上、下、左、右4點(diǎn)的彈簧為結(jié)構(gòu)彈簧．為了保持質(zhì)點(diǎn)間的初始距離，結(jié)構(gòu)彈簧的作用是模擬織物經(jīng)緯2個(gè)方向相鄰質(zhì)點(diǎn)的作用力，需將彈性系數(shù)設(shè)置為較大值，以阻止布料在經(jīng)緯2個(gè)方向過(guò)度的拉伸形變．結(jié)構(gòu)彈性系數(shù)越大，則織物相應(yīng)的形變?cè)叫。B接質(zhì)點(diǎn)(i，j)和左上、左下、右上、右下4點(diǎn)的彈簧為剪切彈簧，其作用是為了保持織物的平展性，模擬織物內(nèi)傾斜方向的作用力．較大的彈性系數(shù)可防止織物在自身平面上突然產(chǎn)生切向的不真實(shí)的形變．連接質(zhì)點(diǎn)(i，j)和上下左右相間隔4點(diǎn)的彈簧為彎曲彈簧，模擬織物在彎曲形變時(shí)的抗彎曲性能．彎曲彈簧的彈性系數(shù)設(shè)置值越小，織物的柔軟程度越高．

以結(jié)構(gòu)彈簧為例，從KES系統(tǒng)獲得常用纖維織物的彈性曲線［12］(圖2)，其斜率為織物的彈性系數(shù)，彈性系數(shù)曲線是非線性的．經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型中，采用的彈性系數(shù)是固定的，彈性曲線表現(xiàn)為一直線(圖3A)，采用分段處理后，彈性曲線可由圖3B來(lái)模擬，更接近于實(shí)際情況(圖3C)．兼顧仿真效率和可視化效果，三段處理接近實(shí)際情況．

圖2 常用纖維織物的彈性曲線Figure 2 Elastic curve for commonly used cloths

圖3 不同模型的彈性曲線Figure 3 Elastic curves of differentmodels

2 受力模型

在質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型m×n的織物網(wǎng)格矩陣中，質(zhì)點(diǎn) M(i，j)在任意 t時(shí)刻的三維坐標(biāo)為 ri．jR3，i和j表示質(zhì)點(diǎn)所處的經(jīng)線標(biāo)號(hào)(i=1，…，m)和緯線標(biāo)號(hào)(j=1，…，n)．根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有:

式中，mi，j為質(zhì)點(diǎn) M(i，j)的質(zhì)量，F(xiàn)i，jR3為質(zhì)點(diǎn)所受合力，由內(nèi)力和外力組成，ai，j為質(zhì)點(diǎn)在合力 Fi，j作用下產(chǎn)生的加速度．

Fi，j由質(zhì)點(diǎn)所受的內(nèi)力、外力組成．內(nèi)力要考慮織物模型中的結(jié)構(gòu)彈簧力、剪切彈簧力和彎曲彈簧力．外力包括質(zhì)點(diǎn)所受的重力以及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的阻尼力．

質(zhì)點(diǎn) M(i，j)所受合力 Fi，jR3為:

2．1 內(nèi)力

質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力由3種彈簧力組成，每種彈簧力為該質(zhì)點(diǎn)各向彈簧力之和．

以質(zhì)點(diǎn)M(i，j)與N(i+1，j)之間的結(jié)構(gòu)彈簧力為例，

dMN指相鄰M(i，j)與N(i+1，j)之間當(dāng)前時(shí)刻的距離．pMN指結(jié)構(gòu)彈簧力的方向向量．δ指質(zhì)點(diǎn)M(i，j)與質(zhì)點(diǎn) N(i+1，j)之間平衡距離．ε1、ε2指質(zhì)點(diǎn)實(shí)際距離與平衡態(tài)距離偏移量的2個(gè)閾值，當(dāng)偏移量小于ε1時(shí)，采用彈簧系數(shù)k1;當(dāng)偏移量大于等于且小于等于ε2時(shí)，采用較大彈簧系數(shù)k2，限制過(guò)度變形．當(dāng)偏移量大于ε2時(shí)，采用更大的彈簧系數(shù)k3．根據(jù)織物的拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［13］，其拉伸形變通常不超過(guò) 10%，取 ε1=8%δ，ε2=10%δ．

2．2 重力

質(zhì)點(diǎn)M(i，j)所受的重力為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與重力加速度的乘積．

式中，mi，j為質(zhì)點(diǎn)平均質(zhì)量，即織物總質(zhì)量除以質(zhì)點(diǎn)總數(shù)，g為重力加速度．

2．3 阻尼力

阻尼的物理意義為能量隨時(shí)間或距離的耗散．附加阻尼可以增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，模擬織物的硬度，并且防止織物網(wǎng)格出現(xiàn)較大的不切實(shí)際的振動(dòng)．

kd為阻尼系數(shù)．Δvi，j為質(zhì)點(diǎn) M(i，j)的相對(duì)速度向量，即質(zhì)點(diǎn)M(i，j)和其所屬?gòu)椈芍信c另一質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)速度向量．

3 Verlet積分方法與系統(tǒng)仿真

在系統(tǒng)仿真中，需要設(shè)置質(zhì)點(diǎn)的初始位置，求得每隔Δt時(shí)刻后質(zhì)點(diǎn)的位置r'i，j，更新質(zhì)點(diǎn)位置，核心是一個(gè)數(shù)值積分過(guò)程．質(zhì)點(diǎn)當(dāng)前位置ri，j已知的前提下，下一時(shí)刻的位置由質(zhì)點(diǎn)的速度v決定，r'i，j=ri，j+v·Δt，如直接采用 v=v*+a·Δt(v*為上一時(shí)間點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度)的方法，速度只與受力有關(guān)，會(huì)造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定，如在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)結(jié)束后調(diào)整質(zhì)點(diǎn)的速度為上一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置)，則可以增加數(shù)值積分的穩(wěn)定性，所以，Δt時(shí)刻后質(zhì)點(diǎn)的位置r'i，j的計(jì)算公式為:

即Verlet積分法，常用于分子動(dòng)力學(xué)的模擬［13］．

考慮碰撞問(wèn)題，設(shè)置剛性球狀障礙物，當(dāng)檢測(cè)到下一時(shí)刻織物質(zhì)點(diǎn)將與障礙物發(fā)生碰撞時(shí)，將質(zhì)點(diǎn)的位置拉回到物體表面．工作流程如圖4所示．

4 結(jié)果與分析

以12×12的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)織物為仿真對(duì)象，得到織物的仿真俯視效果(圖5)．質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型的球頂出現(xiàn)明顯的超彈性現(xiàn)象，織物網(wǎng)格出現(xiàn)了不合理的夸大的疏松．改進(jìn)的質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型較好地解決了超彈性問(wèn)題，仿真的可視化效果更加真實(shí)(圖5B)．而且在不同時(shí)間步長(zhǎng)下，都有穩(wěn)定的輸出結(jié)果(圖6)．

本方法采用的分段彈性模型，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)偏離平衡態(tài)的距離選擇相應(yīng)的彈性系數(shù)，在不增加計(jì)算量的同時(shí)，得到不俗的效果．

圖4 仿真系統(tǒng)的工作流程Figure 4 Flow diagram of the simulation system

圖5 織物仿真的俯視效果圖Figure 5 Top view effect graphics of cloth simulation

圖6 織物仿真的側(cè)視效果圖Figure 6 Side view effect graphics of cloth simulation

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)質(zhì)點(diǎn)-彈簧模型中出現(xiàn)的超彈性問(wèn)題，根據(jù)織物拉伸形變過(guò)程中受力與形變程度關(guān)系的非線性特征，提出分段線性化彈性系數(shù)的改進(jìn)模型結(jié)構(gòu)．有效解決織物仿真中的超彈性問(wèn)題，提高了織物仿真的真實(shí)感．

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